Суперсимметричная квантовая механика - Supersymmetric quantum mechanics

В теоретическая физика, суперсимметричная квантовая механика это область исследований, в которой математические концепции физика высоких энергий применяются к области квантовая механика.

Вступление

Понимание последствий суперсимметрия оказался сложным с математической точки зрения, и также было трудно разработать теории, которые могли бы объяснить нарушение симметрии, т.е., отсутствие наблюдаемых частиц-партнеров равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричная квантовая механика, приложение супералгебры суперсимметрии (SUSY) к квантовая механика в отличие от квантовая теория поля. Была надежда, что изучение последствий SUSY в этой более простой обстановке приведет к новому пониманию; примечательно, что эти усилия открыли новые области исследований в самой квантовой механике.

Например, студентов обычно учат «решать» водород атом путем кропотливого процесса, который начинается с вставки Кулон потенциал в Уравнение Шредингера. После значительного объема работы с использованием множества дифференциальных уравнений анализ дает рекурсивное соотношение для Полиномы Лагерра. Конечный результат - это спектр энергетических состояний атома водорода (помеченных квантовыми числами п и л). Используя идеи, взятые из SUSY, конечный результат может быть получен с гораздо большей легкостью, почти так же, как методы операторов используются для решения гармонический осциллятор.^[1] Аналогичный суперсимметричный подход также можно использовать для более точного нахождения спектра водорода с помощью уравнения Дирака.^[2] Как ни странно, этот подход аналогичен способу Эрвин Шредингер впервые решил атом водорода.^[3]^[4] Конечно, он не вызов его решение суперсимметрично, поскольку SUSY находился на тридцать лет вперед.

SUSY-решение атома водорода - только один пример очень общего класса решений, которые SUSY предоставляет для форма-инвариантные потенциалы, категория, которая включает большинство потенциалов, изучаемых на вводных курсах квантовой механики.

Квантовая механика SUSY включает пары Гамильтонианы которые разделяют определенные математические отношения, которые называются партнер гамильтонианцев. (The потенциальная энергия члены, входящие в гамильтонианы, тогда называются партнерские возможности.) Вводная теорема показывает, что для любого собственное состояние одного гамильтониана, его партнерский гамильтониан имеет соответствующее собственное состояние с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний с нулевой энергией). Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналогично первоначальному описанию SUSY, которое относилось к бозонам и фермионам. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», собственными состояниями которого являются различные бозоны нашей теории. SUSY-партнер этого гамильтониана будет «фермионным», а его собственными состояниями будут фермионы теории. У каждого бозона должен быть фермионный партнер с равной энергией, но в релятивистском мире энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем так же легко сказать, что частицы-партнеры имеют одинаковую массу.

Концепции SUSY предоставили полезные расширения Приближение ВКБ в виде модифицированной версии условия квантования Бора-Зоммерфельда. Кроме того, SUSY был применен к неквантовой статистическая механика сквозь Уравнение Фоккера – Планка, показывая, что даже если первоначальное вдохновение в физике частиц высоких энергий окажется тупиком, его исследование принесло много полезных преимуществ.

Пример: гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид

{ displaystyle H ^ {HO} psi _ {n} (x) = { bigg (} { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} { dx ^ {2}}} + { frac {m omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} { bigg)} psi _ {n} (x) = E_ {n} ^ { HO} psi _ {n} (x),}

куда ${ Displaystyle psi _ {п} (х)}$ это ${ displaystyle n}$ th собственное состояние энергии ${ displaystyle H ^ {HO}}$ с энергией ${ displaystyle E_ {n} ^ {HO}}$ . Мы хотим найти выражение для ${ displaystyle E_ {n} ^ {HO}}$ с точки зрения ${ displaystyle n}$ . Определим операторы

{ displaystyle A = { frac { hbar} { sqrt {2m}}} { frac {d} {dx}} + W (x)}

и

{ displaystyle A ^ { dagger} = - { frac { hbar} { sqrt {2m}}} { frac {d} {dx}} + W (x),}

куда ${ Displaystyle W (х)}$ , который нам нужно выбрать, называется суперпотенциалом ${ displaystyle H ^ {HO}}$ . Мы также определяем вышеупомянутые партнерские гамильтонианы ${ displaystyle H ^ {(1)}}$ и ${ displaystyle H ^ {(2)}}$ в качестве

{ displaystyle H ^ {(1)} = A ^ { dagger} A = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2 }}} - { frac { hbar} { sqrt {2m}}} W ^ { prime} (x) + W ^ {2} (x)}

