Группа Шоттки - Schottky group

Фундаментальная область 3-образной группы Шоттки

В математика, а Группа Шоттки особый вид Клейнианская группа, впервые изученный Фридрих Шоттки  (1877 ).

Определение

Исправить некоторую точку п на Сфера Римана. Каждый Кривая Иордании не проходя через п делит сферу Римана на две части, и мы называем часть, содержащую п «внешность» кривой, а другая часть - «внутренность». Предположим, есть 2г непересекающийся Кривые Иордании А₁, B₁,..., А_г, B_г в сфере Римана с непересекающимися внутренностями. Если есть Преобразования Мебиуса Т_я взяв за пределы А_я на внутренней стороне B_я, то порожденная этими преобразованиями группа является Клейнианская группа. А Группа Шоттки - любая клейнова группа, которую можно построить подобным образом.

Свойства

Работой Маскит (1967), конечно порожденная клейнова группа называется Шоттки тогда и только тогда, когда она конечно порожденный, свободный, имеет непустую область разрыва, а все нетривиальные элементы локсодромный.

Фундаментальная область действия группы Шоттки г на своих регулярных точках Ω (г) в сфере Римана задается внешностью определяющих ее жордановых кривых. Соответствующее фактор-пространство Ω (г)/г дается соединением жордановых кривых попарно, так же как и компактная риманова поверхность рода г. Это граница трехмерного многообразия, заданного факторизацией (ЧАС∪Ω (г))/г трехмерной гиперболической ЧАС пространство плюс регулярное множество Ω (г) группы Шоттки г, который представляет собой ручку из рода г. Обратно, любая компактная риманова поверхность рода г может быть получен из некоторой группы Шоттки рода г.

Классические и неклассические группы Шоттки

Группа Шоттки называется классический если все непересекающиеся жордановы кривые, соответствующие некоторому набору образующих, можно выбрать как окружности. Марден (1974, 1977 ) дал косвенное и неконструктивное доказательство существования неклассических групп Шоттки, и Ямамото (1991) привел явный пример одного. Это было показано Дойл (1988) что все конечно порожденные классические группы Шоттки имеют предельные множества хаусдорфовой размерности, ограниченные сверху строго универсальной константой, меньшей 2. Наоборот, Хоу (2010) доказал, что существует универсальная нижняя граница хаусдорфовой размерности предельных множеств всех неклассических групп Шоттки.

Предельные множества групп Шоттки

Предел группы Шоттки (клейниана) на плоскости

В установленный предел группы Шоттки дополнение к Ω (г) всегда есть Мера Лебега ноль, но может иметь положительный d-размерный Мера Хаусдорфа для d <2. Он совершенен и нигде не плотен с положительной логарифмической емкостью.

Утверждение о мерах Лебега следует для классических групп Шоттки из существования Серия Пуанкаре

${displaystyle displaystyle {P (z) = sum (c_ {i} z + d_ {i}) ^ {- 4}.}}$

Пуанкаре показал, что сериал | c_я |⁻⁴ суммируема по неединичным элементам группы. Фактически, если взять замкнутый диск внутри фундаментальной области, его образы при различных элементах группы не пересекаются и содержатся в фиксированном круге около 0. Таким образом, суммы площадей конечны. По формуле замены переменных, площадь больше постоянной раз | c_я |⁻⁴.^[1]

Аналогичное рассуждение означает, что предельное множество имеет нулевую меру Лебега.^[2] Ибо он содержится в дополнении объединения образов фундаментальной области элементами группы с длиной слова, ограниченной п. Это конечное объединение кругов, поэтому имеет конечную площадь. Эта область ограничена сверху константой, умноженной на вклад в сумму Пуанкаре элементов длины слова. п, поэтому уменьшается до 0.

