Самодвойственное действие Палатини - Википедия - Self-dual Palatini action

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (август 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (август 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Переменные Аштекара, которые были новым каноническим формализмом общая теория относительности, возродили новые надежды на каноническое квантование общей теории относительности и в конечном итоге привели к петля квантовой гравитации. Смолин и другие независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодуальную формулировку теории Tetradic Palatini действие принцип общей теории относительности.^[1][2][3] Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом.^[4] и в терминах тетрад Хенно и др.^[5].

Действие Палатини

Действие Палатини для общая теория относительности имеет в качестве независимых переменных тетраду ${ displaystyle e_ {I} ^ { alpha}}$ и спин-соединение ${ displaystyle { omega _ { alpha}} ^ {IJ}}$. Более подробную информацию и выводы можно найти в статье. тетрадное действие Палатини. Спиновое соединение определяет ковариантная производная ${ displaystyle D _ { alpha}}$. Метрика пространства-времени восстанавливается из тетрады по формуле ${ displaystyle g _ { alpha beta} = e _ { alpha} ^ {I} e _ { beta} ^ {J} eta _ {IJ}.}$ Определим "кривизну" как

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} = partial _ { alpha} { omega _ { beta}} ^ {IJ} - partial _ { beta} { omega _ { alpha}} ^ {IJ} + omega _ { alpha} ^ {IK} { omega _ { beta K}} ^ {J} - omega _ { beta} ^ {IK} { omega _ { alpha K}} ^ {J} qquad Eq.1.}$

В Скаляр Риччи этой кривизны определяется выражением ${ displaystyle e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$. Действие Палатини для общей теории относительности гласит

${ displaystyle S = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} ; { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} [ omega]}$

куда ${ displaystyle e = { sqrt {-g}}}$. Вариация по спиновой связи ${ displaystyle { omega _ { alpha}} ^ {IJ}}$ означает, что спиновая связь определяется условием совместимости ${ displaystyle D _ { alpha} e_ {I} ^ { beta} = 0}$ и, следовательно, становится обычной ковариантной производной ${ displaystyle nabla _ { alpha}}$. Следовательно, соединение становится функцией тетрад, а кривизна ${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ заменяется кривизной ${ displaystyle {R _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ из ${ displaystyle nabla _ { alpha}}$. потом ${ displaystyle e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} {R _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ фактический скаляр Риччи ${ displaystyle R}$. Вариация по тетраде дает уравнение Эйнштейна

${ displaystyle R _ { alpha beta} - {1 over 2} g _ { alpha beta} R = 0.}$

Самодуальные переменные

(Анти-) самодуальные части тензора

Нам понадобится так называемый тензор полной антисимметрии или Символ Леви-Чивита, ${ displaystyle varepsilon _ {IJKL}}$, который равен +1 или -1 в зависимости от того, ${ displaystyle IJKL}$ является либо четной, либо нечетной перестановкой ${ displaystyle 0123}$соответственно, и ноль, если любые два индекса принимают одинаковое значение. Внутренние индексы ${ displaystyle varepsilon _ {IJKL}}$ поднимаются с помощью метрики Минковского ${ displaystyle eta ^ {IJ}}$.

Теперь для любого антисимметричного тензора ${ displaystyle T ^ {IJ}}$, мы определяем его двойственный как

${ displaystyle * T ^ {IJ} = {1 over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL}.}$

Самодуальная часть любого тензора ${ displaystyle T ^ {IJ}}$ определяется как

${ displaystyle {} ^ {+} T ^ {IJ}: = {1 over 2} left (T ^ {IJ} - {i over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL} right)}$

с анти-самодвойственной частью, определяемой как

${ displaystyle {} ^ {-} T ^ {IJ}: = {1 over 2} left (T ^ {IJ} + {i over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL} right)}$

(появление мнимой единицы ${ displaystyle i}$ относится к Подпись Минковского как мы увидим ниже).

