Диаграмма Ван Кампена - Van Kampen diagram

в математический зона геометрическая теория групп, а диаграмма Ван Кампена (иногда также называют Диаграмма Линдона – ван Кампена^[1][2][3] ) - это планарная диаграмма, используемая для представления того факта, что конкретная слово в генераторы из группа данный групповая презентация представляет элемент идентичности в этой группе.

История

Понятие диаграммы Ван Кампена было введено Эгберт ван Кампен в 1933 г.^[4] Эта статья появилась в том же номере журнала Американский журнал математики как еще одна статья ван Кампена, где он доказал то, что теперь известно как Теорема Зейферта – ван Кампена.^[5] Основной результат статьи о диаграммах Ван Кампена, ныне известный как лемма ван Кампена можно вывести из Теорема Зейферта – ван Кампена применяя последнее к презентационному комплексу группы.^[6] Однако ван Кампен не заметил этого в то время, и этот факт стал явным только намного позже (см., Например,^[7]). Диаграммы Ван Кампена оставались малоиспользуемым инструментом в теория групп около тридцати лет, до появления теория небольшой отмены в 1960-е годы, когда диаграммы Ван Кампена играют центральную роль.^[8] В настоящее время диаграммы Ван Кампена являются стандартным инструментом в геометрическая теория групп. Они используются, в частности, для изучения изопериметрических функций в группах и их различных обобщений, таких как изодиаметрические функции, функции длины заполнения и т. Д.

Формальное определение

Приведенные ниже определения и обозначения во многом следуют Линдону и Шуппу.^[9]

Позволять

${ Displaystyle G = langle A | R , rangle}$   (†)

быть групповая презентация где все р∈р находятся циклически сокращаемые слова в свободная группа F(А). Алфавит А и набор определяющих отношений р часто предполагаются конечными, что соответствует конечному групповая презентация, но это предположение не является необходимым для общего определения диаграммы Ван Кампена. Позволять р_∗ быть симметричное закрытие из р, то есть пусть р_∗ быть полученным от р добавлением всех циклических перестановок элементов р и их обратных.

А диаграмма Ван Кампена над представлением (†) представляет собой плоскую конечную клеточный комплекс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$, заданный с конкретным вложением ${ Displaystyle { mathcal {D}} substeq mathbb {R} ^ {2} ,}$ со следующими дополнительными данными и удовлетворяющими следующим дополнительным свойствам:

1. Комплекс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ связан и односвязный.
2. Каждый край (одноклеточный) из ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ помечен стрелкой и буквой а∈А.
3. Немного вершина (нулевая ячейка), принадлежащая топологической границе ${ Displaystyle { mathcal {D}} substeq mathbb {R} ^ {2} ,}$ указан как базовая вершина.
4. Для каждого область, край (двухкамерный) из ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ для каждой вершины граничный цикл этой области и для каждого из двух вариантов направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки) метка граничного цикла области, считываемой из этой вершины, и в этом направлении является свободно сокращенным словом в F(А), который принадлежит р_∗.

Таким образом, 1-скелет ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ конечный связный планарный граф Γ встроенный в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2} ,}$ и две клетки ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ являются в точности ограниченными дополнительными областями этого графа.

По выбору р_∗ Условие 4 эквивалентно требованию, чтобы для каждой области ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ есть некоторая граничная вершина этой области и некоторый выбор направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки), так что граничная метка области, считываемая из этой вершины и в этом направлении, свободно сокращается и принадлежит р.

Диаграмма ван Кампена ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ также имеет граничный цикл, обозначенный ${ Displaystyle partial { mathcal {D}} ,}$, который является реберным путем в графе Γ соответствует обходу ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ один раз по часовой стрелке вдоль границы неограниченной дополнительной области Γ, начиная и заканчивая в базовой вершине ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$. Метка этого граничного цикла - слово ш в алфавите А ∪ А⁻¹ (который не обязательно свободно сокращается), который называется метка границы из ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$.

Дополнительная терминология

• Диаграмма ван Кампена ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ называется схема диска если ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ является топологическим диском, то есть когда каждое ребро ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ является граничным краем некоторой области ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ и когда ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ не имеет разрезов-вершин.
• Диаграмма ван Кампена ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ называется несокращенный если существует редукционная пара в ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$, то есть пара отдельных областей ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ такие, что их граничные циклы имеют общее ребро, и такие, что их граничные циклы, считываемые с этого края, по часовой стрелке для одной из областей и против часовой стрелки для другой, равны, как слова в А ∪ А⁻¹. Если такой пары регионов не существует, ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ называется уменьшенный.
• Количество регионов (двухячеек) ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ называется площадь из ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ обозначенный ${ displaystyle { rm {Area}} ({ mathcal {D}}) ,}$.

В общем, диаграмма Ван Кампена имеет структуру «кактуса», в которой один или несколько компонентов диска соединены (возможно, вырожденными) дугами, см. Рисунок ниже:

Пример

На следующем рисунке показан пример диаграммы Ван Кампена для свободной абелевой группы ранга два.