Пространство Шоттки

Пространство Шоттки (некоторого рода г ≥ 2) - пространство отмеченных групп Шоттки рода г, другими словами, пространство множеств г элементы PSL₂(C), порождающие группу Шоттки, с точностью до эквивалентности относительно преобразований Мёбиуса (Берс 1975 ). Это комплексное многообразие комплексной размерности 3.г−3. Он содержит классическое пространство Шоттки как подмножество, соответствующее классическим группам Шоттки.

Пространство Шоттки рода г не односвязен вообще, но его универсальное накрывающее пространство можно отождествить с Пространство Тейхмюллера компактного рода г Римановы поверхности.

Смотрите также

• Уравнение Бельтрами

Заметки

использованная литература

• Аказа, Тору (1964), "Тэта-ряд Пуанкаре и особые множества групп Шоттки", Nagoya Math. Дж., 24: 43–65
• Берс, Липман (1975), "Автоморфные формы для групп Шоттки", Успехи в математике, 16: 332–361, Дои:10.1016/0001-8708(75)90117-6, ISSN  0001-8708, Г-Н  0377044
• Чакроу, Вики (1968), "О группах Шоттки с приложениями к клейновым группам", Анналы математики, Вторая серия, 88: 47–61, Дои:10.2307/1970555, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970555, Г-Н  0227403
• Дойл, Питер (1988), «На басовой ноте группы Шоттки», Acta Mathematica, 160: 249–284, Дои:10.1007 / bf02392277, Г-Н  0945013
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Эрстер Бэнд; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN  978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер., ISBN  978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
• Гилман, Джейн, Обзор групп Шоттки (PDF)
• Хоу, Йонг (2010), "Кляйновы группы малой хаусдорфовой размерности являются классическими группами Шоттки I", Геометрия и топология, 14: 473–519, arXiv:математика / 0610458, Дои:10.2140 / gt.2010.14.473
• Хоу, Ён, Все конечно порожденные клейновы группы малой хаусдорфовой размерности являются классическими группами Шоттки., arXiv:1307.2677, Bibcode:2013arXiv1307.2677H
• Jørgensen, T .; Marden, A .; Маскит, Бернард (1979), «Граница классического пространства Шоттки», Математический журнал герцога, 46 (2): 441–446, Дои:10.1215 / s0012-7094-79-04619-2, ISSN  0012-7094, Г-Н  0534060
• Ленер, Джозеф (1964), Разрывные группы и автоморфные функции, Математические обзоры и монографии, 8, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1508-3
• Марден, Альберт (1974), "Геометрия конечно порожденных клейновых групп", Анналы математики, Вторая серия, 99: 383–462, Дои:10.2307/1971059, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971059, Г-Н  0349992, Zbl  0282.30014
• Марден, A. (1977), "Геометрически конечные клейновы группы и их деформационные пространства", Харви, У. Дж. (Ред.), Дискретные группы и автоморфные функции (Proc. Conf., Cambridge, 1975), Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 259–293, ISBN  978-0-12-329950-5, Г-Н  0494117
• Маскит, Бернард (1967), "Характеристика групп Шоттки", Журнал д'анализа математика, 19: 227–230, Дои:10.1007 / BF02788719, ISSN  0021-7670, Г-Н  0220929
• Маскит, Бернард (1988), Клейнианские группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 287, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-17746-3, Г-Н  0959135
• Дэвид Мамфорд, Кэролайн Сери и Дэвид Райт, Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна, Издательство Кембриджского университета, 2002 ISBN  0-521-35253-3
• Шоттки, Ф. (1877), "Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 83: 300–351, Дои:10.1515 / crll.1877.83.300, ISSN  0075-4102
• Ямамото, Хиро-о (1991), «Пример неклассической группы Шоттки», Математический журнал герцога, 63 (1): 193–197, Дои:10.1215 / S0012-7094-91-06308-8, ISSN  0012-7094, Г-Н  1106942

внешние ссылки

• Три преобразования, порождающие группу Шоттки от (Фрике и Кляйн 1897, п. 442).