Вейвлет Стрёмберга - Strömberg wavelet

В математика, то Вейвлет Стрёмберга это определенный ортонормированный вейвлет обнаружен Ян-Оловом Стрёмбергом и представлен в статье, опубликованной в 1983 году.^[1] Хотя Вейвлет Хаара ранее было известно, что это ортонормированный вейвлет, вейвлет Стрёмберга был первым гладким ортонормированным вейвлетом, который был обнаружен. Период, термин вейвлет не был придуман во время публикации открытия вейвлета Стрёмберга, и мотивацией Стрёмберга было найти ортонормированную основу для Пространства Харди.^[1]

Определение

Le м быть любым неотрицательное целое число. Позволять V быть любым дискретное подмножество из набора р из действительные числа. потом V раскол р в неперекрывающиеся интервалы. Для любого р в V, позволять я_р обозначим интервал, определяемый V с р в качестве левой конечной точки. Позволять п^(м)(V) обозначают множество всех функции ж(т) над р удовлетворяющие следующим условиям:

• ж(т) является квадратично интегрируемый.
• ж(т) имеет непрерывный производные всех заказов до м.
• ж(т) это многочлен степени м +1 в каждом из интервалов я_р.

Если А₀ знак равно . . , -2, -3/2, -1, -1/2} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3,. . .} и А₁ = А₀ ∪ {1/2}, затем Вейвлет Стрёмберга порядка м это функция S^м(т), удовлетворяющие следующим условиям:^[1]

• ${ Displaystyle S ^ {m} (t) in P ^ {(m)} (A_ {1}).}$
• ${ Displaystyle Vert S ^ {m} (т) Vert = 1}$, то есть, ${ displaystyle int _ {R} vert S ^ {m} (t) vert ^ {2} , dt = 1.}$
• ${ Displaystyle S ^ {m} (т)}$ является ортогональный к ${ displaystyle P ^ {(m)} (A_ {0})}$, то есть, ${ Displaystyle int _ {R} S ^ {m} (t) , f (t) , dt = 0}$ для всех ${ displaystyle f (t) in P ^ {(m)} (A_ {0}).}$

Свойства набора п^(м)(V)

Ниже приведены некоторые свойства набора. п^(м)(V):

1. Пусть количество различных элементов в V быть двумя. потом ж(т) ∈ п^(м)(V) если и только если ж(т) = 0 для всех т.
2. Если количество элементов в V три или больше, чем п^(м)(V) содержит ненулевые функции.
3. Если V₁ и V₂ дискретные подмножества р такой, что V₁ ⊂ V₂ тогда п^(м)(V₁) ⊂ п^(м)(V₂). Особенно, п^(м)(А₀) ⊂ п^(м)(А₁).
4. Если ж(т) ∈ п^(м)(А₁) тогда ж(т) = грамм(т) + α λ (т) где α постоянна и грамм(т) ∈ п^(м)(А₀) определяется грамм(р) = ж(р) за р ∈ А₀.

Вейвлет Стрёмберга как ортонормированный вейвлет

Следующий результат устанавливает вейвлет Стрёмберга как ортонормированный вейвлет.^[1]

Теорема

Позволять S^м быть вейвлетом Стрёмберга порядка м. Тогда следующий набор

${ displaystyle left {2 ^ {j / 2} S ^ {m} (2 ^ {j} t-k): j, k { text {целые числа}} right }}$

это полный ортонормированный система в пространстве квадратично интегрируемых функций над р.

Вейвлеты Стрёмберга порядка 0

График вейвлета Стрёмберга порядка 0. График масштабируется так, что значение вейвлет-функции в 1 равно 1.

В частном случае вейвлетов Стрёмберга порядка 0 могут наблюдаться следующие факты:

1. Если ж(т) ∈ п⁰(V) тогда ж(т) однозначно определяется дискретным подмножеством {ж(р) : р ∈ V} из р.
2. Для каждого s ∈ А₀, специальная функция λ_s в А₀ ассоциирован: он определяется λ_s(р) = 1, если р = s и λ_s(р) = 0, если s ≠ р ∈ А₀. Эти специальные элементы в п(А₀) называются простые палатки. Специальная простая палатка λ_1/2(т) обозначается λ (т)

Вычисление вейвлета Стрёмберга порядка 0

Как уже отмечалось, вейвлет Стрёмберга S⁰(т) полностью определяется множеством { S⁰(р) : р ∈ А₁ }. Используя определяющие свойства вейвлета Стрёмбега, можно вычислить точные выражения для элементов этого набора, и они приведены ниже.^[2]

${ Displaystyle S ^ {0} (к) = S ^ {0} (1) ({ sqrt {3}} - 2) ^ {k-1}}$ за ${ Displaystyle к = 1,2,3, ldots}$

${ displaystyle S ^ {0} ({ tfrac {1} {2}}) = - S ^ {0} (1) left ({ sqrt {3}} + { tfrac {1} {2}) }верно)}$

${ Displaystyle S ^ {0} (0) = S ^ {0} (1) (2 { sqrt {3}} - 2)}$

${ displaystyle S ^ {0} (- { tfrac {k} {2}}) = S ^ {0} (1) (2 { sqrt {3}} - 2) ({ sqrt {3}} -2) ^ {k}}$ за ${ Displaystyle к = 1,2,3, ldots}$

Здесь S⁰(1) постоянна такая, что ||S⁰(т)|| = 1.

Некоторые дополнительные сведения о вейвлете Стрёмберга порядка 0

Вейвлет Стрёмберга порядка 0 обладает следующими свойствами.^[2]

• Вейвлет Стрёмберга S⁰(т) колеблется о т-ось.
• Вейвлет Стрёмберга S⁰(т) имеет экспоненциальный спад.
• Ценности S⁰(т) для положительных целых значений т а для отрицательных полуцелых значений т связаны следующим образом: ${ Displaystyle S ^ {0} (- k / 2) = (10-6 { sqrt {3}}) S ^ {0} (k)}$ за ${ Displaystyle к = 1,2,3, ldots ,.}$

Рекомендации