Удержание нулевого порядка - Zero-order hold

В удержание нулевого порядка (ZOH) представляет собой математическую модель практического реконструкция сигнала сделано обычным цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). То есть он описывает эффект преобразования сигнал с дискретным временем к непрерывный сигнал удерживая каждое значение выборки для одного интервала выборки. Он имеет несколько применений в области электросвязи.

Модель во временной области

Рисунок 1. Прямоугольная функция со сдвигом и масштабированием по времени, используемая при анализе ZOH во временной области.

Рисунок 2. Кусочно-постоянный сигнал. Икс_ZOH(т).

Рис. 3. Модулированная гребенка Дирака. Икс_s(т).

Удержание нулевого порядка восстанавливает следующую форму волны непрерывного времени из выборочной последовательности Икс[п], предполагая одну выборку за интервал времени Т:

${displaystyle x_ {mathrm {ZOH}} (t), = sum _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] cdot mathrm {rect} left ({frac {tT / 2-nT} {T}} ight)}$

куда ${displaystyle mathrm {rect} ()}$ это прямоугольная функция.

Функция ${displaystyle mathrm {rect} left ({frac {t-T / 2} {T}} ight)}$ изображен на рисунке 1, а ${displaystyle x_ {mathrm {ZOH}} (t),}$ это кусочно-постоянный сигнал изображен на рисунке 2.

Модель в частотной области

Вышеприведенное уравнение для вывода ZOH также можно смоделировать как вывод линейный инвариантный во времени фильтр с импульсной характеристикой, равной прямой функции, и с входом, являющимся последовательностью импульсы Дирака масштабируется до значений выборки. Затем фильтр можно проанализировать в частотной области для сравнения с другими методами восстановления, такими как Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона предложенный Теорема выборки Найквиста – Шеннона, или такой как удержание первого порядка или линейная интерполяция между выборочными значениями.

В этом методе последовательность Импульсы Дирака, Икс_s(т), представляющие собой дискретные выборки, Икс[п], является фильтр нижних частот восстановить непрерывный сигнал, Икс(т).

Хотя это нет то, что ЦАП делает на самом деле, выходной сигнал ЦАП можно смоделировать, применяя гипотетическую последовательность импульсов Дирака, Икс_s(т), к линейный, не зависящий от времени фильтр с такими характеристиками (которые для LTI-системы полностью описываются импульсивный ответ ), так что каждый входной импульс приводит к правильному постоянному импульсу на выходе.

Начните с определения сигнала непрерывного времени из значений выборки, как указано выше, но с использованием дельта-функций вместо прямых функций:

${displaystyle {egin {align} x_ {s} (t) & = sum _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] CDOT, дельта влево ({frac {t-nT} {T}} ight) & {} = Tsum _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] дельта cdot (t-nT) .end {выровнено}}}$

Масштабирование ${displaystyle T}$, который возникает естественным образом при масштабировании дельта-функции по времени, приводит к тому, что среднее значение Икс_s(т) равно среднему значению выборок, так что необходимый фильтр нижних частот будет иметь усиление по постоянному току, равное 1. Некоторые авторы используют это масштабирование,^[1] в то время как многие другие опускают шкалу времени и Т, что привело к модели фильтра нижних частот с усилением постоянного тока Т, а значит, зависит от единиц измерения времени.

Рисунок 4. Импульсная характеристика удержания нулевого порядка. час_ZOH(т). Она идентична функции rect, показанной на рисунке 1, за исключением того, что теперь она масштабирована, чтобы иметь площадь 1, поэтому коэффициент усиления по постоянному току равен 1.

Удержание нулевого порядка - это гипотетический фильтр или же Система LTI преобразующий последовательность модулированных импульсов Дирака Икс_s(т) к кусочно-постоянному сигналу (показанному на рисунке 2):

${displaystyle x_ {mathrm {ZOH}} (t), = sum _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] cdot mathrm {rect} left ({frac {t-nT} {T}} - { frac {1} {2}} ight)}$

что привело к эффективному импульсивный ответ (показано на рисунке 4):

${displaystyle h_ {mathrm {ZOH}} (t), = {frac {1} {T}} mathrm {rect} left ({frac {t} {T}} - {frac {1} {2}} ight) = {egin {case} {frac {1} {T}} & {mbox {if}} 0leq t$

Эффективная частотная характеристика - это непрерывное преобразование Фурье импульсной характеристики.

${displaystyle H_ {mathrm {ZOH}} (f), = {mathcal {F}} {h_ {mathrm {ZOH}} (t)}, = {frac {1-e ^ {- i2pi fT}} {i2pi fT }} = e ^ {- ipi fT} mathrm {sinc} (fT)}$

куда ${displaystyle mathrm {sinc} (x)}$ является (нормализованным) функция sinc ${displaystyle {frac {sin (pi x)} {pi x}}}$ обычно используется в цифровой обработке сигналов.

В Преобразование Лапласа функция передачи ZOH находится заменой s = я 2 π ж:

${displaystyle H_ {mathrm {ZOH}} (s), = {mathcal {L}} {h_ {mathrm {ZOH}} (t)}, = {frac {1-e ^ {- sT}} {sT}} }$

Тот факт, что практичный цифро-аналоговые преобразователи (DAC) не выводят последовательность импульсы Дирака, Икс_s(т) (что, если в идеале фильтрация нижних частот, приведет к уникальному базовому сигналу с ограниченной полосой перед дискретизацией), но вместо этого выводит последовательность прямоугольных импульсов, Икс_ZOH(т) (а кусочно-постоянная функция), означает, что существует внутреннее влияние ZOH на эффективную частотную характеристику ЦАП, что приводит к умеренному скатывание усиления на высоких частотах (потеря 3,9224 дБ на Частота Найквиста, что соответствует усилению sinc (1/2) = 2 / π). Это падение является следствием держать свойство обычного ЦАП и является нет из-за образец и держать это может предшествовать обычному аналого-цифровой преобразователь (АЦП).

Смотрите также

• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Удержание первого порядка
• Дискретизация линейных моделей пространства состояний (при условии нулевого порядка)

Рекомендации