Обратимая диффузия - Reversible diffusion

В математика, а обратимая диффузия конкретный пример обратимый случайный процесс. Реверсивные диффузоры имеют элегантный характеристика из-за русский математик Андрей Николаевич Колмогоров.

Колмогоровская характеристика обратимых диффузий

Позволять B обозначить d-размерный стандарт Броуновское движение; позволять б : р^d → р^d быть Липшицева непрерывная векторное поле. Позволять Икс : [0, + ∞) × Ω →р^d быть It распространение определено на вероятностное пространство (Ω, Σ,п) и решая Itō стохастическое дифференциальное уравнение

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + mathrm {d} B_ {t}}$

с квадратично интегрируемым начальным условием, т. е. Икс₀ ∈ L²(Ω, Σ,п; р^d). Тогда следующие эквиваленты:

• Процесс Икс обратимо с стационарное распределение μ на р^d.
• Существует скалярный потенциал Φ:р^d → р такой, что б = −∇Φ, μ имеет Производная Радона – Никодима

${displaystyle {frac {mathrm {d} mu (x)} {mathrm {d} x}} = exp left (-2Phi (x) ight)}$

и

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {d}} exp left (-2Phi (x) ight), mathrm {d} x = 1.}$

(Конечно, условие, что б быть отрицательным градиент от Φ определяет только Φ вплоть до аддитивная константа; эта константа может быть выбрана так, чтобы exp (−2Φ (·)) была функция плотности вероятности с интегралом 1.)

Рекомендации

• Восс, Йохен (2004). Некоторые результаты больших отклонений для диффузионных процессов. Universität Kaiserslautern: кандидатская диссертация. (См. Теорему 1.4)