Алгебраически компактный модуль - Википедия - Algebraically compact module

В математика, алгебраически компактные модули, также называемый чисто инъективные модули, находятся модули обладающие определенным "красивым" свойством, которое позволяет решать бесконечные системы уравнений в модуле конечными средствами. Решения этих систем позволяют расширять определенные виды модульные гомоморфизмы. Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективные модули, где можно продолжить все гомоморфизмы модулей. Все инъективные модули алгебраически компактны, и аналогия между ними довольно точна с помощью вложения категорий.

Определения

Позволять р быть звенеть, и M левый р-модуль. Рассмотрим систему бесконечного числа линейных уравнений

${ displaystyle sum _ {j in J} r_ {i, j} x_ {j} = m_ {i},}$

где оба набора я и J может быть бесконечным, ${ displaystyle m_ {i} in M,}$ и для каждого я количество ненулевых ${ displaystyle r_ {i, j} in R}$ конечно.

Цель состоит в том, чтобы решить, есть ли в такой системе решение, то есть существуют ли элементы Икс_j из M такая, что одновременно выполняются все уравнения системы. (Не требуется, чтобы только конечное число Икс_j не равны нулю.)

Модуль M является алгебраически компактный если для всех таких систем каждая подсистема, образованная конечным числом уравнений, имеет решение, то вся система имеет решение. (Решения для различных подсистем могут быть разными.)

С другой стороны, модульный гомоморфизм M → K является чистый инъективный если индуцированный гомоморфизм между тензорные произведения C ⊗ M → C ⊗ K является инъективный для каждого права р-модуль C. Модуль M является чисто инъективный если любой чистый инъективный гомоморфизм j : M → K раскол (то есть существует ж : K → M с ${ displaystyle f circ j = 1_ {M}}$).

Оказывается, модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он чисто инъективен.

Примеры

Все модули с конечным числом элементов алгебраически компактны.

Каждый векторное пространство алгебраически компактно (поскольку чисто инъективно). В более общем плане каждый инъективный модуль алгебраически компактно по той же причине.

Если р является ассоциативная алгебра с 1 над некоторыми поле k, то каждые р-модуль с конечным k-измерение алгебраически компактно. Это, вместе с тем фактом, что все конечные модули алгебраически компактны, дает начало интуиции, что алгебраически компактные модули - это те (возможно, «большие») модули, которые обладают хорошими свойствами «маленьких» модулей.

В Прюфер группы алгебраически компактны абелевы группы (т.е. Z-модули). Кольцо п-адические целые числа для каждого прайма п алгебраически компактна как модуль над собой и как модуль над Z. В рациональное число алгебраически компактны как Z-модуль. Вместе с неразложимый конечные модули над Z, это полный список неразложимых алгебраически компактных модулей.

Многие алгебраически компактные модули могут быть созданы с использованием инжекторный когенератор Q/Z абелевых групп. Если ЧАС это верно модуль над кольцом р, один образует (алгебраический) символьный модуль ЧАС* состоящий из всех гомоморфизмы групп из ЧАС к Q/Z. Тогда это левый р-модуль, а * -операция дает верный контравариантный функтор справа р-модули слева р-модули. Каждый модуль формы ЧАС* алгебраически компактно. Кроме того, существуют чистые инъективные гомоморфизмы ЧАС → ЧАС**, естественный в ЧАС. Часто можно упростить задачу, сначала применив * -функцию, поскольку с алгебраически компактными модулями легче работать.

Факты

Следующее условие эквивалентно M будучи алгебраически компактным:

• Для каждого набора индексов я, карта сложения M^(Я) → M продолжается до гомоморфизма модулей M^я → M (здесь M^(Я) обозначает прямая сумма копий M, по одному на каждый элемент я; M^я обозначает товар копий M, по одному на каждый элемент я).

Каждый неразложимый алгебраически компактный модуль имеет местный кольцо эндоморфизмов.

Алгебраически компактные модули имеют много общих свойств с инъективными объектами по следующим причинам: существует вложение р-Мод в Категория Гротендика грамм при котором алгебраически компактный р-модули точно соответствуют инъективным объектам в грамм.

Каждый р-модуль элементарный эквивалент к алгебраически компактной р-модуль и на прямую сумму неразложимый алгебраически компактный р-модули.^[1]

Рекомендации

• C.U. Дженсен и Х. Ленцинг: Теоретическая модельная алгебра, Гордон и Брич, 1989