Функция суммы квадратов - Википедия - Sum of squares function

В теория чисел, то функция суммы квадратов является арифметическая функция что дает количество представления для данного положительного целое число п как сумма k квадраты, где представления, различающиеся только порядком слагаемые или в знаках возводимых в квадрат чисел считаются разными и обозначаются р_k(п).

Определение

В функция определяется как

${ displaystyle r_ {k} (n) = | {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k}) in mathbb {Z} ^ {k} : n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {k} ^ {2} } |}$

куда ${ Displaystyle | , |}$ обозначает мощность из набор. Другими словами, р_k(п) это количество способов п можно записать как сумму k квадраты.

Например, ${ displaystyle r_ {2} (1) = 4}$ поскольку ${ displaystyle 1 = 0 ^ {2} + ( pm 1) ^ {2} = ( pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2}}$ где каждая сумма имеет две комбинации знаков, а также ${ displaystyle r_ {2} (2) = 4}$ поскольку ${ displaystyle 2 = ( pm 1) ^ {2} + ( pm 1) ^ {2}}$ с четырьмя знаковыми комбинациями. С другой стороны, ${ displaystyle r_ {2} (3) = 0}$ потому что невозможно представить 3 как сумму двух квадратов.

Формулы

k = 2

Количество способов написать натуральное число так как сумма двух квадратов определяется выражением р₂(п). Это явно задается

${ displaystyle r_ {2} (n) = 4 (d_ {1} (n) -d_ {3} (n))}$

куда d₁(п) это количество делители из п которые конгруэнтный к 1 по модулю 4 и d₃(п) это количество делителей п которые сравнимы с 3 по модулю 4. Используя суммы, выражение можно записать как:

${ displaystyle r_ {2} (n) = 4 sum _ {d mid n attop d , эквив , 1,3 { pmod {4}}} (- 1) ^ {(d-1 ) / 2}}$

Премьер факторизация ${ displaystyle n = 2 ^ {g} p_ {1} ^ {f_ {1}} p_ {2} ^ {f_ {2}} cdots q_ {1} ^ {h_ {1}} q_ {2} ^ {h_ {2}} cdots}$, куда ${ displaystyle p_ {i}}$ являются главные факторы формы ${ Displaystyle p_ {я} эквив 1 { pmod {4}},}$ и ${ displaystyle q_ {i}}$ простые множители вида ${ Displaystyle д_ {я} эквив 3 { pmod {4}}}$ дает другую формулу

${ displaystyle r_ {2} (n) = 4 (f_ {1} +1) (f_ {2} +1) cdots}$, если все экспоненты ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, cdots}$ находятся четное. Если один или несколько ${ displaystyle h_ {i}}$ находятся странный, тогда ${ Displaystyle r_ {2} (п) = 0}$.

k = 3

Гаусс доказал, что для бесквадратный номер п > 4,

${ displaystyle r_ {3} (n) = { begin {case} 24h (-n), & { text {if}} n Equiv 3 { pmod {8}}, 0 & { text { if}} n Equiv 7 { pmod {8}}, 12h (-4n) & { text {else}}, end {case}}}$

куда час(м) обозначает номер класса целого числа м.

k = 4

Количество способов представления п поскольку сумма четырех квадратов была обусловлена Карл Густав Якоб Якоби и он в восемь раз больше суммы всех его делителей, которые не делятся на 4, т. е.

${ displaystyle r_ {4} (n) = 8 sum _ {d , mid , n, 4 , nmid , d} d.}$

Представляя п = 2^kм, куда м нечетное целое число, можно выразить ${ Displaystyle r_ {4} (п)}$ с точки зрения делительная функция следующее:

${ displaystyle r_ {4} (n) = 8 sigma (2 ^ { min {k, 1 }} m).}$

k = 8

Якоби также нашел явная формула для случая k = 8:

${ displaystyle r_ {8} (n) = 16 sum _ {d , mid , n} (- 1) ^ {n + d} d ^ {3}.}$

Производящая функция

В производящая функция из последовательность ${ Displaystyle r_ {к} (п)}$ для фиксированного k можно выразить через Тета-функция Якоби:^[1]

${ Displaystyle vartheta (0; q) ^ {k} = vartheta _ {3} ^ {k} (q) = sum _ {n = 0} ^ { infty} r_ {k} (n) q ^ {n},}$

куда

${ displaystyle vartheta (0; q) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} = 1 + 2q + 2q ^ {4} + 2q ^ {9 } + 2q ^ {16} + cdots.}$

Числовые значения

Первые 30 значений для ${ Displaystyle г_ {к} (п), ; к = 1, точки, 8}$ перечислены в таблице ниже:

Смотрите также

• Теорема Якоби о четырех квадратах

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция суммы квадратов». MathWorld.