Тензорное разложение

Теперь для любого антисимметричного тензора ${ displaystyle T ^ {IJ}}$, мы можем разложить его как

${ displaystyle T ^ {IJ} = { frac {1} {2}} left (T ^ {IJ} - { frac {i} {2}} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL} right) + { frac {1} {2}} left (T ^ {IJ} + { frac {i} {2}} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL} right) = {} ^ {+} T ^ {IJ} + {} ^ {-} T ^ {IJ}}$

куда ${ displaystyle {} ^ {+} T ^ {IJ}}$ и ${ displaystyle {} ^ {-} T ^ {IJ}}$ являются самодвойственной и анти-самодвойственной частями ${ displaystyle T ^ {IJ}}$ соответственно. Определим проектор на (анти) самодуальной части любого тензора как

${ displaystyle P ^ {( pm)} = {1 over 2} (1 mp i *).}$

Значение этих проекторов можно объяснить. Давайте сконцентрируемся на ${ Displaystyle P ^ {+}}$,

${ displaystyle left (P ^ {+} T right) ^ {IJ} = left ({1 over 2} (1-i *) T right) ^ {IJ} = {1 over 2} left ({ delta ^ {I}} _ {K} { delta ^ {J}} _ {L} -i {1 over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} right) T ^ {KL} = {1 over 2} left (T ^ {IJ} - {i over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL} right) = {} ^ {+} T ^ {IJ}.}$

потом

${ displaystyle {} ^ { pm} T ^ {IJ} = left (P ^ {( pm)} T right) ^ {IJ}.}$

Скобка Ли

Важным объектом является Кронштейн лжи определяется

${ displaystyle [F, G] ^ {IJ}: = F ^ {IK} {G_ {K}} ^ {J} -G ^ {IK} {F_ {K}} ^ {J},}$

он появляется в тензоре кривизны (см. последние два члена уравнения 1), он также определяет алгебраическую структуру. У нас есть результаты (доказанные ниже):

${ Displaystyle P ^ {( pm)} [F, G] ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, G right] ^ {IJ} = left [F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} qquad Eq.2}$

и

${ displaystyle [F, G] = left [P ^ {+} F, P ^ {+} G right] + left [P ^ {-} F, P ^ {-} G right].}$

То есть скобка Ли, определяющая алгебру, распадается на две отдельные независимые части. Мы пишем

${ displaystyle { mathfrak {so}} (1,3) _ { mathbb {C}} = { mathfrak {so}} (1,3) _ { mathbb {C}} ^ {+} + { mathfrak {so}} (1,3) _ { mathbb {C}} ^ {-}}$

куда ${ displaystyle { mathfrak {so}} (1,3) _ { mathbb {C}} ^ { pm}}$ содержит только самодуальные (анти-самодуальные) элементы ${ displaystyle { mathfrak {so}} (1,3) _ { mathbb {C}}.}$

Самодвойственное действие Палатини

Определим самодуальную часть, ${ displaystyle {A _ { alpha}} ^ {IJ}}$, связи ${ displaystyle { omega _ { alpha}} ^ {IJ}}$ в качестве

${ displaystyle {A _ { alpha}} ^ {IJ} = {1 over 2} left ({ omega _ { alpha}} ^ {IJ} - {i over 2} { varepsilon _ {KL }} ^ {IJ} { omega _ { alpha}} ^ {KL} right),}$

что можно более компактно записать

${ displaystyle {A _ { alpha}} ^ {IJ} = left (P ^ {+} omega _ { alpha} right) ^ {IJ}.}$

Определять ${ displaystyle {F _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ как кривизна самодвойственной связи

${ displaystyle {F _ { alpha beta}} ^ {IJ} = partial _ { alpha} {A _ { beta}} ^ {IJ} - partial _ { beta} {A _ { alpha}} ^ {IJ} + {A _ { alpha}} ^ {IK} {A _ { beta K}} ^ {J} - {A _ { beta}} ^ {IK} {A _ { alpha K}} ^ { J}.}$

Используя уравнение. 2 легко видеть, что кривизна самодвойственной связи является самодуальной частью кривизны связи,

${ displaystyle { begin {align} {F _ { alpha beta}} ^ {IJ} & = partial _ { alpha} left (P ^ {+} omega _ { beta} right) ^ {IJ} - partial _ { beta} left (P ^ {+} omega _ { alpha} right) ^ {IJ} + left [P ^ {+} omega _ { alpha}, P ^ {+} omega _ { beta} right] ^ {IJ} & = left (P ^ {+} 2 partial _ {[ alpha} omega _ { beta]} right ) ^ {IJ} + left (P ^ {+} [ omega _ { alpha}, omega _ { beta}] right) ^ {IJ} & = left (P ^ {+} Omega _ { alpha beta} right) ^ {IJ} end {align}}}$

Самодвойственное действие

${ displaystyle S = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} ; {F _ { alpha beta}} ^ {IJ }.}$

Поскольку связь сложная, мы имеем дело со сложной общей теорией относительности, и для восстановления реальной теории необходимо указать соответствующие условия. Можно повторить те же вычисления, что и для действия Палатини, но теперь относительно самодвойственной связи. ${ displaystyle {A _ { alpha}} ^ {IJ}}$. Варьируя тетрадное поле, получаем самодуальный аналог уравнения Эйнштейна:

${ displaystyle {} ^ {+} R _ { alpha beta} - {1 over 2} g _ { alpha beta} {} ^ {+} R = 0.}$

То, что кривизна самодвойственной связи является самодвойственной частью кривизны связи, помогает упростить формализм 3 + 1 (подробности разложения в формализм 3 + 1 будут приведены ниже). Получающийся гамильтонов формализм напоминает гамильтонов формализм Ян-Миллс калибровочная теория (этого не происходит с формализмом Палатини 3 + 1, который в основном сводится к обычному формализму ADM).

