Полное изменение шумоподавления - Википедия - Total variation denoising

Пример применения Rudin et al.^[1] метод шумоподавления полной вариации изображения, искаженного гауссовым шумом. Этот пример создан с использованием demo_tv.m Гаем Гилбоа, см. Внешние ссылки.

При обработке сигналов полное изменение шумоподавления, также известный как полная регуляризация вариаций, это процесс, наиболее часто используемый в цифровых обработка изображений, который применяется для удаления шума. Он основан на том принципе, что сигналы с чрезмерной и, возможно, ложной детализацией имеют высокую полное изменение, то есть интеграл абсолютного градиент сигнала высокий. В соответствии с этим принципом уменьшение общей вариации сигнала при условии, что он близок к исходному сигналу, удаляет нежелательные детали, сохраняя при этом важные детали, такие как края. Идея была впервые предложена Рудином, Ошером и Фатеми в 1992 году и поэтому сегодня известна как Модель ROF.^[1]

Этот метод удаления шума имеет преимущества перед простыми методами, такими как линейное сглаживание или же медианная фильтрация которые уменьшают шум, но в то же время сглаживают края в большей или меньшей степени. Напротив, шумоподавление с полным изменением очень эффективно при одновременном сохранении краев и сглаживании шума в плоских областях даже при низких отношениях сигнал / шум.^[2]

1D серия сигналов

Применение одномерного шумоподавления с полной вариацией к сигналу, полученному в эксперименте с одной молекулой.^[3] Серый - исходный сигнал, черный - шумоподавленный сигнал.

Для цифровой сигнал ${ displaystyle y_ {n}}$ , мы можем, например, определить полную вариацию как

{ Displaystyle V (y) = сумма _ {n} | y_ {n + 1} -y_ {n} |.}

Учитывая входной сигнал ${ displaystyle x_ {n}}$ , цель шумоподавления полной вариации - найти приближение, назовем его ${ displaystyle y_ {n}}$ , который имеет меньшую общую вариацию, чем ${ displaystyle x_ {n}}$ но "близко" к ${ displaystyle x_ {n}}$ . Одним из показателей близости является сумма квадратных ошибок:

{ displaystyle operatorname {E} (x, y) = { frac {1} {n}} sum _ {n} (x_ {n} -y_ {n}) ^ {2}.}

Таким образом, проблема шумоподавления с полной вариацией сводится к минимизации следующего дискретного функционала по сигналу ${ displaystyle y_ {n}}$ :

{ displaystyle operatorname {E} (x, y) + lambda V (y).}

Дифференцируя этот функционал по ${ displaystyle y_ {n}}$ , мы можем получить соответствующий Уравнение Эйлера – Лагранжа., который может быть численно интегрирован с исходным сигналом ${ displaystyle x_ {n}}$ в качестве начального условия. Это был оригинальный подход.^[1] В качестве альтернативы, поскольку это выпуклый функционал, техники из выпуклая оптимизация можно использовать, чтобы минимизировать его и найти решение ${ displaystyle y_ {n}}$ .^[3]

Свойства регуляризации

В регуляризация параметр ${ displaystyle lambda}$ играет решающую роль в процессе шумоподавления. Когда ${ displaystyle lambda = 0}$ , сглаживания нет, и результат такой же, как при минимизации суммы квадратов. В качестве ${ displaystyle lambda to infty}$ однако, член общей вариации играет все более важную роль, что заставляет результат иметь меньшую общую вариацию за счет того, что он меньше похож на входной (зашумленный) сигнал. Таким образом, выбор параметра регуляризации имеет решающее значение для достижения оптимального уровня удаления шума.

2D изображения сигналов

Теперь рассмотрим 2D-сигналы. у, например изображения. Норма полной вариации, предложенная в статье 1992 г., равна

{ displaystyle V (y) = sum _ {i, j} { sqrt {| y_ {i + 1, j} -y_ {i, j} | ^ {2} + | y_ {i, j + 1 } -y_ {i, j} | ^ {2}}}}

и является изотропный и нет дифференцируемый. Вариант, который иногда используется, поскольку иногда его легче минимизировать, представляет собой анизотропный вариант.

