Ось – угол представления - Axis–angle representation

Угол θ и единичный вектор оси е определить поворот, кратко представленный вектором вращения θе.

В математика, то ось-угол представление вращения параметризует вращение в трехмерный Евклидово пространство двумя величинами: a единичный вектор е указывающий направление оси вращения, и угол θ описывающая величину вращения вокруг оси. Только два числа, а не три, необходимы для определения направления единичного вектора. е уходят корнями в начало координат, потому что величина е сдерживается. Например, углы места и азимута е достаточно разместить его в любой конкретной декартовой системе координат.

К Формула вращения Родригеса, угол и ось определяют преобразование, которое поворачивает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правило правой руки. Ось вращения иногда называют Ось Эйлера.

Это один из многих формализм вращения в трех измерениях. Представление ось-угол основано на Теорема Эйлера вращения, который диктует, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению вокруг единственной фиксированной оси.

Вектор вращения

Представление ось – угол эквивалентно более краткому вектор вращения, также называемый Вектор Эйлера. В этом случае и ось вращения, и угол представлены вектором, сонаправленным с осью вращения, длина которой равна углу поворота. θ,

${displaystyle {oldsymbol {heta}} = heta mathbf {e},.}$

Он используется для экспоненциальный и логарифм карты, содержащие это представление.

Многие векторы вращения соответствуют одному и тому же вращению. В частности, вектор вращения длиной θ + 2πM, для любого целого числа M, кодирует точно такое же вращение, что и вектор вращения длины θ. Таким образом, любому повороту соответствует по крайней мере счетная бесконечность векторов вращения. Кроме того, все повороты на 2πM то же самое, что и полное отсутствие вращения, поэтому для данного целого числа M, все векторы вращения длины 2πMво всех направлениях составляют двухпараметрическую бесчисленную бесконечность векторов вращения, кодирующих то же вращение, что и нулевой вектор. Эти факты необходимо учитывать при инвертировании экспоненциального отображения, то есть при нахождении вектора вращения, который соответствует заданной матрице вращения. Экспоненциальное отображение на но нет один к одному.

Пример

Допустим, вы стоите на земле и выбираете направление гравитации отрицательным. z направление. Затем, если вы повернетесь налево, вы повернетесь π/2 радианы (или 90° ) о z ось. Просмотр осевого угла как упорядоченная пара, это было бы

${displaystyle (mathrm {axis}, mathrm {angle}) = left ({egin {bmatrix} e_ {x} e_ {y} e_ {z} end {bmatrix}}, heta ight) = left ({egin { bmatrix} 0 0 1end {bmatrix}}, {frac {pi} {2}} ight).}$

Приведенный выше пример можно представить как вектор вращения с величиной π/2 указывая в z направление,

${displaystyle {egin {bmatrix} 0 0 {frac {pi} {2}} end {bmatrix}}.}$

Использует

Представление ось – угол удобно при работе с динамика твердого тела. Полезно как охарактеризовать вращения, а также для преобразования между различными представлениями твердого тела движение, такие как однородные преобразования^{[требуется разъяснение ]} и повороты.

Когда жесткое тело вращается вокруг фиксированной оси, его ось-угол данные постоянный ось вращения и угол поворота постоянно зависимый на время.

Подставляя три собственных значения 1 и е^±iθ и связанные с ними три ортогональные оси в декартовом представлении в Теорема Мерсера - удобная конструкция декартового представления матрицы вращения в трех измерениях.

Вращение вектора

Формула вращения Родригеса, названный в честь Олинде Родригес, представляет собой эффективный алгоритм поворота евклидова вектора с учетом оси вращения и угла поворота. Другими словами, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциальной карты из ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3) к ТАК (3) без вычисления полной матричной экспоненты.

Если v вектор в ℝ³ и е это единичный вектор с корнем в начале координат, описывающей ось вращения, вокруг которой v поворачивается на угол θ, Формула вращения Родригеса для получения повернутого вектора:

${displaystyle mathbf {v} _ {mathrm {rot}} = (cos heta) mathbf {v} + (sin heta) (mathbf {e} imes mathbf {v}) + (1-cos heta) (mathbf {e} cdot mathbf {v}) mathbf {e},.}$

Для поворота одного вектора это может быть более эффективным, чем преобразование е и θ в матрицу вращения, чтобы повернуть вектор.

Отношение к другим представлениям

Есть несколько способов изобразить поворот. Полезно понять, как разные представления соотносятся друг с другом и как конвертировать между ними. Здесь единичный вектор обозначается ω вместо е.

Экспоненциальная карта из ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3) в SO (3)

В экспоненциальная карта выполняет преобразование из осевого угла поворота в матрицы вращения,

${displaystyle exp двоеточие {mathfrak {so}} (3) o mathrm {SO} (3) ,.}$

По сути, используя Расширение Тейлора между этими двумя представлениями выводится отношение замкнутой формы. Учитывая единичный вектор ω ∈ ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3) = ℝ³ представляющий ось вращения агрегата и угол, θ ∈ ℝ, эквивалентная матрица вращения р задается следующим образом, где K это матрица кросс-продукта из ω, то есть, Кв = ω × v для всех векторов v ∈ ℝ³,

${displaystyle R = exp (heta mathbf {K}) = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(heta mathbf {K}) ^ {k}} {k!}} = I + heta mathbf {K } + {frac {1} {2!}} (heta mathbf {K}) ^ {2} + {frac {1} {3!}} (heta mathbf {K}) ^ {3} + cdots}$

Потому что K кососимметричен, и сумма квадратов его наддиагональных элементов равна 1, характеристический многочлен п(т) из K является п(т) = det (K − тя) = −(т³ + т). Поскольку по Теорема Кэли – Гамильтона, п(K) = 0, отсюда следует, что

${displaystyle mathbf {K} ^ {3} = - mathbf {K},.}$

Как результат, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K.

