Бицентрический многоугольник - Bicentric polygon

В геометрии бицентрический многоугольник тангенциальный многоугольник (многоугольник, все стороны которого касаются внутреннего окружать ), который также циклический - то есть, вписанный в внешний круг который проходит через каждую вершину многоугольника. Все треугольники и все правильные многоугольники бицентрические. С другой стороны, прямоугольник с неравными сторонами не является бицентричным, потому что окружность не может касаться всех четырех сторон.

Треугольники

Каждый треугольник бицентрический.^[1] В треугольнике радиусы р и р из окружать и описанный круг соответственно связаны уравнение

{ displaystyle { frac {1} {R-x}} + { frac {1} {R + x}} = { frac {1} {r}}}

куда Икс это расстояние между центрами окружностей.^[2] Это одна из версий Формула треугольника Эйлера.

Бицентрические четырехугольники

Не все четырехугольники являются бицентрическими (имеют как вписанную, так и описанную окружности). Даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами р и р куда ${ displaystyle R> r}$ , существует выпуклый четырехугольник, вписанный в один из них и касающийся другого если и только если их радиусы удовлетворяют

{ displaystyle { frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + { frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2 }}}}

куда Икс расстояние между их центрами.^[2]^[3] Это условие (и аналогичные условия для многоугольников более высокого порядка) известно как Теорема Фусса.^[4]

Полигоны с n> 4

Известна сложная общая формула для любого числа п сторон для отношения между радиусом описанной р, внутренний радиус р, а расстояние Икс между центром окружности и центром.^[5] Некоторые из них для конкретных п находятся:

{ Displaystyle п = 5: четырехъядерный r (Rx) = (R + x) { sqrt {(R-r + x) (Rrx)}} + (R + x) { sqrt {2R (Rrx)} },}

{ displaystyle n = 6: quad 3 (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {4} = 4r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) (R ^ { 2} -x ^ {2}) ^ {2} + 16r ^ {4} x ^ {2} R ^ {2},}

{ displaystyle n = 8: quad 16p ^ {4} q ^ {4} (p ^ {2} -1) (q ^ {2} -1) = (p ^ {2} + q ^ {2} -p ^ {2} q ^ {2}) ^ {4},}

куда ${ displaystyle p = { tfrac {R + x} {r}}}$ и ${ displaystyle q = { tfrac {R-x} {r}}.}$

Правильные многоугольники

Каждый правильный многоугольник бицентрический.^[2] В правильном многоугольнике вписанная и описанная окружности равны концентрический - то есть они имеют общий центр, который также является центром правильного многоугольника, поэтому расстояние между центром окружности и центром окружности всегда равно нулю. Радиус вписанной окружности равен апофема (кратчайшее расстояние от центра до границы правильного многоугольника).

Для любого правильного многоугольника отношения между общими край длина а, радиус р из окружать, а радиус р из описанный круг находятся:

{ displaystyle R = { frac {a} {2 sin { frac { pi} {n}}}} = { frac {r} { cos { frac { pi} {n}}} }.}

Для некоторых правильных многоугольников, которые могут быть построен с компасом и линейкой, имеем следующие алгебраические формулы для этих отношений:

${ Displaystyle п ! ,}$	${ Displaystyle R , { текст {и}} , а ! ,}$	${ Displaystyle г , { текст {и}} , а ! ,}$	${ Displaystyle г , { текст {и}} , R ! ,}$
3	${ Displaystyle R { sqrt {3}} = а ! ,}$	${ displaystyle 2r = { frac {a} {3}} { sqrt {3}} ! ,}$	${ Displaystyle 2r = R ! ,}$
4	${ Displaystyle R { sqrt {2}} = а ! ,}$	${ Displaystyle г = { гидроразрыва {а} {2}} ! ,}$	${ displaystyle 2r = R { sqrt {2}} ! ,}$
5	${ displaystyle R { sqrt { frac {5 - { sqrt {5}}} {2}}} = а ! ,}$	${ displaystyle r left ({ sqrt {5}} - 1 right) = { frac {a} {10}} { sqrt {50 + 10 { sqrt {5}}}} ! , }$	${ displaystyle r ({ sqrt {5}} - 1) = R ! ,}$
6	${ Displaystyle R = а ! ,}$	${ displaystyle { frac {2r} {3}} { sqrt {3}} = а ! ,}$	${ displaystyle { frac {2r} {3}} { sqrt {3}} = R ! ,}$
8	${ displaystyle R { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} = a left ({ sqrt {2}} + 1 right) ! ,}$	${ displaystyle r { sqrt {4-2 { sqrt {2}}}} = { frac {a} {2}} { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} ! ,}$	${ displaystyle 2r left ({ sqrt {2}} - 1 right) = R { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} ! ,}$
10	${ displaystyle ({ sqrt {5}} - 1) R = 2a ! ,}$	${ displaystyle 2r { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}} = 5a ! ,}$	${ displaystyle { frac {2r} {5}} { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}} = { frac {R} {2}} left ({ sqrt {5}} -1 вправо) ! ,}$

Таким образом, мы имеем следующие десятичные приближения:

${ Displaystyle п ! ,}$	${ Displaystyle R / а ! ,}$	${ Displaystyle г / а ! ,}$	${ Displaystyle R / r ! ,}$
${ Displaystyle 3 ,}$	${ displaystyle 0,577 ,}$	${ displaystyle 0,289}$	${ displaystyle 2.000 ,}$
${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 0.707 ,}$	${ displaystyle 0.500}$	${ displaystyle 1.414 ,}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 0.851 ,}$	${ displaystyle 0.688}$	${ displaystyle 1.236 ,}$
${ displaystyle 6}$	${ displaystyle 1.000 ,}$	${ displaystyle 0.866}$	${ displaystyle 1.155 ,}$
${ displaystyle 8}$	${ displaystyle 1.307 ,}$	${ displaystyle 1.207}$	${ displaystyle 1.082 ,}$
${ displaystyle 10}$	${ displaystyle 1.618 ,}$	${ displaystyle 1.539}$	${ displaystyle 1.051 ,}$

Пористость Понселе

Если две окружности являются вписанными и описанными окружностями определенного бицентрика п-угольник, то те же две окружности являются вписанной и описанной окружностями бесконечного числа бицентрических п-угольники. Точнее, каждый касательная линия к внутренней из двух окружностей можно продолжить до бицентрической п-угольник, размещая вершины на линии в точках, где она пересекает внешний круг, продолжая от каждой вершины по другой касательной линии и продолжая таким же образом, пока не получится многоугольная цепь закрывается до п-гон. Тот факт, что так будет всегда, подразумевается Теорема Понселе о замыкании, что в более общем смысле относится к вписанным и ограниченным коники.^[6]

Более того, если даны описанные и вписанные окружности, каждая диагональ переменного многоугольника касается фиксированной окружности. ^[7]

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Бицентрический многоугольник». MathWorld.

[1] Горини, Екатерина А. (2009), Справочник фактов о геометрии файлов, Издательство информационной базы, стр. 17, ISBN 9780816073894.

[imo-2] а ^б ^c Рейман, Иштван (2005), Международная математическая олимпиада: 1976-1990 гг., Anthem Press, стр. 170–171, ISBN 9781843312000.

[3] Дэвисон, Чарльз (1915), Темы для математических сочинений, Macmillan and co., Limited, p. 98.

[4] Дёрри, Генрих (1965), 100 великих проблем элементарной математики: их история и решение, Courier Dover Publications, стр. 192, ISBN 9780486613482.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Поризм Понселе». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

[6] Флатто, Леопольд (2009), Теорема Понселе, Американское математическое общество, ISBN 9780821886267.

[7] Джонсон, Роджер А. Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (1929), с. 94.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]