Алгебраический цикл - Википедия - Algebraic cycle

В математика, алгебраический цикл на алгебраическое многообразие V является формальной линейной комбинацией подмножества из V. Это часть алгебраическая топология из V который доступен непосредственно алгебраическими методами. Понимание алгебраических циклов многообразия может дать глубокое понимание структуры этого многообразия.

Самый тривиальный случай - это циклы нулевой коразмерности, которые представляют собой линейные комбинации неприводимых компонент многообразия. Первый нетривиальный случай относится к подмногообразию коразмерности один и называется делители. Самые ранние работы по алгебраическим циклам были сосредоточены на случае дивизоров, особенно дивизоров на алгебраических кривых. Делители на алгебраические кривые - формальные линейные комбинации точек на кривой. Классические работы по алгебраическим кривым связали их с внутренними данными, такими как регулярные дифференциалы на компакте. Риманова поверхность, а также к внешним свойствам, таким как вложения кривой в проективное пространство.

В то время как дивизоры на многообразиях более высокой размерности продолжают играть важную роль в определении структуры многообразия, на многообразиях размерности два или более необходимо учитывать также циклы более высокой коразмерности. Поведение этих циклов разительно отличается от поведения делителей. Например, каждая кривая имеет постоянную N такая, что каждый делитель нулевой степени линейно эквивалентен разности двух эффективных делителей степени не выше N. Дэвид Мамфорд доказал, что на гладкой полной комплексной алгебраической поверхности S с положительным геометрический род, аналогичное утверждение для группы ${ displaystyle operatorname {CH} ^ {2} (S)}$ классов рациональной эквивалентности циклов коразмерности два в S ложно.^[1] Гипотеза о положительности геометрического рода по существу означает ( Теорема Лефшеца о (1,1) -классах ), что группа когомологий ${ displaystyle H ^ {2} (S)}$ содержит трансцендентную информацию, и, по сути, из теоремы Мамфорда следует, что, несмотря на ${ displaystyle operatorname {CH} ^ {2} (S)}$ имея чисто алгебраическое определение, он делится трансцендентной информацией с ${ displaystyle H ^ {2} (S)}$ . С тех пор теорема Мамфорда была значительно обобщена.^[2]

Поведение алгебраических циклов входит в число наиболее важных открытых вопросов современной математики. В Гипотеза Ходжа, один из Институт математики Клэя с Задачи Премии Миллениума, предсказывает, что топология сложного алгебраического многообразия вынуждает существование определенных алгебраических циклов. В Гипотеза Тейта делает аналогичный прогноз для этальные когомологии. Александр Гротендик с стандартные гипотезы об алгебраических циклах дать достаточно циклов, чтобы построить его категорию мотивы и подразумевает, что алгебраические циклы играют жизненно важную роль в любой теории когомологий алгебраических многообразий. Наоборот, Александр Бейлинсон доказал, что существование категории мотивов влечет за собой стандартные гипотезы. Дополнительно циклы подключены к алгебраический K-теория по формуле Блоха, которая выражает группы циклов по модулю рациональной эквивалентности как когомологии K-теория связок.

Определение

Позволять Икс быть схема конечного типа над полем k. An алгебраический р-цикл на Икс является формальной линейной комбинацией

{ Displaystyle сумма п_ {я} [V_ {я}]}

из р-мерный замкнутый интеграл k-подсхемы Икс. Коэффициент п_я это множественность из V_я. Набор всех р-циклы - свободная абелева группа

{ Displaystyle Z_ {r} Икс = bigoplus _ {V substeq X} mathbf {Z} cdot [V],}

где сумма ведется по замкнутым интегральным подсхемам V из Икс. Группы циклов для варьирования р вместе образуют группу

{ displaystyle Z _ {*} X = bigoplus _ {r} Z_ {r} X.}

Это называется группа алгебраических циклов, и любой элемент называется алгебраический цикл. Цикл - это эффективный или же положительный если все его коэффициенты неотрицательны.

Замкнутые интегральные подсхемы Икс находятся во взаимно однозначном соответствии с теоретико-схемными точками Икс под картой, которая в одном направлении переводит каждую подсхему в ее общую точку, а в другом направлении переводит каждую точку в уникальную сокращенную подсхему, поддерживаемую замыканием точки. как следствие ${ displaystyle Z _ {*} X}$ можно также описать как свободную абелеву группу в точках Икс.

