Теорема вложения Скорохода - Википедия - Skorokhods embedding theorem

В математика и теория вероятности, Теорема вложения Скорохода один или оба из двух теоремы которые позволяют рассматривать любую подходящую коллекцию случайные переменные как Винеровский процесс (Броуновское движение ) оценивается в коллекции время остановки. Оба результата названы в честь украинец математик А. В. Скороход.

Первая теорема вложения Скорохода

Позволять Икс быть настоящий -значная случайная величина с ожидаемое значение 0 и конечный отклонение; позволять W обозначают канонический действительный винеровский процесс. Тогда есть время остановки (относительно естественного фильтрация из W), τ, так что W_τ имеет то же распределение, что и Икс,

${ displaystyle operatorname {E} [ tau] = operatorname {E} [X ^ {2}]}$

и

${ displaystyle operatorname {E} [ tau ^ {2}] leq 4 operatorname {E} [X ^ {4}].}$

Вторая теорема вложения Скорохода

Позволять Икс₁, Икс₂, ... быть последовательностью независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждый с математическим ожиданием 0 и конечной дисперсией, и пусть

${ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + cdots + X_ {n}.}$

Тогда есть последовательность моментов остановки τ₁ ≤ τ₂ ≤ ... такие, что ${ displaystyle W _ { tau _ {n}}}$ имеют такое же совместное распределение, что и частичные суммы S_п и τ₁, τ₂ − τ₁, τ₃ − τ₂, ... - независимые и одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие

${ displaystyle operatorname {E} [ tau _ {n} - tau _ {n-1}] = operatorname {E} [X_ {1} ^ {2}]}$

и

${ displaystyle operatorname {E} [( tau _ {n} - tau _ {n-1}) ^ {2}] leq 4 operatorname {E} [X_ {1} ^ {4}]. }$

Рекомендации

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2. (Теоремы 37.6, 37.7)