Круговой ансамбль - Circular ensemble

В теории случайные матрицы, то круговые ансамбли - меры на пространствах унитарные матрицы представлен Фриман Дайсон как модификации Ансамбли гауссовских матриц.[1] Три основных примера: круговой ортогональный ансамбль (COE) на симметричных унитарных матрицах круговой унитарный ансамбль (CUE) на унитарных матрицах, а круговой симплектический ансамбль (CSE) на самодуальных унитарных кватернионных матрицах.

Распределения вероятностей

Распределение унитарного кругового ансамбля CUE (п) это Мера Хаара на унитарная группа ООН). Если U является случайным элементом CUE (п), тогда UТU является случайным элементом COE (п); если U является случайным элементом CUE (2n), тогда UрU является случайным элементом CSE (п), куда

Каждый элемент кругового ансамбля является унитарной матрицей, поэтому он имеет собственные значения на единичной окружности: с за к = 1,2, ... п, где также известны как собственные углы или же собственные фазы. В CSE каждый из этих п собственные значения появляются дважды. В дистрибутивах есть плотности относительно собственных углов, заданных формулой

на (симметризованная версия), где β = 1 для COE, β = 2 для CUE и β = 4 для CSE. Константа нормализации Zп, β дан кем-то

как можно проверить через Интегральная формула Сельберга, или интегральная формула Вейля для компактных групп Ли.

Обобщения

Обобщения кругового ансамбля ограничивают матричные элементы U к действительным числам [чтобы U находится в ортогональная группа На)] или к настоящему кватернион числа [так что U находится в симплектическая группа Sp (2н). Мера Хаара на ортогональной группе дает круговой реальный ансамбль (CRE) и мера Хаара на симплектической группе дает ансамбль круговых кватернионов (CQE).

Собственные значения ортогональных матриц входят в комплексно сопряженные пары и , возможно, дополненные собственными значениями, фиксированными на +1 или же -1. За п = 2 м даже и det U = 1, нет фиксированных собственных значений и фазы θk иметь распределение вероятностей [2]

с C неуказанная константа нормализации. За п = 2м + 1 нечетное есть одно фиксированное собственное значение σ = det U равно ± 1. Фазы имеют распределение

За п = 2м + 2 даже и det U = -1 есть пара собственных значений, фиксированных на +1 и -1, а фазы имеют распределение

Это также распределение собственных значений матрицы в Sp (2 м).

Эти функции плотности вероятности называются Распределения Якоби в теории случайных матриц, поскольку корреляционные функции могут быть выражены через Многочлены Якоби.

Расчеты

Средние произведения матричных элементов в круговых ансамблях можно вычислить с помощью Функции Вайнгартена. При больших размерах матрицы эти вычисления становятся непрактичными, и численный метод является предпочтительным. Существуют эффективные алгоритмы для генерации случайных матриц в круговых ансамблях, например, путем выполнения QR-разложение на матрице Жинибра. [3]

Рекомендации

  1. ^ F.M. Дайсон (1962). «Тройной путь. Алгебраическая структура групп и ансамблей симметрии в квантовой механике». Журнал математической физики. 3 (6): 1199. Bibcode:1962JMP ..... 3.1199D. Дои:10.1063/1.1703863.
  2. ^ В.Л. Гирко (1985). «Распределение собственных значений и собственных векторов ортогональных случайных матриц». Украинский математический журнал. 37 (5): 457. Дои:10.1007 / bf01061167.
  3. ^ Ф. Меззадри (2007). «Как генерировать случайные матрицы из классических компактных групп» (PDF). Уведомления AMS. 54: 592. arXiv:math-ph / 0609050. Bibcode:2006math.ph ... 9050M.

Программные реализации

внешняя ссылка

  • Мехта, Мадан Лал (2004), Случайные матрицы, Чистая и прикладная математика (Амстердам), 142 (3-е изд.), Elsevier / Academic Press, Амстердам, ISBN  978-0-12-088409-4, МИСТЕР  2129906
  • Форрестер, Питер Дж. (2010), Лог-газы и случайные матрицы, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-12829-0