Вывод основных результатов для самодуальных переменных.

Результаты выполненных здесь вычислений можно найти в главе 3 заметок Аштекарские переменные в классической теории относительности.^[6] Метод доказательства следует тому, который приведен в разделе II. Гамильтониан Аштекара общей теории относительности.^[7] Нам необходимо установить некоторые результаты для (анти) самодуальных лоренцевых тензоров.

Тождества для полностью антисимметричного тензора

С ${ displaystyle eta _ {IJ}}$ есть подпись ${ Displaystyle (-, +, +, +)}$, следует, что

${ displaystyle varepsilon ^ {IJKL} = - varepsilon _ {IJKL}.}$

чтобы увидеть это, подумайте,

${ displaystyle varepsilon ^ {0123} = eta ^ {0I} eta ^ {1J} eta ^ {2K} eta ^ {3L} varepsilon _ {IJKL} = (- 1) (1) (1 ) (1) varepsilon _ {0123} = - varepsilon _ {0123}.}$

С помощью этого определения можно получить следующие тождества,

${ displaystyle { begin {align} varepsilon ^ {IJKO} varepsilon _ {LMNO} & = - 6 delta _ {[L} ^ {I} delta _ {M} ^ {J} delta _ { N]} ^ {K} && { text {Ур. 3}} varepsilon ^ {IJMN} varepsilon _ {KLMN} & = - 4 delta _ {[K} ^ {I} delta _ {L]} ^ {J} = - 2 left ( delta _ {K} ^ {I} delta _ {L} ^ {J} - delta _ {L} ^ {I} delta _ {K} ^ {J} right) && { text {Ур. 4}} end {выровнено}}}$

(квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам).

Определение самодуального тензора

Как следует из уравнения. 4 видно, что квадрат оператора двойственности минус тождество,

${ displaystyle ** T ^ {IJ} = {1 over 4} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} { varepsilon _ {MN}} ^ {KL} T ^ {MN} = - T ^ {IJ}}$

Знак минус здесь из-за знака минус в уравнении. 4, что, в свою очередь, связано с подписью Минковского. Если бы мы использовали евклидову подпись, т.е. ${ Displaystyle (+, +, +, +)}$, вместо этого был бы положительный знак. Мы определяем ${ displaystyle S ^ {IJ}}$ быть самодуальным тогда и только тогда, когда

${ displaystyle * S ^ {IJ} = iS ^ {IJ}.}$

(с евклидовой подписью условие самодуальности было бы ${ Displaystyle * S ^ {IJ} = S ^ {IJ}}$). Сказать ${ displaystyle S ^ {IJ}}$ самодвойственен, запишите его как реальную и мнимую часть,

${ displaystyle S ^ {IJ} = {1 over 2} T ^ {IJ} + { frac {i} {2}} U ^ {IJ}.}$

Запишите самодуальное условие в терминах ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$,

${ displaystyle * left (T ^ {IJ} + iU ^ {IJ} right) = {1 over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} left (T ^ {KL} + iU ^ {KL} right) = i left (T ^ {IJ} + iU ^ {IJ} right).}$

Приравнивая реальные части считываем

${ displaystyle U ^ {IJ} = - {1 over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL}}$

и так

${ displaystyle S ^ {IJ} = {1 over 2} left (T ^ {IJ} - {i over 2} { varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL} right) }$

куда ${ displaystyle T ^ {IJ}}$ это настоящая часть ${ displaystyle 2S ^ {IJ}}$.

