Функция Ванье - Wannier function

Функции Ванье трех- и односвязных димеров азота в нитриде палладия.

В Функции Ванье представляют собой полный набор ортогональные функции используется в физика твердого тела. Их представил Грегори Ванье.^[1][2] Функции Ванье - это локализованные молекулярные орбитали кристаллических систем.

Функции Ванье для разных узлов решетки кристалл ортогональны, что дает удобную основу для разложения электрон государства в определенных режимах. Функции Ванье нашли широкое применение, например, при анализе сил связи, действующих на электроны; Существование экспоненциально Локализованные функции Ванье в изоляторах были доказаны в 2006 году.^[3] В частности, эти функции также используются при анализе экситоны и сжатый Дело Ридберга.^{[нужна цитата ][требуется разъяснение ]}

Определение

Пример локальной функции Ванье титана в титанате бария (BaTiO3)

Хотя вроде локализованные молекулярные орбитали, Функции Ванье можно выбирать по-разному,^[4] оригинал,^[1] Самое простое и наиболее распространенное определение в физике твердого тела выглядит следующим образом. Выберите сингл группа в идеальном кристалле, и обозначим его Блох заявляет к

${ Displaystyle psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) = e ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {r}} и _ { mathbf {k}} ( mathbf { р} )}$

куда ты_k(р) имеет ту же периодичность, что и кристалл. Тогда функции Ванье определяются формулами

${ displaystyle phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) = { frac {1} { sqrt {N}}} sum _ { mathbf {k}} e ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {R}} psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r})}$,

куда

• р - любой вектор решетки (т. е. существует одна функция Ванье для каждого Вектор решетки Браве );
• N это количество примитивные клетки в кристалле;
• Сумма на k включает все значения k в Зона Бриллюэна (или любой другой примитивная клетка из обратная решетка ), которые согласуются с периодические граничные условия на кристалле. Это включает в себя N разные значения k, равномерно распределяются по зоне Бриллюэна. С N обычно очень велика, сумма может быть записана в виде интеграла согласно правилу замены:

${ displaystyle sum _ { mathbf {k}} longrightarrow { frac {N} { Omega}} int _ { text {BZ}} d ^ {3} mathbf {k}}$

где "BZ" обозначает Зона Бриллюэна, имеющий объем Ω.

Характеристики

На основе этого определения могут быть доказаны следующие свойства:^[5]

• Для любого вектора решетки Р' ,

${ Displaystyle phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) = phi _ { mathbf {R} + mathbf {R} '} ( mathbf {r} + mathbf {R} ')}$

Другими словами, функция Ванье зависит только от количества (р − р). В результате эти функции часто записывают в альтернативных обозначениях

${ displaystyle phi ( mathbf {r} - mathbf {R}): = phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r})}$

• Функции Блоха можно записать в терминах функций Ванье следующим образом:

${ displaystyle psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) = { frac {1} { sqrt {N}}} sum _ { mathbf {R}} e ^ {i mathbf {к} cdot mathbf {R}} phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r})}$,

где сумма берется по каждому вектору решетки р в кристалле.

• Набор волновых функций ${ displaystyle phi _ { mathbf {R}}}$ является ортонормированный базис для рассматриваемой группы.

${ displaystyle { begin {align} int _ { text {crystal}} phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) ^ {*} phi _ { mathbf {R '} } ( mathbf {r}) d ^ {3} mathbf {r} & = { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k, k '}} int _ { text { кристалл}} e ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {R}} psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) ^ {*} e ^ {- i mathbf {k '} cdot mathbf {R'}} psi _ { mathbf {k '}} ( mathbf {r}) d ^ {3} mathbf {r} & = { frac {1} { N}} sum _ { mathbf {k, k '}} e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {R}} e ^ {- i mathbf {k'} cdot mathbf {R '}} delta _ { mathbf {k, k'}} & = { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k}} e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {(R'-R)}} & = delta _ { mathbf {R, R '}} end {выровнено}}}$

Функции Ванье также были распространены на почти периодические потенциалы.^[6]

Локализация

Блох утверждает ψ_k(р) определяются как собственные функции конкретного гамильтониана и поэтому определяются только с точностью до полной фазы. Применяя фазовое преобразование е^iθ(k) к функциям ψ_k(р), для любой (реальной) функции θ(k), приходим к равнозначному выбору. Хотя изменение не имеет последствий для свойств состояний Блоха, соответствующие функции Ванье значительно изменяются этим преобразованием.