${ displaystyle G = langle a, b | aba ^ {- 1} b ^ {- 1} rangle.}$

Границей этой диаграммы является слово

${ displaystyle w = b ^ {- 1} b ^ {3} a ^ {- 1} b ^ {- 2} ab ^ {- 1} ba ^ {- 1} ab ^ {- 1} ba ^ {- 1} а.}$

Площадь этой диаграммы равна 8.

лемма ван Кампена

Ключевым основным результатом теории является так называемый лемма ван Кампена^[9] в котором говорится следующее:

1. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ - диаграмма Ван Кампена над копредставлением (†) с граничной меткой ш что является словом (не обязательно свободно сокращенным) в алфавите А ∪ А⁻¹. потом ш= 1 дюйм грамм.
2. Позволять ш быть свободно сокращенным словом в алфавите А ∪ А⁻¹ такой, что ш= 1 дюйм грамм. Тогда существует приведенная диаграмма Ван Кампена ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ над копредставлением (†), граничная метка которого свободно приведена и равна ш.

Набросок доказательства

Сначала заметьте, что для элемента ш ∈ F(А) у нас есть ш = 1 дюйм грамм если и только если ш принадлежит к нормальное закрытие из р в F(А), то есть тогда и только тогда, когда w можно представить в виде

${ displaystyle w = u_ {1} s_ {1} u_ {1} ^ {- 1} cdots u_ {n} s_ {n} u_ {n} ^ {- 1} { text {in}} F ( A),}$   (♠)

куда п ≥ 0 и где s_я ∈ р_∗ за я = 1, ..., п.

Утверждение 1 леммы ван Кампена доказывается индукцией по площади ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$. Индуктивный шаг заключается в «отслаивании» одной из пограничных областей ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ получить диаграмму Ван Кампена ${ Displaystyle { mathcal {D}} ',}$ с граничным циклом w ' и наблюдая это в F(А) у нас есть

${ Displaystyle ш = usu ^ {- 1} ш ', ,}$

куда s∈р_∗ это граничный цикл области, которая была удалена, чтобы получить ${ Displaystyle { mathcal {D}} ',}$ из ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$.

Доказательство части 2 леммы ван Кампена более сложное. Во-первых, легко увидеть, что если ш свободно сокращается и ш = 1 дюйм грамм существует диаграмма ван Кампена ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0} ,}$ с меткой границы ш₀ такой, что ш = ш₀ в F(А) (после возможного свободного уменьшения ш₀). А именно рассмотрим представление ш формы (♠) выше. Тогда сделай ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0} ,}$ быть клином п "леденцы" с "стеблями", помеченными ты_я и с "Candys" (2-ячейками), помеченными s_я. Тогда граничная метка ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0} ,}$ это слово ш₀ такой, что ш = ш₀ в F(А). Однако не исключено, что слово ш₀ свободно не сокращается. Затем начинают выполнять «складные» движения, чтобы получить последовательность диаграмм Ван Кампена. ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0}, { mathcal {D}} _ {1}, { mathcal {D}} _ {2}, dots ,}$ делая их граничные метки все более и более свободно сокращаемыми и убеждаясь, что на каждом шаге граничная метка каждой диаграммы в последовательности равна ш в F(А). Последовательность заканчивается за конечное число шагов диаграммой Ван Кампена ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {k} ,}$ граничная метка которого свободно сокращается и, таким образом, равна ш как слово. Диаграмма ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {k} ,}$ не может быть уменьшено. Если это произойдет, мы можем удалить редукционные пары из этой диаграммы с помощью простой операции, не затрагивая граничную метку. В конечном итоге это приводит к уменьшенной диаграмме Ван Кампена. ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ граничный цикл которого свободно редуцируется и равен ш.

Усиленная версия леммы ван Кампена

Более того, приведенное выше доказательство показывает, что заключение леммы ван Кампена можно усилить следующим образом.^[9] Часть 1 можно усилить, сказав, что если ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ диаграмма Ван Кампена площади п с меткой границы ш то существует представление (♠) для ш как продукт в F(А) ровно п конъюгаты элементов р_∗. Часть 2 можно усилить, чтобы сказать, что если ш свободно приводится и допускает представление (representation) как произведение в F(А) из п конъюгаты элементов р_∗ то существует приведенная диаграмма Ван Кампена с граничной меткой ш и площади в большинстве п.

Функции Дена и изопериметрические функции

Область слова, представляющего личность

Позволять ш ∈ F(А) быть таким, что ш = 1 дюйм грамм. Тогда площадь из ш, обозначенная Площадь (ш), определяется как минимум площадей всех диаграмм Ван Кампена с граничными метками ш (Лемма ван Кампена утверждает, что существует хотя бы одна такая диаграмма).

Можно показать, что площадь ш можно эквивалентно определить как наименьшее п≥0 такое, что существует представление (♠), выражающее ш как продукт в F(А) из п конъюгаты определяющих отношений.

Изопериметрические функции и функции Дена

Неотрицательный монотонно неубывающий функция ж(п) называется изопериметрическая функция для представления (†), если для каждого свободно сокращаемого слова ш такой, что ш = 1 дюйм грамм у нас есть

${ displaystyle { rm {Area}} (ш) leq f (| ш |),}$

где |ш| это длина слова ш.