Важный долгий расчет

Доказательство уравнения. 2 в прямом эфире. Начнем с получения первоначального результата. Все остальные важные формулы легко вытекают из него. Из определения скобки Ли и с использованием основного тождества Ур. 3 у нас есть

${ displaystyle { begin {align} * [F, * G] ^ {IJ} & = { frac {1} {2}} { varepsilon _ {MN}} ^ {IJ} left (F ^ { MK} {(* G) _ {K}} ^ {N} - (* G) ^ {MK} {F_ {K}} ^ {N} right) & = { frac {1} {2 }} { varepsilon _ {MN}} ^ {IJ} left (F ^ {MK} { frac {1} {2}} { varepsilon _ {OPK}} ^ {N} G ^ {OP} - { frac {1} {2}} { varepsilon _ {OP}} ^ {MK} G ^ {OP} {F_ {K}} ^ {N} right) & = {1 over 4} left ({ varepsilon _ {MN}} ^ {IJ} { varepsilon _ {OP}} ^ {KN} + { varepsilon _ {NM}} ^ {IJ} { varepsilon _ {OP}} ^ { NK} right) {F ^ {M}} _ {K} G ^ {OP} & = {1 over 2} { varepsilon _ {MN}} ^ {IJ} { varepsilon _ {OP} } ^ {KN} {F ^ {M}} _ {K} G ^ {OP} & = {1 over 2} varepsilon ^ {MIJN} varepsilon _ {OPKN} {F_ {M}} ^ {K} G ^ {OP} & = - { frac {1} {2}} varepsilon ^ {KIJN} varepsilon _ {OPMN} {F ^ {M}} _ {K} G ^ {OP } & = { frac {1} {2}} left ( delta _ {O} ^ {K} delta _ {P} ^ {I} delta _ {M} ^ {J} + delta _ {M} ^ {K} delta _ {O} ^ {I} delta _ {P} ^ {J} + delta _ {P} ^ {K} delta _ {M} ^ {I} delta _ {O} ^ {J} - delta _ {P} ^ {K} delta _ {O} ^ {I} delta _ {M} ^ {J} - delta _ {M} ^ { K} delta _ {P} ^ {I} delta _ {O} ^ {J} - delta _ {O} ^ {K} delta _ {M} ^ {I} delta _ {P} ^ {J} right) {F ^ {M}} _ {K} G ^ {OP} & = { frac {1 } {2}} left ({F ^ {J}} _ {K} G ^ {KI} + {F ^ {K}} _ {K} G ^ {IJ} + {F ^ {I}} _ {K} G ^ {JK} - {F ^ {J}} _ {K} G ^ {IK} - {F ^ {K}} _ {K} G ^ {JI} - {F ^ {I}} _ {K} G ^ {KJ} right) & = - F ^ {IK} {G_ {K}} ^ {J} + G ^ {IK} {F_ {K}} ^ {J} & = - [F, G] ^ {IJ} end {align}}}$

Это дает формулу

${ displaystyle * [F, * G] ^ {IJ} = - [F, G] ^ {IJ} qquad Eq.5.}$

Получение важных результатов

Теперь, используя уравнение 5 в сочетании с ${ displaystyle ** = - 1}$ мы получаем

${ displaystyle * (- [F, G] ^ {IJ}) = * (* [F, * G] ^ {IJ}) = ** [F, * G] ^ {IJ} = - [F, * G] ^ {IJ}.}$

Итак, у нас есть

${ displaystyle * [F, G] ^ {IJ} = [F, * G] ^ {IJ} qquad Eq.6.}$

Учитывать

${ displaystyle * [F, G] ^ {IJ} = - * [G, F] ^ {IJ} = - [G, * F] ^ {IJ} = [* F, G] ^ {IJ}.}$

где на первом этапе мы использовали антисимметрию скобки Ли, чтобы поменять местами ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$, на втором шаге мы использовали ${ displaystyle Eq.6}$ и на последнем шаге мы снова использовали антисимметрию скобки Ли. Итак, у нас есть

${ displaystyle * [F, G] ^ {IJ} = [* F, G] ^ {IJ} qquad Eq.7.}$

потом

${ Displaystyle { begin {align} left (P ^ {( pm)} [F, G] right) ^ {IJ} & = {1 over 2} left ([F, G] ^ { IJ} mp i * [F, G] ^ {IJ} right) & = {1 over 2} left ([F, G] ^ {IJ} + [F, mp i * G] ^ {IJ} right) & = left [F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} && { text {Eq. 8}} конец {выровнено}}}$

где мы использовали уравнение. 6 идет от первой строки ко второй строке. Аналогично у нас есть

${ displaystyle left (P ^ {( pm)} [F, G] right) ^ {IJ} = [P ^ {( pm)} F, G] ^ {IJ} qquad Eq.9}$

используя уравнение 7. Теперь, когда ${ Displaystyle P ^ {( pm)}}$ это проекция это удовлетворяет ${ Displaystyle (P ^ {( pm)}) ^ {2} = P ^ {( pm)}}$, что легко проверить прямым вычислением:

