Отношение площади поверхности к объему - Surface-area-to-volume ratio

Графики площади поверхности, А против объема, V Платоновых тел и сферы, показывая, что площадь поверхности уменьшается для более округлых форм, а отношение площади поверхности к объему уменьшается с увеличением объема. Их точки пересечения с пунктирными линиями показывают, что при увеличении объема в 8 (2 ³) раз площадь поверхности увеличивается в 4 (2 ²) раза.

В отношение площади поверхности к объему, также называемый отношение поверхности к объему и по-разному обозначается са / объем или же SA: V, это количество площадь поверхности на единицу объема объекта или коллекции объектов. химические реакции с твердым материалом отношение площади поверхности к объему является важным фактором для реактивность, то есть скорость, с которой будет протекать химическая реакция.

Для данного объема объект с наименьшей площадью поверхности (и, следовательно, с наименьшим SA: V) является мяч, следствие изопериметрическое неравенство в 3-х измерениях. Напротив, объекты с крошечными шипами будут иметь очень большую площадь поверхности для данного объема.

SA: V для мячей и N-мячей

А мяч представляет собой трехмерный объект, являющийся заполненной версией сфера («сфера» правильно относится только к поверхности, поэтому сфера не имеет объема). Шары существуют в любом измерении и обычно называются n-шары, где n - количество измерений.

График отношения площади поверхности к объему (SA: V) для трехмерного шара, показывающий, что отношение уменьшается обратно пропорционально увеличению радиуса шара.

Для обычного трехмерного шара SA: V можно рассчитать с помощью стандартных уравнений для поверхности и объема, которые, соответственно, ${displaystyle 4pi {r ^ {2}}}$ и ${displaystyle (4/3) pi {r ^ {3}}}$ . Для единичного случая, когда r = 1, SA: V, таким образом, равно 3. SA: V имеет обратную связь с радиусом - если радиус удвоен, SA: V делится пополам (см. Рисунок).

Те же рассуждения можно обобщить на n-шары, используя общие уравнения для объема и площади поверхности, а именно:

объем = ${displaystyle r ^ {n} pi ^ {n / 2} over Gamma (1 + n / 2)}$ ; площадь поверхности = ${displaystyle nr ^ {n-1} pi ^ {n / 2} over Gamma (1+ {n / 2})}$

График отношения площади поверхности к объему (SA: V) для n-шариков как функция количества измерений и размера радиуса. Обратите внимание на линейное масштабирование как функцию размерности и обратное масштабирование как функцию радиуса.

Таким образом, соотношение уменьшается до ${displaystyle nr ^ {- 1}}$ . Таким образом, такая же линейная зависимость между площадью и объемом сохраняется для любого количества измерений (см. Рисунок): удвоение радиуса всегда уменьшает соотношение вдвое.

Измерение

Отношение площади поверхности к объему имеет физическое измерение L⁻¹ (обратная длина) и поэтому выражается в единицах обратной длины. Например, куб со сторонами длиной 1см будет иметь площадь 6 см² и объемом 1 см.³. Таким образом, отношение поверхности к объему для этого куба

{displaystyle {mbox {SA: V}} = {frac {6 ~ {mbox {cm}} ^ {2}} {1 ~ {mbox {cm}} ^ {3}}} = 6 ~ {mbox {cm}) } ^ {- 1}}

.

Для данной формы SA: V обратно пропорционален размеру. Куб со стороной 2 см имеет отношение 3 см.⁻¹, половина куба со стороной 1 см. И наоборот, сохранение SA: V по мере увеличения размера требует изменения на меньшее компактный форма.

Физическая химия

Материалы с высоким площадь поверхности к объем соотношение (например, очень маленький диаметр, очень пористый, или иначе нет компактный ) реагируют гораздо быстрее, чем монолитные материалы, потому что для реакции доступна большая поверхность. Примером может служить зерновая пыль: хотя зерно обычно не воспламеняется, зерновая пыль взрывоопасна. Соль мелкого помола растворяется намного быстрее, чем соль крупного помола.

Высокое отношение площади поверхности к объему обеспечивает мощную «движущую силу» для ускорения термодинамических процессов, сводящих к минимуму свободная энергия.

Биология

Клетки подкладка тонкий кишечник увеличить площадь поверхности, на которой они могут поглощать питательные вещества, с помощью ковра из пучков микроворсинки.

