Алгебраический цикл - Википедия - Algebraic cycle

В математика, алгебраический цикл на алгебраическое многообразие V является формальной линейной комбинацией подмножества из V. Это часть алгебраическая топология из V который доступен непосредственно алгебраическими методами. Понимание алгебраических циклов многообразия может дать глубокое понимание структуры этого многообразия.

Самый тривиальный случай - это циклы нулевой коразмерности, которые представляют собой линейные комбинации неприводимых компонент многообразия. Первый нетривиальный случай относится к подмногообразию коразмерности один и называется делители. Самые ранние работы по алгебраическим циклам были сосредоточены на случае дивизоров, особенно дивизоров на алгебраических кривых. Делители на алгебраические кривые - формальные линейные комбинации точек на кривой. Классические работы по алгебраическим кривым связали их с внутренними данными, такими как регулярные дифференциалы на компакте. Риманова поверхность, а также к внешним свойствам, таким как вложения кривой в проективное пространство.

В то время как дивизоры на многообразиях более высокой размерности продолжают играть важную роль в определении структуры многообразия, на многообразиях размерности два или более необходимо учитывать также циклы более высокой коразмерности. Поведение этих циклов разительно отличается от поведения делителей. Например, каждая кривая имеет постоянную N такая, что каждый делитель нулевой степени линейно эквивалентен разности двух эффективных делителей степени не выше N. Дэвид Мамфорд доказал, что на гладкой полной комплексной алгебраической поверхности S с положительным геометрический род, аналогичное утверждение для группы классов рациональной эквивалентности циклов коразмерности два в S ложно.[1] Гипотеза о положительности геометрического рода по существу означает ( Теорема Лефшеца о (1,1) -классах ), что группа когомологий содержит трансцендентную информацию, и, по сути, из теоремы Мамфорда следует, что, несмотря на имея чисто алгебраическое определение, он делится трансцендентной информацией с . С тех пор теорема Мамфорда была значительно обобщена.[2]

Поведение алгебраических циклов входит в число наиболее важных открытых вопросов современной математики. В Гипотеза Ходжа, один из Институт математики Клэя с Задачи Премии Миллениума, предсказывает, что топология сложного алгебраического многообразия вынуждает существование определенных алгебраических циклов. В Гипотеза Тейта делает аналогичный прогноз для этальные когомологии. Александр Гротендик с стандартные гипотезы об алгебраических циклах дать достаточно циклов, чтобы построить его категорию мотивы и подразумевает, что алгебраические циклы играют жизненно важную роль в любой теории когомологий алгебраических многообразий. Наоборот, Александр Бейлинсон доказал, что существование категории мотивов влечет за собой стандартные гипотезы. Дополнительно циклы подключены к алгебраический K-теория по формуле Блоха, которая выражает группы циклов по модулю рациональной эквивалентности как когомологии K-теория связок.

Определение

Позволять Икс быть схема конечного типа над полем k. An алгебраический р-цикл на Икс является формальной линейной комбинацией

из р-мерный замкнутый интеграл k-подсхемы Икс. Коэффициент пя это множественность из Vя. Набор всех р-циклы - свободная абелева группа

где сумма ведется по замкнутым интегральным подсхемам V из Икс. Группы циклов для варьирования р вместе образуют группу

Это называется группа алгебраических циклов, и любой элемент называется алгебраический цикл. Цикл - это эффективный или же положительный если все его коэффициенты неотрицательны.

Замкнутые интегральные подсхемы Икс находятся во взаимно однозначном соответствии с теоретико-схемными точками Икс под картой, которая в одном направлении переводит каждую подсхему в ее общую точку, а в другом направлении переводит каждую точку в уникальную сокращенную подсхему, поддерживаемую замыканием точки. как следствие можно также описать как свободную абелеву группу в точках Икс.

Цикл является рационально эквивалентен нулю, написано , если имеется конечное число -мерные подмногообразия из и ненулевые рациональные функции такой, что , куда обозначает дивизор рациональной функции на Wя. Циклы, рационально эквивалентные нулю, представляют собой подгруппу , а группа р-циклов по модулю рациональной эквивалентности - это фактор

Эта группа также обозначается . Элементы группы

называются циклы на Икс. Цикл классы называются эффективный или же положительный если они могут быть представлены эффективным циклом.

Если Икс гладкая, проективная и имеет чистую размерность N, указанные группы иногда когомологически переиндексируются как

и

В этом случае, называется Кольцо для чау-чау из Икс потому что у него есть операция умножения, заданная продукт пересечения.

Есть несколько вариантов приведенного выше определения. Мы можем заменить целые числа другим кольцом в качестве кольца коэффициентов. Широко используется случай рациональных коэффициентов. Работа с семействами циклов по базе или использование циклов в арифметических ситуациях требует относительной настройки. Позволять , куда S является обычной нётеровой схемой. An р-цикл представляет собой формальную сумму замкнутых интегральных подсхем Икс чья относительная размерность р; здесь относительный размер степень трансцендентности над минус коразмерность в S.

Рациональную эквивалентность можно также заменить несколькими другими, более грубыми отношения эквивалентности на алгебраических циклах. Другие интересующие отношения эквивалентности включают: алгебраическая эквивалентность, гомологическая эквивалентность для фиксированной теории когомологий (такой как сингулярные когомологии или этальные когомологии), числовая эквивалентность, а также все вышеперечисленное по модулю кручения. Эти отношения эквивалентности имеют (частично гипотетические) приложения к теории мотивы.

Плоский откат и правильный толчок вперед

Имеются ковариантная и контравариантная функториальность группы алгебраических циклов. Позволять ж : ИксИКС' быть картой разнообразия.

Если ж является плоский некоторой постоянной относительной размерности (т.е. все слои имеют одинаковую размерность), мы можем определить для любого подмногообразия Y ' ⊂ ИКС':

который по предположению имеет ту же коразмерность, что и Y ′.

Наоборот, если ж является правильный, за Y подмножество Икс продвижение вперед определяется как

куда п - степень продолжения функциональные поля [k(Y) : k(ж(Y))], если ограничение ж к Y является конечный и 0 в противном случае.

По линейности эти определения распространяются на гомоморфизмы абелевых групп

(последние в силу соглашения) являются гомоморфизмами абелевых групп. Видеть Кольцо для чау-чау для обсуждения функториальности, связанной с кольцевой структурой.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мамфорд, Дэвид, Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях, J. Math. Kyoto Univ. 9-2 (1969) 195–204.
  2. ^ Вуазен, Клэр, Кольца Чоу, разложение диагонали и топология семейств, Annals of Mathematics Studies 187, февраль 2014 г., ISBN  9780691160504.