${ displaystyle { begin {align} {} (P ^ {( pm)}) ^ {2} & = {1 over 4} (1 mp i *) (1 mp i *) { } & = {1 over 4} (1 - ** mp 2i *) {} & = {1 over 4} (2 mp 2i *) {} & = P ^ {( pm )} конец {выровнено}}}$

Применяя это в сочетании с формулой. 8 и уравнение. 9 получаем

${ Displaystyle { begin {align} {} left (P ^ {( pm)} [F, G] right) ^ {IJ} & = left ((P ^ {( pm)}) ^ {2} [F, G] right) ^ {IJ} & = left (P ^ {( pm)} [F, P ^ {( pm)} G] right) ^ {IJ} {} & = [P ^ {( pm)} F, P ^ {( pm)} G] ^ {IJ} qquad Eq.10. End {align}}}$

Из уравнения. 10 и уравнение. 9 у нас есть

${ displaystyle left [P ^ {( pm)} F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, G right] ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, P ^ {( pm)} G + P ^ {( mp)} G right] ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} + left [P ^ {( pm)} F, P ^ {( mp)} G right] ^ {IJ}}$

где мы использовали это ${ displaystyle G}$ можно записать как сумму его самодуальной и антисефодуальной частей, т. е. ${ Displaystyle G = P ^ {( pm)} G + P ^ {( mp)} G}$. Из этого следует:

${ displaystyle { begin {align} {} left [P ^ {+} F, P ^ {-} G right] ^ {IJ} & = 0 {} left [P ^ {-} F , P ^ {+} G right] ^ {IJ} & = 0 end {align}}}$

Резюме основных результатов

Всего у нас есть,

${ displaystyle left (P ^ {( pm)} [F, G] right) ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, G right] ^ {IJ} = left [F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} = left [P ^ {( pm)} F, P ^ {( pm)} G right] ^ {IJ} }$

что является нашим основным результатом, уже изложенным выше как уравнение. 2. Также мы имеем, что любая скобка разбивается как

${ Displaystyle [F, G] ^ {IJ} = left [P ^ {+} F + P ^ {-} F, P ^ {+} G + P ^ {-} F right] ^ {IJ} = left [P ^ {+} F, P ^ {+} G right] ^ {IJ} + left [P ^ {-} F, P ^ {-} G right] ^ {IJ}.}$

в часть, которая зависит только от самодуальных лоренцевых тензоров и сама является самодуальной частью ${ displaystyle [F, G] ^ {IJ},}$ и часть, которая зависит только от анти-самодуальных лоренцевых тензоров и является анти-самодуальной частью ${ displaystyle [F, G] ^ {IJ}.}$

Вывод формализма Аштекара из самодвойственного действия

Приведенное здесь доказательство следует за доказательством, данным в лекциях Хорхе Пуллин^[8]

В Палатини действие

${ Displaystyle S (е, omega) = int d ^ {4} xee_ {I} ^ {a} e_ {J} ^ {b} { Omega _ {ab}} ^ {IJ} [ omega] qquad Eq.11}$

где тензор Риччи, ${ displaystyle { Omega _ {ab}} ^ {IJ}}$, считается построенным исключительно из связи ${ displaystyle omega _ {a} ^ {IJ}}$, не используя поле кадра. Вариация относительно тетрады дает уравнения Эйнштейна, записанные в терминах тетрад, но для тензора Риччи, построенного из связи, которая не имеет априорной связи с тетрадой. Вариация связи говорит нам, что соединение удовлетворяет обычному условию совместимости

${ displaystyle D_ {b} e_ {a} ^ {I} = 0.}$

Это определяет связь в терминах тетрады, и мы восстанавливаем обычный тензор Риччи.

Автодуальное действие для общей теории относительности приведено выше.

${ displaystyle S (e, A) = int d ^ {4} xee_ {I} ^ {a} e_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} [A]}$

куда ${ displaystyle F}$ кривизна ${ displaystyle A}$, самодуальная часть ${ displaystyle omega}$,

${ displaystyle A_ {a} ^ {IJ} = {1 over 2} left ( omega _ {a} ^ {IJ} - {i over 2} { varepsilon ^ {IJ}} _ {MN} omega _ {a} ^ {MN} right).}$

Было показано, что ${ displaystyle F [A]}$ самодвойственная часть ${ displaystyle Omega [ omega].}$

Позволять ${ displaystyle q_ {b} ^ {a} = delta _ {b} ^ {a} + n ^ {a} n_ {b}}$ быть проектором на три поверхности и определить векторные поля

${ displaystyle E_ {I} ^ {a} = q_ {b} ^ {a} e_ {I} ^ {b},}$

которые ортогональны ${ Displaystyle п ^ {а}}$.