Соотношение между площадью поверхности и объемом клетки и организмы оказывает огромное влияние на их биология, включая их физиология и поведение. Например, многие водные микроорганизмы имеют увеличенную площадь поверхности, что увеличивает сопротивление их движению в воде. Это снижает скорость их опускания и позволяет им оставаться у поверхности с меньшими затратами энергии.^{[нужна цитата ]}

Увеличение отношения площади поверхности к объему также означает повышенное воздействие окружающей среды. Мелкоразветвленные придатки питатели-фильтры Такие как криль обеспечьте большую поверхность для просеивания воды для еды.^[1]

Отдельные органы, такие как легкое имеют многочисленные внутренние разветвления, увеличивающие площадь поверхности; в случае легких большая поверхность поддерживает газообмен, в результате чего кислород в кровь и выпуская углекислый газ из крови.^[2]^[3] Точно так же тонкий кишечник имеет мелко морщинистую внутреннюю поверхность, позволяющую организму эффективно усваивать питательные вещества.^[4]

Клетки могут достигать высокого отношения площади поверхности к объему со сложной извилистой поверхностью, как у микроворсинки подкладка тонкий кишечник.^[5]

Увеличенная площадь поверхности также может привести к биологическим проблемам. Более тесный контакт с окружающей средой через поверхность клетки или органа (относительно его объема) увеличивает потерю воды и растворенных веществ. Высокое отношение площади поверхности к объему также создает проблемы с контролем температуры в неблагоприятных условиях окружающей среды.^{[нужна цитата ]}

Соотношение поверхности к объему организмов разного размера также приводит к некоторым биологические правила Такие как Правило Аллена, Правило Бергмана^[6]^[7]^[8] и гигантотермия.^[9]

Распространение огня

В контексте пожары, отношение площади поверхности твердого топлива к его объему является важным измерением. Распространение огня часто коррелирует с отношением площади поверхности к объему топлива (например, листьев и ветвей). Чем выше его значение, тем быстрее частица реагирует на изменения условий окружающей среды, таких как температура или влажность. Более высокие значения также коррелируют с более коротким временем воспламенения топлива и, следовательно, более высокой скоростью распространения пожара.

Планетарное охлаждение

Тело из ледяного или каменистого материала в космическом пространстве может, если оно способно накапливать и сохранять достаточное количество тепла, образовывать дифференцированный интерьер и изменять свою поверхность в результате вулканической или тектонической активности. Продолжительность времени, в течение которого планетарное тело может поддерживать активность по изменению поверхности, зависит от того, насколько хорошо оно сохраняет тепло, и это регулируется соотношением его площади поверхности к объему. За Веста (r = 263 км), отношение настолько велико, что астрономы с удивлением обнаружили, что оно сделал дифференцируются и имеют кратковременную вулканическую активность. В Луна, Меркурий и Марс иметь радиус в несколько тысяч километров; все три достаточно хорошо сохраняли тепло, чтобы их можно было тщательно дифференцировать, хотя примерно через миллиард лет они стали слишком холодными, чтобы показывать что-либо, кроме очень ограниченной и редкой вулканической активности. Однако по состоянию на апрель 2019 года НАСА объявило об обнаружении «маротрясения», измеренного 6 апреля 2019 года спускаемым аппаратом НАСА InSight.^[10] Венера и земной шар (r> 6000 км) имеют достаточно низкое отношение площади поверхности к объему (примерно вдвое меньше, чем у Марса и намного ниже, чем у всех других известных скалистых тел), так что их тепловые потери минимальны.^[11]

Математические примеры

Форма	Характеристика Длина ${displaystyle a}$	Площадь поверхности	Объем	Соотношение SA / V	Соотношение SA / V для единичный объем
Тетраэдр	край	${displaystyle {sqrt {3}} a ^ {2}}$	${displaystyle {frac {{sqrt {2}} a ^ {3}} {12}}}$	${displaystyle {frac {6 {sqrt {6}}} {a}} примерно {frac {14.697} {a}}}$	7.21
Куб	сторона	${displaystyle 6a ^ {2}}$	${displaystyle a ^ {3}}$	${displaystyle {frac {6} {a}}}$	6
Октаэдр	сторона	${displaystyle 2 {sqrt {3}} a ^ {2}}$	${displaystyle {frac {1} {3}} {sqrt {2}} a ^ {3}}$	${displaystyle {frac {3 {sqrt {6}}} {a}} приблизительно {frac {7.348} {a}}}$	5.72
Додекаэдр	сторона	${displaystyle 3 {sqrt {25 + 10 {sqrt {5}}}} a ^ {2}}$	${displaystyle {frac {1} {4}} (15 + 7 {sqrt {5}}) a ^ {3}}$	${displaystyle {frac {12 {sqrt {25 + 10 {sqrt {5}}}}} {(15 + 7 {sqrt {5}}) a}} примерно {frac {2.694} {a}}}$	5.31
Капсула	радиус (R)	${displaystyle 4pi a ^ {2} + 2pi a * 2a = 8pi a ^ {2}}$	${displaystyle {frac {4pi a ^ {3}} {3}} + pi a ^ {2} * 2a = {frac {10pi a ^ {3}} {3}}}$	${displaystyle {frac {12} {5a}}}$	5.251
Икосаэдр	сторона	${displaystyle 5 {sqrt {3}} a ^ {2}}$	${displaystyle {frac {5} {12}} (3+ {sqrt {5}}) a ^ {3}}$	${displaystyle {frac {12 {sqrt {3}}} {(3+ {sqrt {5}}) a}} примерно {frac {3.970} {a}}}$	5.148
Сфера	радиус	${displaystyle 4pi a ^ {2}}$	${displaystyle {frac {4pi a ^ {3}} {3}}}$	${displaystyle {frac {3} {a}}}$	3