{ displaystyle H ^ {(2)} = AA ^ { dagger} = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2} }} + { frac { hbar} { sqrt {2m}}} W ^ { prime} (x) + W ^ {2} (x).}

Основное состояние с нулевой энергией ${ Displaystyle psi _ {0} ^ {(1)} (х)}$ из ${ displaystyle H ^ {(1)}}$ удовлетворял бы уравнению

{ Displaystyle H ^ {(1)} psi _ {0} ^ {(1)} (x) = A ^ { dagger} A psi _ {0} ^ {(1)} (x) = A ^ { dagger} { bigg (} { frac { hbar} { sqrt {2m}}} { frac {d} {dx}} + W (x) { bigg)} psi _ {0 } ^ {(1)} (x) = 0.}

Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора ${ Displaystyle psi _ {0} (х)}$ , мы можем решить для ${ Displaystyle W (х)}$ в качестве

{ displaystyle W (x) = { frac {- hbar} { sqrt {2m}}} { bigg (} { frac { psi _ {0} ^ { prime} (x)} { psi _ {0} (x)}} { bigg)} = x { sqrt {m omega ^ {2} / 2}}}

Затем мы обнаруживаем, что

{ displaystyle H ^ {(1)} = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + { frac { m omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} - { frac { hbar omega} {2}}}

{ displaystyle H ^ {(2)} = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + { frac { m omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} + { frac { hbar omega} {2}}.}.}

Теперь мы видим, что

{ displaystyle H ^ {(1)} = H ^ {(2)} - hbar omega = H ^ {HO} - { frac { hbar omega} {2}}.}

Это частный случай инвариантности формы, обсуждаемый ниже. Принимая без доказательства упомянутую вводную теорему, очевидно, что спектр ${ displaystyle H ^ {(1)}}$ начнется с ${ displaystyle E_ {0} = 0}$ и продолжайте движение вверх ступенями ${ displaystyle hbar omega.}$ Спектры ${ displaystyle H ^ {(2)}}$ и ${ displaystyle H ^ {HO}}$ будут иметь такой же ровный интервал, но будут сдвинуты на величину ${ displaystyle hbar omega}$ и ${ displaystyle hbar omega / 2}$ , соответственно. Отсюда следует, что спектр ${ displaystyle H ^ {HO}}$ поэтому знакомый ${ displaystyle E_ {n} ^ {HO} = hbar omega (n + 1/2)}$ .

Супералгебра SUSY QM

В фундаментальной квантовой механике мы узнаем, что алгебра операторов определяется формулой коммутация отношения между этими операторами. Например, канонические операторы положения и импульса имеют коммутатор ${ Displaystyle [х, р] = я}$ . (Здесь мы используем "натуральные единицы " куда Постоянная Планка принимается равным 1.) Более сложным случаем является алгебра угловой момент операторы; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией трехмерного пространства. Чтобы обобщить эту концепцию, определим антикоммутатор, который связывает операторы так же, как и обычный коммутатор, но с обратным знаком:

{ displaystyle {A, B } = AB + BA.}

Если операторы связаны антикоммутаторами так же, как коммутаторы, мы говорим, что они являются частью Супералгебра Ли. Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ и набор ${ displaystyle N}$ операторы ${ displaystyle Q_ {i}}$ . Назовем эту систему суперсимметричный если для всех справедливо следующее антикоммутационное соотношение ${ displaystyle i, j = 1, ldots, N}$ :

{ displaystyle {Q_ {i}, Q_ {j} ^ { dagger} } = { mathcal {H}} delta _ {ij}.}

В этом случае мы вызываем ${ displaystyle Q_ {i}}$ система наддувы.

Пример

Давайте посмотрим на пример одномерной нерелятивистской частицы с 2D (т.е. два состояния) внутренняя степень свободы, называемая «спином» (на самом деле это не спин, потому что «настоящий» спин - это свойство трехмерных частиц). Позволять ${ displaystyle b}$ - оператор, преобразующий частицу со спином вверх в частицу со спином вниз. Прилегающий ${ displaystyle b ^ { dagger}}$ затем преобразует частицу со спином вниз в частицу со спином вверх; операторы нормированы так, что антикоммутатор ${ displaystyle {b, b ^ { dagger} } = 1}$ . И конечно же ${ displaystyle b ^ {2} = 0}$ . Позволять ${ displaystyle p}$ - импульс частицы и ${ displaystyle x}$ быть его положением с ${ Displaystyle [х, р] = я}$ . Позволять ${ displaystyle W}$ ("сверхпотенциал ") - произвольная комплексная аналитическая функция от ${ displaystyle x}$ и определим суперсимметричные операторы

