Ультрафинитизм - Ultrafinitism
Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты.Октябрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
в философия математики, ультрафинитизм (также известен как ультраинтуиционизм,[1] строгий формализм,[2] строгий финитизм,[2] актуализм,[1] предикативизм,[2][3] и сильный финитизм)[2] это форма финитизм и интуиционизм. Существуют различные философии математики, которые называются ультрафинитизмом. Основным отличительным свойством, общим для большинства этих философий, является их возражение против совокупность теоретико-числовых функций, таких как возведение в степень над натуральные числа.
Основные идеи
Как и другие финитисты, ультрафинитисты отрицают существование бесконечный набор N из натуральные числа.
Кроме того, некоторые ультрафинитисты озабочены принятием в математике объектов, которые никто не может построить на практике из-за физических ограничений при построении больших конечных математических объектов. Таким образом, некоторые ультрафинитисты будут отрицать или воздерживаться от признания существования больших чисел, например, этаж из первых Число Скьюза, а это огромное число, определенное с помощью экспоненциальная функция как exp (exp (exp (79))), или
Причина в том, что еще никто не подсчитал, что натуральное число это этаж этого настоящий номер, а это может быть даже невозможно сделать физически. По аналогии, (в Обозначение Кнута со стрелкой вверх ) будет считаться только формальным выражением, не соответствующим натуральному числу. Бренд ультрафинитизма, связанный с физической реализуемостью математики, часто называют актуализм.
Эдвард Нельсон критиковал классическую концепцию натуральных чисел из-за округлости ее определения. В классической математике натуральные числа определяются как 0, а числа получаются итеративным применением функция преемника до 0. Но понятие натурального числа уже предполагается для итерации. Другими словами, чтобы получить число вроде нужно выполнять функцию-преемник итеративно, фактически точно раз до 0.
Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизм, но большинство конструктивистов рассматривают эту философию как недопустимую крайность. Логическая основа ультрафинитизма неясна; в его всестороннем обзоре Конструктивизм в математике (1988), конструктивный логик A. S. Troelstra отклонил его, заявив, что «в настоящее время не существует удовлетворительного развития». Это было не столько философское возражение, сколько признание того, что в строгой работе математическая логика, просто не было ничего достаточно точного, чтобы включить его.
Люди, связанные с ультрафинитизмом
Серьезную работу над ультрафинитизмом с 1959 года ведет Александр Есенин-Вольпин, который в 1961 г. набросал программу доказательства непротиворечивости Теория множеств Цермело – Френкеля в сверхконечной математике. Другие математики, которые работали в этой теме, включают: Дорон Зейлбергер, Эдвард Нельсон, Рохит Дживанлал Парих, и Жан Поль Ван Бендегем. Философия также иногда связана с верованиями Людвиг Витгенштейн, Робин Ганди, Петр Вопенка, и Я. Ельмслев.
Шауган Лавин разработал форму теоретико-множественного ультрафинитизма, совместимого с классической математикой.[4]Лавин показал, что основные принципы арифметики, такие как «не существует наибольшего натурального числа», могут быть поддержаны, поскольку Лавин допускает включение «бесконечно больших» чисел.[4]
Ограничения на основе теории сложности вычислений
Другие соображения о возможности избежать громоздких больших чисел могут быть основаны на теория сложности вычислений, как в Андраш Корнаи работа над явным финитизмом (который не отрицает существования больших чисел)[5] и Владимир Сазонов понятие о возможное число.
Также было значительное формальное развитие версий ультрафинитизма, основанных на теории сложности, таких как Сэмюэл Басс с Ограниченная арифметика теории, которые охватывают математику, связанную с различными классами сложности, такими как п и PSPACE. Работу Бусса можно считать продолжением Эдвард Нельсон работает над предикативная арифметика поскольку ограниченные арифметические теории, такие как S12, интерпретируются в Рафаэль Робинсон теория Q и поэтому являются предикативными в Нельсон Смысл. Влияние этих теорий на развитие математики изучается в Ограниченная обратная математика как можно найти в произведениях Стивен А. Кук и Phuong The Nguyen. Однако эти исследования не являются философией математики, а скорее изучением ограниченных форм рассуждений, подобных обратная математика.
Смотрите также
Примечания
- ^ а б Международный семинар по логике и вычислительной сложности, Логика и вычислительная сложность, Springer, 1995, стр. 31.
- ^ а б c d Святой Иван (2000), "О несостоятельности предикативизма Нельсона ", Erkenntnis 53(1–2), стр. 147–154.
- ^ Не путать с Расселом предикативизм.
- ^ а б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)». Plato.stanford.edu. Получено 2015-10-07.
- ^ «Отношение к фондам»
Рекомендации
- Эсенин-Вольпин, А.С. (1961), "Ультра-интуитивная программа математических основ", Инфинитистические методы (Proc. Sympos. Foundations of Math., Варшава, 1959)., Oxford: Pergamon, стр. 201–223, МИСТЕР 0147389 Рассмотрено Kreisel, G .; Эренфойхт, А. (1967), "Обзор Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques А. С. Эсенин-Вольпин", Журнал символической логики, Ассоциация символической логики, 32 (4): 517, Дои:10.2307/2270182, JSTOR 2270182
- Лавин, С., 1994. Понимание бесконечного, Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.
внешняя ссылка
- Явный финитизм к Андраш Корнаи
- О возможных числах Владимира Сазонова
- «Настоящий» анализ - это вырожденный случай дискретного анализа к Дорон Зейлбергер
- Обсуждение формальных основ на MathOverflow
- История конструктивизма ХХ века к A. S. Troelstra
- Предикативная арифметика к Эдвард Нельсон
- Логические основы сложности доказательства к Стивен А. Кук и Phuong The Nguyen
- Ограниченная обратная математика к Phuong The Nguyen
- Читаю "Ad Infinitum…" Брайана Ротмана к Чарльз Петцольд
- Теория вычислительной сложности