Письмо

${ displaystyle E_ {I} ^ {a} = left ( delta _ {b} ^ {a} + n_ {b} n ^ {a} right) e_ {I} ^ {b}}$

тогда мы можем написать

${ displaystyle { begin {align} int & d ^ {4} x left (eE_ {I} ^ {a} E_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2eE_ {I } ^ {a} e_ {J} ^ {d} n_ {d} n ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} right) = & = int d ^ {4} x left (e left ( delta _ {c} ^ {a} + n_ {c} n ^ {a} right) e_ {I} ^ {c} left ( delta _ {d} ^ {b} + n_ {d} n ^ {b} right) e_ {J} ^ {d} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2e left ( delta _ {c} ^ {a} + n_ {c} n ^ {a} right) e_ {I} ^ {c} e_ {J} ^ {d} n_ {d} n ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} right) & = int d ^ {4} x left (ee_ {I} ^ {a} e_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} + en_ {c} n ^ {a} e_ {I } ^ {c} e_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} + ee_ {I} ^ {a} n_ {d} n ^ {b} e_ {J} ^ {d} { F_ {ab}} ^ {IJ} + en_ {c} n ^ {a} n_ {d} n ^ {b} E_ {I} ^ {c} E_ {J} ^ {d} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2ee_ {I} ^ {a} e_ {J} ^ {d} n_ {d} n ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2n_ {c} n ^ {a} e_ {I} ^ {c} e_ {J} ^ {d} n_ {d} n ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} right) & = int d ^ {4} xee_ {I} ^ {a} e_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} & = S (E, A) end {выровнено}}}$

где мы использовали ${ displaystyle {F_ {ab}} ^ {IJ} = {F_ {ba}} ^ {JI}}$ и ${ displaystyle n ^ {a} n ^ {b} F_ {ab} ^ {i} = 0}$.

Так действие можно записать

${ displaystyle S (E, A) = int d ^ {4} x left (eE_ {I} ^ {a} E_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2eE_ { I} ^ {a} e_ {J} ^ {d} n_ {d} n ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} right) qquad Eq.12}$

У нас есть ${ displaystyle e = N { sqrt {q}}}$. Теперь определим

${ displaystyle { tilde {E}} _ {I} ^ {a} = { sqrt {q}} E_ {I} ^ {a}}$

Внутренний тензор ${ displaystyle S ^ {IJ}}$ самодуальна тогда и только тогда, когда

${ displaystyle * S ^ {IJ}: = {1 over 2} { varepsilon ^ {IJ}} _ {MN} S ^ {MN} = iS ^ {IJ}}$

и учитывая кривизну ${ displaystyle {F_ {ab}} ^ {IJ}}$ самодвойственный мы имеем

${ displaystyle {F_ {ab}} ^ {IJ} = - я {1 over 2} { varepsilon ^ {IJ}} _ {MN} {F_ {ab}} ^ {MN}}$

Подставляя это в действие (уравнение 12), мы имеем

${ displaystyle S (E, A) = int d ^ {4} x left (-i { frac {1} {2}} left ({ frac {N} { sqrt {q}}}) right) { tilde {E}} _ {I} ^ {a} { tilde {E}} _ {J} ^ {b} { varepsilon ^ {IJ}} _ {MN} {F_ {ab} } ^ {MN} -2Nn ^ {b} { tilde {E}} _ {I} ^ {a} n_ {J} {F_ {ab}} ^ {IJ} right)}$

где мы обозначили ${ displaystyle n_ {J} = e_ {J} ^ {d} n_ {d}}$. Подбираем калибр ${ displaystyle { tilde {E}} _ {0} ^ {a} = 0}$ и ${ displaystyle n ^ {I} = delta _ {0} ^ {I}}$ (это означает ${ displaystyle n_ {I} = eta _ {IJ} n ^ {J} = eta _ {00} delta _ {0} ^ {I} = - delta _ {0} ^ {I}}$). Письмо ${ displaystyle varepsilon _ {IJKL} n ^ {L} = varepsilon _ {IJK}}$, который в этой калибровке ${ displaystyle varepsilon _ {IJK0} = varepsilon _ {IJK}}$. Следовательно,

