Топологическая жесткость - Topological rigidity

в математическое поле из топология, а многообразие M называется топологически жесткий если каждое многообразие гомотопически эквивалентный к M это также гомеоморфный к M.^[1]

Мотивация

Центральная проблема в топологии - определить, когда два пространства одинаковы, то есть гомеоморфны или диффеоморфны. Явное построение морфизма почти всегда непрактично. Если мы наложим дополнительные условия на одно или оба пространства (многообразия), мы сможем использовать эту дополнительную структуру, чтобы показать, что желаемый морфизм должен существовать.

Теорема жесткости касается случая, когда существует довольно слабая эквивалентность двух многообразий (обычно гомотопическая эквивалентность ) влечет существование более сильного гомеоморфизма эквивалентности, диффеоморфизм или же изометрия.

Определение.

Замкнутое топологическое многообразие M называется топологически жестким, если любая гомотопическая эквивалентность ж : N → M с некоторым многообразием N в качестве источника и M в качестве цели гомотопно гомеоморфизму.

Примеры

Пример 1.
Если замкнутые двумерные многообразия M и N гомотопически эквивалентны, то они гомеоморфны. Более того, любая гомотопическая эквивалентность замкнутых поверхностей деформируется до гомеоморфизма.

Пример 2.
Если замкнутый коллектор M^п (п ≠ 3) гомотопически эквивалентно S^п затем M^п гомеоморфен S^п.

Теорема жесткости в геометрии

Определение.

Диффеоморфизм плоско-римановых многообразий называется аффинным. если только он относит геодезические к геодезическим.

Теорема (Бибербах)

Если ж : M → N является гомотопической эквивалентностью плоских замкнутых связных римановых многообразий, то ж гомотопно аффинному гомеоморфизму.

Теорема жесткости Мостова

Теорема: Позволять M и N быть компактный, локально симметричный Римановы многообразия с всюду неположительной кривизной, не имеющей замкнутого одномерного или двумерного геодезического подпространства, являющегося прямым фактором локально. Если ж : M → N является гомотопической эквивалентностью, то ж гомотопна изометрии.

Теорема (теорема Мостова для гиперболических п-коллекторы, п ≥ 3): Если M и N полные гиперболические п-многообразия, п ≥ 3 с конечным объемом и ж : M → N является гомотопической эквивалентностью, то ж гомотопна изометрии.

Эти результаты названы в честь Джордж Мостоу.

Алгебраическая форма

Пусть Γ и ∆ - дискретные подгруппы группы группа изометрии из гиперболический п-Космос ЧАС, куда п ≥ 3, частные ЧАС/ Γ и ЧАС/ Δ имеют конечный объем. Если Γ и ∆ изоморфны как дискретные группы, то они сопряжены.

Замечания

(1) В двумерном случае любое многообразие рода не меньше двух имеет гиперболическую структуру. Теорема Мостова о жесткости в этом случае неприменима. Фактически, на любом таком многообразии существует множество гиперболических структур; каждая такая структура соответствует точке в пространстве Тейхмюллера.

(2) С другой стороны, если M и N являются 2-многообразиями конечного объема, то легко показать, что они гомеоморфны именно тогда, когда их фундаментальные группы совпадают.

Заявление

Группа изометрий конечного гиперболического п-многообразие M (за п ≥ 3) конечно и изоморфно π₁(M).

Рекомендации