{ displaystyle V _ { operatorname {aniso}} (y) = sum _ {i, j} { sqrt {| y_ {i + 1, j} -y_ {i, j} | ^ {2}}} + { sqrt {| y_ {i, j + 1} -y_ {i, j} | ^ {2}}} = sum _ {i, j} | y_ {i + 1, j} -y_ {i , j} | + | y_ {i, j + 1} -y_ {i, j} |.}

Стандартная задача шумоподавления с полной вариацией по-прежнему имеет вид

{ displaystyle min _ {y} [ operatorname {E} (x, y) + lambda V (y)],}

куда E это 2D L₂ норма. В отличие от одномерного случая, решение этого шумоподавления нетривиально. Недавний алгоритм, который решает эту проблему, известен как первичный двойной метод.^[4]

Отчасти из-за большого количества исследований в сжатое зондирование в середине 2000-х годов появилось много алгоритмов, таких как сплит-Метод Брегмана, которые решают варианты этой проблемы.

Рудин – Ошер – Фатеми PDE

Предположим, что нам дано зашумленное изображение ${ displaystyle f}$ и хотите вычислить шумоподавленное изображение ${ displaystyle u}$ над 2D-пространством. ROF показал, что проблема минимизации, которую мы хотим решить:^[5]

{ displaystyle min _ {u in operatorname {BV} ( Omega)} ; | u | _ { operatorname {TV} ( Omega)} + { lambda over 2} int _ { Omega} (фу) ^ {2} , dx}

куда ${ textstyle operatorname {BV} ( Omega)}$ это набор функций с ограниченная вариация по домену ${ displaystyle Omega}$ , ${ textstyle operatorname {TV} ( Omega)}$ - полная вариация по области, а ${ textstyle lambda}$ срок штрафа. Когда ${ textstyle u}$ гладко, полное изменение эквивалентно интегралу величины градиента:

{ Displaystyle | U | _ { OperatorName {TV} ( Omega)} = int _ { Omega} | nabla и | , dx}

куда ${ textstyle | cdot |}$ это Евклидова норма. Тогда целевая функция задачи минимизации принимает вид:

{ displaystyle min _ {u in operatorname {BV} ( Omega)} ; int _ { Omega} left [ | nabla и | + { lambda over 2} (fu) ^ {2} right] , dx}

Из этого функционала уравнение Эйлера-Лагранжа для минимизации - без учета зависимости от времени - дает нам нелинейную эллиптический уравнение в частных производных:

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot left ({ nabla u over { | nabla u |}} right) + lambda (fu) = 0, quad & u in Омега { partial u over { partial n}} = 0, quad & u in partial Omega end {case}}}

Для некоторых численных алгоритмов предпочтительнее вместо этого решать зависящую от времени версию уравнения ROF:

{ displaystyle { partial u over { partial t}} = nabla cdot left ({ nabla u over { | nabla u |}} right) + lambda (f-u)}

Приложения

Модель Рудина – Ошера – Фатеми была ключевым компонентом при создании первое изображение черной дыры.^[6]

Смотрите также

внешняя ссылка

[rof92-1] а ^б ^c Рудин, Л. И .; Ошер, С .; Фатеми, Э. (1992). «Алгоритмы удаления шума на основе нелинейных полных вариаций». Physica D. 60 (1–4): 259–268. Bibcode:1992 ФИД ... 60..259R. CiteSeerX 10.1.1.117.1675. Дои:10.1016 / 0167-2789 (92) 90242-ф.

[strong-2] Strong, D .; Чан, Т. (2003). «Сохраняющие край и зависящие от масштаба свойства регуляризации полной вариации». Обратные задачи. 19 (6): S165 – S187. Bibcode:2003ИнвПр..19С.165С. Дои:10.1088/0266-5611/19/6/059.

[little10-3] а ^б Литтл, М. А .; Джонс, Ник С. (2010). «Разреженная байесовская ступенчатая фильтрация для высокопроизводительного анализа молекулярной динамики машин» (PDF). Протокол ICASSP 2010. 2010 Международная конференция IEEE по акустике, обработке речи и сигналов.

[chambolle04-4] Шамболь, А. (2004). «Алгоритм минимизации полной вариации и приложений». Журнал математической визуализации и зрения. 20: 89–97. CiteSeerX 10.1.1.160.5226. Дои:10.1023 / B: JMIV.0000011325.36760.1e.

[5] Гетройер, Паскаль (2012). «Снижение шума полной вариации Рудина – Ошера – Фатеми с использованием Split Bregman» (PDF).

[6] «Модель Рудина – Ошера – Фатеми фиксирует бесконечность и за ее пределами». IPAM. 2019-04-15. Получено 2019-08-04.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]