${ displaystyle { begin {align} S (E, A) & = int d ^ {4} x left (-i {1 over 2} left ({N over { sqrt {q}}) } right) { tilde {E}} _ {I} ^ {a} { tilde {E}} _ {J} ^ {b} left ({ varepsilon ^ {IJ}} _ {M0} { F_ {ab}} ^ {M0} + { varepsilon ^ {IJ}} _ {0M} {F_ {ab}} ^ {0M} right) -2Nn ^ {b} { tilde {E}} _ { I} ^ {a} n_ {J} {F_ {ab}} ^ {IJ} right) & = int d ^ {4} x left (-i left ({N over { sqrt {q}}} right) { tilde {E}} _ {I} ^ {a} { tilde {E}} _ {J} ^ {b} { varepsilon ^ {IJ}} _ {M} {F_ {ab}} ^ {M0} + 2Nn ^ {b} { tilde {E}} _ {I} ^ {a} {F_ {ab}} ^ {I0} right) end {выровнено}} }$

Индексы ${ displaystyle I, J, M}$ диапазон более ${ displaystyle 1,2,3}$ и мы обозначим их строчными буквами через мгновение. Самодуальностью ${ displaystyle A_ {a} ^ {IJ}}$,

${ displaystyle A_ {a} ^ {i0} = - i {1 over 2} { varepsilon ^ {i0}} _ {jk} A_ {a} ^ {jk} = i {1 over 2} { varepsilon ^ {i}} _ {jk} A_ {a} ^ {jk} = iA_ {a} ^ {i}.}$

где мы использовали

${ displaystyle { varepsilon ^ {i0}} _ {jk} = - { varepsilon ^ {i}} _ {0jk} = - { varepsilon ^ {i}} _ {jk0} = - { varepsilon ^ { i}} _ {jk}.}$

Из этого следует

${ displaystyle { begin {align} {F_ {ab}} ^ {i0} & = partial _ {a} A_ {b} ^ {i0} - partial _ {b} A_ {a} ^ {i0} + A_ {a} ^ {ik} {A_ {bk}} ^ {0} -A_ {b} ^ {ik} {A_ {ak}} ^ {0} & = i left ( partial _ { a} A_ {b} ^ {i} - partial _ {b} A_ {a} ^ {i} + A_ {a} ^ {ik} A_ {bk} -A_ {b} ^ {ik} A_ {ak } right) & = i left ( partial _ {a} A_ {b} ^ {i} - partial _ {b} A_ {a} ^ {i} + varepsilon _ {ijk} A_ { a} ^ {j} A_ {b} ^ {k} right) & = iF_ {ab} ^ {i} end {align}}}$

Заменим во втором члене в действии ${ displaystyle Nn ^ {b}}$ к ${ displaystyle t ^ {b} -n ^ {b}}$. Нам нужно

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {t} A_ {b} ^ {i} = t ^ {a} partial _ {a} A_ {b} ^ {i} + A_ {a} ^ {i } partial _ {b} t ^ {a}}$

и

${ displaystyle { mathcal {D}} _ {b} left (t ^ {a} A_ {a} ^ {i} right) = partial _ {b} left (t ^ {a} A_ { a} ^ {i} right) + varepsilon _ {ijk} A_ {b} ^ {j} left (t ^ {a} A_ {a} ^ {k} right)}$

чтобы получить

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {t} A_ {b} ^ {i} - { mathcal {D}} _ {b} left (t ^ {a} A_ {a} ^ {i} right) = t ^ {a} left ( partial _ {a} A_ {b} ^ {i} - partial _ {b} A_ {a} ^ {i} + varepsilon _ {ijk} A_ { a} ^ {j} A_ {b} ^ {k} right) = t ^ {a} F_ {ab} ^ {i}.}$

Действие становится

${ displaystyle { begin {align} S & = int d ^ {4} x left (-i left ({N over { sqrt {q}}} right) { tilde {E}} _ {I} ^ {a} { tilde {E}} _ {J} ^ {b} { varepsilon ^ {IJ}} _ {M} {F_ {ab}} ^ {M0} -2 left (t ^ {a} -N ^ {a} right) { tilde {E}} _ {I} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {I0} right) & = int d ^ { 4} x left (-2i { tilde {E}} _ {i} ^ {b} { mathcal {L}} _ {t} A_ {b} ^ {i} + 2i { tilde {E} } _ {i} ^ {b} { mathcal {D}} _ {b} left (t ^ {a} A_ {a} ^ {i} right) + 2iN ^ {a} { tilde {E }} _ {i} ^ {b} F_ {ab} ^ {i} - left ({N over { sqrt {q}}} right) varepsilon _ {ijk} { tilde {E}} _ {i} ^ {a} { tilde {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab} ^ {k} right) end {выравнивается}}}$