Поэтому можно использовать свободу выбора фаз блоховских состояний, чтобы получить наиболее удобный набор функций Ванье. На практике это обычно максимально локализованное множество, в котором функция Ванье ϕ_р локализован вокруг точки р и быстро стремится к нулю при удалении от р. Для одномерного случая это было доказано Коном^[7] что всегда есть уникальный выбор, который придает эти свойства (с учетом определенных симметрий). Следовательно, это относится к любому разделимый потенциал в высших измерениях; общие условия не установлены и являются предметом текущих исследований.^[3]

А Пипек-Мезей Схема локализации стиля также была недавно предложена для получения функций Ванье.^[8] В отличие от максимально локализованных функций Ванье (которые являются приложением Приемные мальчики схемы для кристаллических систем), функции Пипека-Мези Ванье не смешивают орбитали σ и π.

Современная теория поляризации

Функции Ванье недавно нашли применение при описании поляризация в кристаллах, например, сегнетоэлектрики. Пионерами современной теории поляризации являются Раффаэле Реста и Дэвид Вандербильт. См., Например, Berghold,^[9] и Нахмансон,^[10] и презентация Power Point от Вандербильта.^[11] Поляризацию на элементарную ячейку в твердом теле можно определить как дипольный момент плотности заряда Ванье:

${ displaystyle mathbf {p_ {c}} = -e sum _ {n} int d ^ {3} r , , mathbf {r} | W_ {n} ( mathbf {r}) | ^ {2} ,}$

где суммирование ведется по занятым зонам, а W_п - функция Ванье, локализованная в ячейке для полосы п. В изменять в поляризации во время непрерывного физического процесса является производной поляризации по времени и также может быть сформулирована в терминах Ягодная фаза оккупированных стран Блоха.^[5][12]

Интерполяция Ванье

Функции Ванье часто используются для интерполяции рассчитанной структуры полос. ab initio на грубом хвате k-точки на любые произвольные k-точка. Это особенно полезно для вычисления интегралов Бриллюэна-1 на плотных сетках и поиска точек Вейля, а также для получения производных в k-Космос. Этот подход по духу аналогичен плотный переплет приближение, но, напротив, позволяет точно описать полосы в определенном диапазоне энергий. Схемы интерполяции Ванье были получены для спектральных свойств,^[13] аномальная холловская проводимость,^[14]орбитальная намагниченность,^[15]термоэлектрические и электронные транспортные свойства,^[16]гиротропные эффекты,^[17]сдвиг тока,^[18]спин холловская проводимость ^[19][20] и другие эффекты.

Смотрите также

• Орбитальная намагниченность

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Карин М Рабе; Жан-Марк Трискон; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков: современная перспектива. Springer. п. 2. ISBN  978-3-540-34590-9.

внешняя ссылка

• Ванье Грегори Х (1937). «Структура уровней электронного возбуждения в диэлектрических кристаллах». Физический обзор. 52 (3): 191–197. Bibcode:1937PhRv ... 52..191W. Дои:10.1103 / PhysRev.52.191.
• Компьютерный код Wannier90, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье
• Транспортный код Ванье, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье, подходящие для приложений квантового транспорта
• WannierTools: программный пакет с открытым исходным кодом для новых топологических материалов.
• WannierBerri - код Python для интерполяции Ванье и вычислений с жесткой привязкой

Смотрите также

• Теорема Блоха
• Угол Ханнея
• Геометрическая фаза