Этот циклический паттерн продолжается бесконечно, и поэтому все высшие степени K можно выразить через K и K². Таким образом, из приведенного выше уравнения следует, что

${displaystyle R = I + left (heta - {frac {heta ^ {3}} {3!}} + {frac {heta ^ {5}} {5!}} - cdots ight) mathbf {K} + left ( {frac {heta ^ {2}} {2!}} - {frac {heta ^ {4}} {4!}} + {frac {heta ^ {6}} {6!}} - cdots ight) mathbf { K} ^ {2} ,,}$

то есть,

${displaystyle R = I + (sin heta) mathbf {K} + (1-cos heta) mathbf {K} ^ {2},}$

посредством Формула ряда Тейлора для тригонометрических функций.

Это алгебраический вывод, в отличие от геометрического, приведенного в статье. Формула вращения Родригеса.^[1]

Из-за наличия вышеупомянутого экспоненциального отображения единичный вектор ω представляющий ось вращения, а угол θ иногда называют экспоненциальные координаты матрицы вращения р.

Карта журнала от SO (3) до ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3)

Позволять K продолжать обозначать матрицу 3 × 3, которая влияет на векторное произведение с осью вращения ω: K(v) = ω × v для всех векторов v в дальнейшем.

Чтобы получить представление осевого угла матрица вращения, рассчитайте угол поворота от след матрицы вращения

${displaystyle heta = arccos left ({frac {operatorname {Tr} (R) -1} {2}} ight)}$

а затем используйте это, чтобы найти нормализованную ось,

${displaystyle {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2sin heta}} {egin {bmatrix} R_ {32} -R_ {23} R_ {13} -R_ {31} R_ {21} -R_ {12} конец {bmatrix}} ~,}$

куда ${displaystyle R_ {ij}}$ - компонент матрицы вращения, ${displaystyle R}$, в ${displaystyle i}$-й ряд и ${displaystyle j}$-й столбец.

Обратите внимание, что представление осевого угла не является уникальным, поскольку поворот ${displaystyle - heta}$ о ${displaystyle - {oldsymbol {omega}}}$ это то же самое, что вращение ${displaystyle heta}$ о ${displaystyle {oldsymbol {omega}}}$.

В Матричный логарифм матрицы вращения р является

${displaystyle log R = {egin {cases} 0 & {ext {if}} heta = 0 {dfrac {heta} {2sin heta}} left (RR ^ {mathsf {T}} ight) & {ext {if}} heta eq 0 {ext {и}} heta in (-pi, pi) end {case}}}$

Исключение возникает, когда р имеет собственные значения равно −1. В этом случае журнал не уникален. Однако даже в том случае, если θ = π то Норма Фробениуса журнала

${displaystyle | log (R) | _ {mathrm {F}} = {sqrt {2}} | heta | ,.}$

Заданные матрицы вращения А и B,

${displaystyle d_ {g} (A, B): = left | log left (A ^ {mathsf {T}} Bight) ight | _ {mathrm {F}}}$

- геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Для небольших поворотов приведенное выше вычисление θ может быть численно неточным, поскольку производная от arccos стремится к бесконечности как θ → 0. В этом случае внеосевые термины фактически предоставят лучшую информацию о θ так как для малых углов р ≈ я + θK. (Это потому, что это первые два члена ряда Тейлора для ехр (θK).)

Эта формулировка также имеет численные проблемы при θ = π, где внеосевые члены не дают информации об оси вращения (которая все еще определена с точностью до знака неоднозначности). В этом случае мы должны пересмотреть приведенную выше формулу.

${displaystyle R = I + mathbf {K} sin heta + mathbf {K} ^ {2} (1-cos heta)}$

В θ = π, у нас есть

${displaystyle R = I + 2mathbf {K} ^ {2} = I + 2 ({oldsymbol {omega}} иногда {oldsymbol {omega}} - I) = 2 {oldsymbol {omega}} иногда {oldsymbol {omega}} -Я}$

и так пусть

${displaystyle B: = {oldsymbol {omega}} иногда {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2}} (R + I) ,,}$

так что диагональные члены B являются квадратами элементов ω а знаки (с точностью до знаковой неоднозначности) можно определить по знакам внеосевых членовB.

Кватернионы единиц

следующее выражение преобразует координаты оси и угла в версоры (единица измерения кватернионы ):

${displaystyle Q = left (cos {frac {heta} {2}}, {oldsymbol {omega}} sin {frac {heta} {2}} ight)}$

Учитывая Versor q = s + Икс представлен своим скаляр s и вектор Икс, координаты ось – угол могут быть извлечены с помощью следующего:

${displaystyle {egin {выравнивается} heta & = 2arccos s [8px] {oldsymbol {omega}} & = {egin {cases} {dfrac {mathbf {x}} {sin {frac {heta} {2}}}}) , & {ext {if}} heta eq 0 0, & {ext {else}}. end {cases}} end {align}}}$

Более численно устойчивое выражение угла поворота использует atan2 функция:

${displaystyle heta = 2operatorname {atan2} (| mathbf {x} |, s) ,,}$

куда |Икс| это Евклидова норма 3-вектора Икс.

Смотрите также

• Однородные координаты
• Теория винта, представление движений и скоростей твердого тела с использованием концепций скручиваний, винтов и гаечных ключей
• Псевдовектор

Рекомендации