где мы поменяли местами фиктивные переменные ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ во втором члене первой строки. Интегрируя по частям по второму члену,

${ displaystyle { begin {align} int d ^ {4} x { tilde {E}} _ {i} ^ {b} { mathcal {D}} _ {b} left (t ^ {a } A_ {a} ^ {i} right) & = int dtd ^ {3} x { tilde {E}} _ {i} ^ {b} left ( partial _ {b} (t ^ { a} A_ {a} ^ {i}) + varepsilon _ {ijk} A_ {b} ^ {j} (t ^ {a} A_ {a} ^ {k}) right) & = - int dtd ^ {3} xt ^ {a} A_ {a} ^ {i} left ( partial _ {b} { tilde {E}} _ {i} ^ {b} + varepsilon _ {ijk} A_ {b} ^ {j} { tilde {E}} _ {k} ^ {b} right) & = - int d ^ {4} xt ^ {a} A_ {a} ^ {i } { mathcal {D}} _ {b} { tilde {E}} _ {i} ^ {b} end {align}}}$

где мы отбросили граничный член и где мы использовали формулу для ковариантной производной от векторной плотности ${ displaystyle { tilde {V}} _ {i} ^ {b}}$:

${ displaystyle { mathcal {D}} _ {b} { tilde {V}} _ {i} ^ {b} = partial _ {b} { tilde {V}} _ {i} ^ {b } + varepsilon _ {ijk} A_ {b} ^ {j} { tilde {V}} _ {k} ^ {b}.}$

Окончательная форма требуемого действия:

${ displaystyle S = int d ^ {4} x left (-2i { tilde {E}} _ {i} ^ {b} { mathcal {L}} _ {t} A_ {b} ^ { i} -2i left (t ^ {a} A_ {a} ^ {i} right) { mathcal {D}} _ {b} { tilde {E}} _ {i} ^ {b} + 2iN ^ {a} { tilde {E}} _ {i} ^ {b} F_ {ab} ^ {i} + left ({N over { sqrt {q}}} right) varepsilon _ {ijk} { tilde {E}} _ {i} ^ {a} { tilde {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab} ^ {k} right)}$

Есть термин вида "${ displaystyle p { dot {q}}}$"таким образом, количество ${ displaystyle { tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$ сопряженный импульс к ${ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$. Следовательно, мы можем сразу написать

${ displaystyle left {A_ {a} ^ {i} (x), { tilde {E}} _ {j} ^ {b} (y) right } = {i over 2} delta _ {a} ^ {b} delta _ {j} ^ {i} delta ^ {3} (x, y).}$

Вариация действия относительно нединамических величин ${ Displaystyle (т ^ {а} А_ {а} ^ {я})}$, то есть временная составляющая четырехсвязности, функция сдвига ${ displaystyle N ^ {b}}$, и функция задержки ${ displaystyle N}$ дать ограничения

${ displaystyle { mathcal {D}} _ {a} { tilde {E}} _ {i} ^ {a} = 0,}$

${ displaystyle F_ {ab} ^ {i} { tilde {E}} _ {i} ^ {b} = 0,}$

${ displaystyle varepsilon _ {ijk} { tilde {E}} _ {i} ^ {a} { tilde {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab} ^ {k} = 0 qquad Eq.13.}$

В зависимости от ${ displaystyle N}$ фактически дает последнее ограничение в формуле. 13 делится на ${ displaystyle { sqrt {q}}}$, он был изменен, чтобы сделать полином ограничений по фундаментальным переменным. Связь ${ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$ можно написать

${ displaystyle A_ {a} ^ {i} = {1 over 2} { varepsilon ^ {i}} _ {jk} A_ {a} ^ {jk} = {1 over 2} { varepsilon ^ { i}} _ {jk} left ( omega _ {a} ^ {jk} -i {1 over 2} left ({ varepsilon ^ {jk}} _ {m0} omega _ {a} ^ {m0} + { varepsilon ^ {jk}} _ {0m} omega _ {a} ^ {0m} right) right) = Gamma _ {a} ^ {i} -i omega _ {a } ^ {0i}}$

и

${ displaystyle E_ {ci} omega _ {a} ^ {0i} = - q_ {a} ^ {b} E_ {ci} omega _ {b} ^ {i0} = - q_ {a} ^ {b } E_ {ci} e ^ {di} nabla _ {b} e_ {d} ^ {0} = q_ {a} ^ {b} q_ {c} ^ {d} nabla _ {b} n_ {d } = K_ {ac}}$