Предположим теперь, что алфавит А in (†) конечно. Функция Дена of (†) определяется как

${ displaystyle { rm {Dehn}} (n) = max {{ rm {Area}} (w): w = 1 { text {in}} G, | w | leq n, w { text {свободно уменьшено}}. }}$

Легко видеть, что Ден (п) является изопериметрической функцией для (†) и, более того, если ж(п) - любая другая изопериметрическая функция для (†), то Dehn (п) ≤ ж(п) для каждого п ≥ 0.

Позволять ш ∈ F(А) - свободно сокращаемое слово такое, что ш = 1 дюйм грамм. Диаграмма ван Кампена ${ Displaystyle { mathcal {D}} ,}$ с меткой границы ш называется минимальный если ${ displaystyle { rm {Area}} ({ mathcal {D}}) = { rm {Area}} (w).}$ Минимальные диаграммы Ван Кампена являются дискретными аналогами минимальные поверхности в Риманова геометрия.

Обобщения и другие приложения

• Есть несколько обобщений диаграмм Ван-Кампена, где вместо того, чтобы быть плоскими, связанными и односвязными (что означает быть гомотопически эквивалентный на диск) диаграмма нарисована на или гомотопически эквивалентный на какую-то другую поверхность. Оказывается, существует тесная связь между геометрией поверхности и некоторыми теоретико-групповыми представлениями. Особенно важным из них является понятие кольцевая диаграмма Ван Кампена, который гомотопически эквивалентный для кольцо. Кольцевые диаграммы, также известные как диаграммы сопряженности, может использоваться для представления спаривание в группах, предоставленных групповые презентации.^[9] Также сферические диаграммы Ван Кампена связаны с несколькими версиями теоретико-групповых асферичность и чтобы Гипотеза асферичности Уайтхеда,^[10] Диаграммы Ван Кампена на торе связаны с коммутирующими элементами, диаграммы на вещественной проективной плоскости связаны с инволюциями в группе, а диаграммы на Бутылка Клейна связаны с элементами, которые сопряжены с их собственным обратным.
• Диаграммы Ван Кампена - центральные объекты теория небольшой отмены разработан Greendlinger, Lyndon и Schupp в 1960-1970-х годах.^[9][11] Теория небольшой отмены имеет дело с групповые презентации где определяющие отношения имеют "небольшие пересечения" друг с другом. Это условие отражается в геометрии сокращенных диаграмм Ван Кампена над небольшими презентациями с отменой, вызывая определенные виды поведения с неположительной или отрицательной кривизной. Такое поведение дает полезную информацию об алгебраических и алгоритмических свойствах малых групп сокращения, в частности, относительно слов и проблем сопряжения. Теория небольшой отмены была одним из ключевых предшественников геометрическая теория групп, которая возникла как отдельная математическая область в конце 1980-х годов и остается важной частью геометрическая теория групп.
• Диаграммы Ван Кампена играют ключевую роль в теории словесно-гиперболические группы представлен Громов в 1987 г.^[12] В частности, оказывается, что конечно представленная группа является словесно-гиперболический тогда и только тогда, когда он удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству. Более того, есть изопериметрический зазор в возможном спектре изомпериметрических функций для конечно определенных групп: для любых конечно представленная группа либо она гиперболическая и удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, либо функция Дена не менее квадратична.^[13][14]
• Изучение изопериметрических функций конечно определенных групп стало важной общей темой в геометрическая теория групп где достигнут существенный прогресс. Большая работа была направлена ​​на построение групп с «дробными» функциями Дена (то есть с функциями Дена, являющимися полиномами нецелой степени).^[15] Работа Разрывы, Ольшанский, Биргет и Сапир^[16][17] исследовали связи между функциями Дена и функциями временной сложности Машины Тьюринга и показал, что произвольная «разумная» функция времени может быть реализована (с точностью до соответствующей эквивалентности) как функция Дена некоторой конечно представленной группы.
• Также были исследованы различные стратифицированные и релятивизированные версии диаграмм ван Кампена. В частности, стратифицированная версия теории малых сокращений, разработанная Ольшанским, привела к построению различных теоретико-групповых "монстров", таких как Тарский монстр,^[18] и в геометрических решениях Проблема Бернсайда для периодических групп большого показателя.^[19][20] Относительные версии диаграмм Ван Кампена (по отношению к набору подгрупп) были использованы Осиным для развития изопериметрического функционального подхода к теории относительно гиперболические группы.^[21]

Смотрите также

• Геометрическая теория групп
• Презентация группы
• Теорема Зейферта – ван Кампена

Основные ссылки

• Александр Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN  0-7923-1394-1
• Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Classics in Mathematics", перепечатка издания 1977 года. ISBN  978-3-540-41158-1; Гл. V. Теория малого сокращения. С. 235–294.

Сноски

внешняя ссылка

• диаграммы ван Кампена из файлов Дэвида А. Джексона