Риманово неравенство Пенроуза - Riemannian Penrose inequality

В математике общая теория относительности, то Неравенство Пенроуза, впервые предположил сэр Роджер Пенроуз, оценивает массу пространство-время по общей площади его черные дыры и является обобщением теорема о положительной массе. В Риманово неравенство Пенроуза важный частный случай. В частности, если (M, г) является асимптотически плоский Риманов 3-х коллекторный с неотрицательным скалярная кривизна и Масса ADM м, и А это область самого дальнего минимальная поверхность (возможно, с несколькими связанные компоненты ), то риманово неравенство Пенроуза утверждает

${ displaystyle m geq { sqrt { frac {A} {16 pi}}}.}$

Это чисто геометрический факт, и он соответствует случаю полного трехмерного космический, полностью геодезический подмногообразие (3 + 1) -мерного пространства-времени. Такое подмногообразие часто называют симметричным по времени исходным набором данных для пространства-времени. Состояние (M, г), имеющая неотрицательную скалярную кривизну, эквивалентна пространству-времени, подчиняющемуся доминирующее энергетическое состояние.

Это неравенство впервые было доказано Герхард Хёйскен и Том Ильманен в 1997 г. в случае, когда А - площадь наибольшего компонента самой внешней минимальной поверхности. Их доказательство опиралось на механизм слабо определенных обратная средняя кривизна потока, который они разработали. В 1999 году, Хьюберт Брей дал первое полное доказательство указанного неравенства с помощью конформной течь метрик. Обе статьи были опубликованы в 2001 году.

Физическая мотивация

Первоначальный физический аргумент, который привел Пенроуза к предположению о таком неравенстве, основывался на Теорема Хокинга о площади и гипотеза космической цензуры.

Случай равенства

Доказательства Брея и Хьюскена – Ильманена риманова неравенства Пенроуза утверждают, что согласно гипотезам, если

${ displaystyle m = { sqrt { frac {A} {16 pi}}},}$

то рассматриваемое многообразие изометрично части Пространство-время Шварцшильда за пределами самой внешней минимальной поверхности.

Гипотеза Пенроуза

В более общем смысле, Пенроуз предположил, что неравенство, указанное выше, должно выполняться для пространственноподобных подмногообразий пространств-времени, которые не обязательно являются симметричными по времени. В этом случае неотрицательная скалярная кривизна заменяется на доминирующее энергетическое состояние, и одна из возможностей - заменить условие минимальности поверхности на видимый горизонт состояние. Доказательство такого неравенства остается открытой проблемой в общей теории относительности. Гипотеза Пенроуза.

В популярной культуре

• В 6-й серии 8-го сезона телевизионного ситкома Теория большого взрыва, Доктор Шелдон Купер утверждает, что находится в процессе решения гипотезы Пенроуза, в то же время сочиняя свою речь о вручении Нобелевской премии.

использованная литература

• Брей, Х. (2001). «Доказательство риманова неравенства Пенроуза с помощью теоремы о положительной массе». Журнал дифференциальной геометрии. 59 (2): 177–267. Bibcode:2001JDGeo..59..177B. Дои:10.4310 / jdg / 1090349428. Г-Н  1908823.
• Bray, H .; Chruściel, П. (2003). «Неравенство Пенроуза». arXiv:gr-qc / 0312047.
• Huisken, G .; Ильманен, Т. (1997). «Риманово неравенство Пенроуза». Уведомления о международных математических исследованиях. 1997 (20): 1045–1058. Дои:10.1155 / S1073792897000664. ISSN  1073-7928. Г-Н  1486695.
• Huisken, G .; Ильманен, Т. (2001). «Обратный поток средней кривизны и риманово неравенство Пенроуза». Журнал дифференциальной геометрии. 59 (3): 353–437. Дои:10.4310 / jdg / 1090349447. Г-Н  1916951.