Теорема Тэта – Кнезера - Tait–Kneser theorem

Вложенный соприкасающиеся круги из Архимедова спираль. Сама спираль не показана, но видна там, где круги более плотные.

В дифференциальная геометрия, то Теорема Тэта – Кнезера утверждает, что если гладкая плоская кривая имеет монотонную кривизну, то соприкасающиеся круги кривой не пересекаются и вложены друг в друга.^[1]В логарифмическая спираль или изображенный Архимедова спираль приведите примеры кривых, кривизна которых монотонна для всей кривой. Такой монотонности не может быть для простая замкнутая кривая (посредством теорема о четырех вершинах, есть как минимум четыре вершины где кривизна достигает крайней точки)^[1] но для таких кривых теорема применима к дугам кривых между их вершинами.

Теорема названа в честь Питер Тейт, опубликовавший его в 1896 году, и Адольф Кнезер, который заново открыл его и опубликовал в 1912 году.^[1][2][3] Доказательство Тейта следует просто из свойств эволюционировать - кривая, очерченная центрами соприкасающихся окружностей. Для кривых с монотонной кривизной длина дуги по эволюции между двумя центрами равна разности радиусов соответствующих окружностей. Эта длина дуги должна быть больше, чем расстояние по прямой между ними. те же два центра, поэтому две окружности имеют центры ближе друг к другу, чем разница их радиусов, из чего следует теорема.^[1][2]

Аналогичные теоремы о дизъюнктности можно доказать для семейства Полиномы Тейлора заданной гладкой функции, а для соприкасающиеся коники к заданной гладкой кривой.^[1]

Рекомендации