Цикл ${ displaystyle alpha}$ является рационально эквивалентен нулю, написано ${ displaystyle alpha sim 0}$ , если имеется конечное число ${ Displaystyle (к + 1)}$ -мерные подмногообразия ${ displaystyle W_ {i}}$ из ${ displaystyle X}$ и ненулевые рациональные функции ${ Displaystyle г_ {я} в к (W_ {я}) ^ { раз}}$ такой, что ${ displaystyle alpha = sum [ operatorname {div} _ {W_ {i}} (r_ {i})]}$ , куда ${ displaystyle operatorname {div} _ {W_ {i}}}$ обозначает дивизор рациональной функции на W_я. Циклы, рационально эквивалентные нулю, представляют собой подгруппу ${ Displaystyle Z_ {r} (X) _ { text {rat}} substeq Z_ {r} (X)}$ , а группа р-циклов по модулю рациональной эквивалентности - это фактор

{ displaystyle A_ {r} (X) = Z_ {r} (X) / Z_ {r} (X) _ { text {rat}}.}

Эта группа также обозначается ${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X)}$ . Элементы группы

{ Displaystyle A _ {*} (X) = bigoplus _ {r} A_ {r} (X)}

называются циклы на Икс. Цикл классы называются эффективный или же положительный если они могут быть представлены эффективным циклом.

Если Икс гладкая, проективная и имеет чистую размерность N, указанные группы иногда когомологически переиндексируются как

{ Displaystyle Z ^ {N-r} X = Z_ {r} X}

и

{ displaystyle A ^ {N-r} X = A_ {r} X.}

В этом случае, ${ displaystyle A ^ {*} X}$ называется Кольцо для чау-чау из Икс потому что у него есть операция умножения, заданная продукт пересечения.

Есть несколько вариантов приведенного выше определения. Мы можем заменить целые числа другим кольцом в качестве кольца коэффициентов. Широко используется случай рациональных коэффициентов. Работа с семействами циклов по базе или использование циклов в арифметических ситуациях требует относительной настройки. Позволять ${ Displaystyle phi двоеточие от X до S}$ , куда S является обычной нётеровой схемой. An р-цикл представляет собой формальную сумму замкнутых интегральных подсхем Икс чья относительная размерность р; здесь относительный размер ${ Displaystyle Y substeq X}$ степень трансцендентности ${ Displaystyle к (Y)}$ над ${ Displaystyle К ({ overline { phi (Y)}})}$ минус коразмерность ${ Displaystyle { overline { phi (Y)}}}$ в S.

Рациональную эквивалентность можно также заменить несколькими другими, более грубыми отношения эквивалентности на алгебраических циклах. Другие интересующие отношения эквивалентности включают: алгебраическая эквивалентность, гомологическая эквивалентность для фиксированной теории когомологий (такой как сингулярные когомологии или этальные когомологии), числовая эквивалентность, а также все вышеперечисленное по модулю кручения. Эти отношения эквивалентности имеют (частично гипотетические) приложения к теории мотивы.

Плоский откат и правильный толчок вперед

Имеются ковариантная и контравариантная функториальность группы алгебраических циклов. Позволять ж : Икс → ИКС' быть картой разнообразия.

Если ж является плоский некоторой постоянной относительной размерности (т.е. все слои имеют одинаковую размерность), мы можем определить для любого подмногообразия Y ' ⊂ ИКС':

{ displaystyle f ^ {*} ([Y ']) = [f ^ {- 1} (Y')] , !}

который по предположению имеет ту же коразмерность, что и Y ′.

Наоборот, если ж является правильный, за Y подмножество Икс продвижение вперед определяется как

{ Displaystyle е _ {*} ([Y]) = п [е (Y)] , !}

куда п - степень продолжения функциональные поля [k(Y) : k(ж(Y))], если ограничение ж к Y является конечный и 0 в противном случае.

По линейности эти определения распространяются на гомоморфизмы абелевых групп

{ displaystyle f ^ {*} двоеточие Z ^ {k} (X ') to Z ^ {k} (X) quad { text {and}} quad f _ {*} двоеточие Z_ {k} (X) к Z_ {k} (X ') , !}

(последние в силу соглашения) являются гомоморфизмами абелевых групп. Видеть Кольцо для чау-чау для обсуждения функториальности, связанной с кольцевой структурой.

Алгебраический цикл - Википедия - Algebraic cycle

Содержание

Определение

Плоский откат и правильный толчок вперед

Смотрите также

Рекомендации