{ displaystyle Q_ {1} = { frac {1} {2}} left [(p-iW) b + (p + iW ^ { dagger}) b ^ { dagger} right]}

{ displaystyle Q_ {2} = { frac {i} {2}} left [(p-iW) b- (p + iW ^ { dagger}) b ^ { dagger} right]}

Обратите внимание, что ${ displaystyle Q_ {1}}$ и ${ displaystyle Q_ {2}}$ самосопряжены. Пусть Гамильтониан

{ Displaystyle H = {Q_ {1}, Q_ {1} } = {Q_ {2}, Q_ {2} } = { frac {(p + Im {W }) ^ {2 }} {2}} + { frac {{ Re {W }} ^ {2}} {2}} + { frac { Re {W } '} {2}} (bb ^ { dagger} -b ^ { dagger} b)}

куда W ' является производной от W. Также обратите внимание, что {Q₁, Q₂} = 0. Это не что иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, что ${ Displaystyle Im {W }}$ действует как электромагнитный векторный потенциал.

Давайте также назовем состояние со спином вниз «бозонным», а состояние со спином вверх «фермионным». Это только аналогия с квантовой теорией поля и не должна восприниматься буквально. Потом, Q₁ и Q₂ переводит «бозонные» состояния в «фермионные» и наоборот.

Давайте немного переформулируем это:

Определять

{ Displaystyle Q = (p-iW) b}

и конечно,

{ displaystyle Q ^ { dagger} = (p + iW ^ { dagger}) b ^ { dagger}}

{ Displaystyle {Q, Q } = {Q ^ { dagger}, Q ^ { dagger} } = 0}

и

{ displaystyle {Q ^ { dagger}, Q } = 2H}

Оператор является «бозонным», если он отображает «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионные» состояния в «фермионные» состояния. Оператор является «фермионным», если он отображает «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор можно однозначно выразить как сумму бозонного оператора и фермионного оператора. Определить суперкоммутатор [,} следующим образом: Между двумя бозонными операторами или бозонным и фермионным операторами, это не что иное, как коммутатор но между двумя фермионными операторами это антикоммутатор.

Тогда x и p - бозонные операторы и b, ${ displaystyle b ^ { dagger}}$ , Q и ${ displaystyle Q ^ { dagger}}$ являются фермионными операторами.

Давайте работать в Картинка Гейзенберга где x, b и ${ displaystyle b ^ { dagger}}$ являются функциями времени.

Потом,

{ displaystyle [Q, x } = - ib}

{ displaystyle [Q, b } = 0}

{ displaystyle [Q, b ^ { dagger} } = { frac {dx} {dt}} - я Re {W }}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, x } = ib ^ { dagger}}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, b } = { frac {dx} {dt}} + i Re {W }}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, b ^ { dagger} } = 0}

В общем случае это нелинейно: т.е. x (t), b (t) и ${ displaystyle b ^ { dagger} (т)}$ не образуют линейного SUSY-представления, потому что ${ Displaystyle Re {W }}$ не обязательно линейно по Икс. Чтобы избежать этой проблемы, определите самосопряженный оператор ${ Displaystyle F = Re {W }}$ . Потом,

{ displaystyle [Q, x } = - ib}

{ displaystyle [Q, b } = 0}

{ displaystyle [Q, b ^ { dagger} } = { frac {dx} {dt}} - iF}

{ displaystyle [Q, F } = - { frac {db} {dt}}}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, x } = ib ^ { dagger}}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, b } = { frac {dx} {dt}} + iF}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, b ^ { dagger} } = 0}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, F } = { frac {db ^ { dagger}} {dt}}}

и мы видим, что у нас есть линейное SUSY-представление.

Теперь давайте введем две «формальные» величины, ${ displaystyle theta}$ ; и ${ displaystyle { bar { theta}}}$ причем последний является соединением с первым, так что

{ Displaystyle { theta, theta } = {{ bar { theta}}, { bar { theta}} } = {{ bar { theta}}, theta } = 0}

и оба они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.

Затем мы определяем конструкцию, называемую суперполе:

{ displaystyle f (t, { bar { theta}}, theta) = x (t) -i theta b (t) -i { bar { theta}} b ^ { dagger} (т ) + { bar { theta}} theta F (t)}

ж самосопряжен, конечно. Потом,

{ displaystyle [Q, f } = { frac { partial} { partial theta}} f-i { bar { theta}} { frac { partial} { partial t}} f,}

{ displaystyle [Q ^ { dagger}, f } = { frac { partial} { partial { bar { theta}}}} fi theta { frac { partial} { partial t} } f.}

Кстати, есть еще U (1)_р симметрия, где p, x и W имеют нулевые R-заряды и ${ displaystyle b ^ { dagger}}$ имеющий R-заряд 1 и b, имеющий R-заряд -1.