Примеры кубиков разного размера
Сторона куб	Сторона²	Площадь а одно лицо	6 × сторона²	Зона весь куб (6 лиц)	Сторона³	Объем	Соотношение площадь поверхности в объем
2	2x2	4	6x2x2	24	2x2x2	8	3:1
4	4x4	16	6x4x4	96	4x4x4	64	3:2
6	6x6	36	6x6x6	216	6x6x6	216	3:3
8	8x8	64	6x8x8	384	8x8x8	512	3:4
12	12x12	144	6x12x12	864	12x12x12	1728	3:6
20	20x20	400	6x20x20	2400	20x20x20	8000	3:10
50	50x50	2500	6x50x50	15000	50x50x50	125000	3:25
1000	1000x1000	1000000	6x1000x1000	6000000	1000x1000x1000	1000000000	3:500

Смотрите также

внешняя ссылка

дальнейшее чтение

О том, чтобы быть правильного размера, J.B.S. Холдейн

[1] Килс, У .: Плавание и кормление антарктического криля, Euphausia superba - выдающаяся энергетика и динамика - некоторые уникальные морфологические детали. В Berichte zur Polarforschung, Институт полярных и морских исследований Альфреда Вегенера, Специальный выпуск 4 (1983): «О биологии криля. Euphausia superba", Материалы семинара и отчет Группы экологии криля, редактор С. Б. Шнак, 130-155 и изображение на титульном листе.

[tortora1-2] Тортора, Джерард Дж .; Анагностакос, Николас П. (1987). Основы анатомии и физиологии (Пятое изд.). Нью-Йорк: Harper & Row, Publishers. стр.556–582. ISBN 978-0-06-350729-6.

[grays-3] Уильямс, Питер Л; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (1989). Анатомия Грея (Тридцать седьмое изд.). Эдинбург: Черчилль Ливингстон. С. 1278–1282. ISBN 0443-041776.

[VB-4] Ромер, Альфред Шервуд; Парсонс, Томас С. (1977). Тело позвоночного. Филадельфия, Пенсильвания: Holt-Saunders International. С. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5.

[William2005-5] Краузе Дж. Уильям (июль 2005 г.). Основы гистологии человека Краузе для студентов-медиков. Универсальные издатели. С. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2. Получено 25 ноября 2010.

[Meiri2003-6] Meiri, S .; Даян, Т. (20.03.2003). «О справедливости правила Бергмана». Журнал биогеографии. 30 (3): 331–351. Дои:10.1046 / j.1365-2699.2003.00837.x.

[Ashton2000-7] Эштон, Кайл Дж .; Трейси, Марк С .; Кейруш, Алан де (октябрь 2000 г.). «Действительно ли правило Бергмана для млекопитающих?». Американский натуралист. 156 (4): 390–415. Дои:10.1086/303400. JSTOR 10.1086/303400. PMID 29592141. S2CID 205983729.

[Millien2006-8] Миллиен, Вирджиния; Лайонс, С. Кэтлин; Олсон, Линк; и другие. (23 мая 2006 г.). «Экотипическая изменчивость в контексте глобального изменения климата: пересмотр правил». Письма об экологии. 9 (7): 853–869. Дои:10.1111 / j.1461-0248.2006.00928.x. PMID 16796576.

[9] Фитцпатрик, Кэти (2005). «Гигантотермия». Дэвидсон колледж. Архивировано из оригинал на 2012-06-30. Получено 2011-12-21.

[10] "Marsquake! Посадочный модуль НАСА InSight чувствует свое первое сотрясение Красной планеты".

[11] ttp://www.astro.uvic.ca/~venn/A201/maths.6.planetary_cooling.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]