Инвариантность формы

Предполагать ${ displaystyle W}$ реально для всего настоящего ${ displaystyle x}$ . Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана до

{ displaystyle H = { frac {(p) ^ {2}} {2}} + { frac {{W} ^ {2}} {2}} + { frac {W '} {2}} (bb ^ { dagger} -b ^ { dagger} b)}

Существуют определенные классы суперпотенциалов, в которых бозонный и фермионный гамильтонианы имеют одинаковый вид. Конкретно

{ Displaystyle V _ {+} (х, a_ {1}) = V _ {-} (x, a_ {2}) + R (a_ {1})}

где ${ displaystyle a}$ это параметры. Например, потенциал атома водорода с угловым моментом ${ displaystyle l}$ можно записать так.

{ displaystyle { frac {-e ^ {2}} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac {1} {r}} + { frac {h ^ {2} l (l + 1)} {2m}} { frac {1} {r ^ {2}}} - E_ {0}}

Это соответствует ${ displaystyle V _ {-}}$ для суперпотенциала

{ displaystyle W = { frac { sqrt {2m}} {h}} { frac {e ^ {2}} {24 pi epsilon _ {0} (l + 1)}} - { frac {ч (1 + 1)} {г { sqrt {2m}}}}}

{ displaystyle V _ {+} = { frac {-e ^ {2}} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac {1} {r}} + { frac {h ^ {2 } (l + 1) (l + 2)} {2m}} { frac {1} {r ^ {2}}} + { frac {e ^ {4} m} {32 pi ^ {2} h ^ {2} epsilon _ {0} ^ {2} (l + 1) ^ {2}}}}

Это потенциал для ${ displaystyle l + 1}$ угловой момент сдвинут на постоянную величину. После решения ${ displaystyle l = 0}$ В основном состоянии суперсимметричные операторы могут быть использованы для построения остальной части спектра связанных состояний.

В общем, поскольку ${ displaystyle V _ {-}}$ и ${ displaystyle V _ {+}}$ являются партнерскими потенциалами, они имеют один и тот же энергетический спектр, за исключением одной дополнительной основной энергии. Мы можем продолжить этот процесс нахождения партнерских потенциалов с условием инвариантности формы, дав следующую формулу для уровней энергии в терминах параметров потенциала

{ displaystyle E_ {n} = sum limits _ {i = 1} ^ {n} R (a_ {i})}

куда ${ displaystyle a_ {i}}$ являются параметрами для множественных партнерских потенциалов.

Смотрите также

Источники

Ф. Купер, А. Харе и У. Сухатме, "Суперсимметрия и квантовая механика", Phys.Rept.251: 267-385, 1995.
Д.С. Кульшрешта, J.Q. Лян и Х.Дж. Мюллер-Кирстен, "Флуктуационные уравнения о классических конфигурациях поля и суперсимметричная квантовая механика", Annals Phys. 225: 191-211, 1993.
Дж. Юнкер, "Суперсимметричные методы в квантовой и статистической физике", Springer-Verlag, Берлин, 1996 г.
Б. Мельник и О. Росас-Ортис, «Факторизация: маленький или отличный алгоритм?», J. Phys. A: Математика. Быт.37: 10007-10035, 2004

внешняя ссылка

Рекомендации INSPIRE-HEP

[1] Valance, A .; Morgan, T. J .; Бержерон, Х. (1990), «Собственное решение кулоновского гамильтониана через суперсимметрию», Американский журнал физики, AAPT, 58 (5): 487–491, Bibcode:1990AmJPh..58..487V, Дои:10.1119/1.16452, заархивировано из оригинал на 2013-02-24

[2] Таллер, Б. (1992). Уравнение Дирака. Тексты и монографии по физике. Springer.

[3] Шредингер, Эрвин (1940), "Метод определения квантово-механических собственных значений и собственных функций", Труды Королевской ирландской академии, Королевская ирландская академия, 46: 9–16

[4] Шредингер, Эрвин (1941), «Дальнейшие исследования по решению проблем собственных значений с помощью факторизации», Труды Королевской ирландской академии, Королевская ирландская академия, 46: 183–206

[1]

[2]

[3]

[4]