Обход (логика) - Circumscription (logic)

Обход это немонотонная логика сделано Джон Маккарти оформить здравый смысл предположение, что все идет как ожидалось, если не указано иное.^[1]^[2] Окружение позже было использовано Маккарти в попытке решить проблема с рамой. Чтобы реализовать ограничение в его первоначальной формулировке, Маккарти дополнил логика первого порядка чтобы минимизировать расширение некоторых предикатов, где расширение предиката - это набор кортежей значений, для которых предикат истинен. Эта минимизация аналогична предположение о замкнутом мире что то, что не известно, является ложью.^[3]

Первоначальная проблема, рассматриваемая Маккарти, заключалась в следующем: миссионеры и каннибалы: на одном берегу реки трое миссионеров и трое каннибалов; они должны пересечь реку, используя лодку, которая может принять только две, с дополнительным ограничением, заключающимся в том, что людоеды никогда не должны превосходить численностью миссионеров на обоих берегах (иначе миссионеры будут убиты и, предположительно, съедены). Проблема, которую рассматривал Маккарти, заключалась не в том, чтобы найти последовательность шагов для достижения цели (статья о проблема миссионеров и каннибалов содержит одно такое решение), а скорее исключает условия, которые явно не указаны. Например, решение «проехать полмили на юг и перейти реку по мосту» интуитивно неверно, потому что в постановке задачи такой мост не упоминается. С другой стороны, существование этого моста также не исключается постановкой задачи. То, что мост не существует, является следствием неявного предположения, что формулировка проблемы содержит все, что имеет отношение к ее решению. Прямое указание на то, что моста не существует, не является решением этой проблемы, так как существует множество других исключительных условий, которые следует исключить (например, наличие веревки для крепления каннибалов, присутствие поблизости более крупной лодки и т. Д. )

Позже Маккарти использовал обходной путь для формализации неявного предположения инерция: ничего не меняется, если не указано иное. Обрезание казалось полезным, чтобы избежать указания, что условия не изменяются всеми действиями, кроме тех, которые явно известны как их изменяющие; это известно как проблема с рамой. Однако позже было показано, что решение, предложенное Маккарти, в некоторых случаях приводило к неверным результатам, например, Проблема со стрельбой в Йельском университете сценарий. Существуют и другие решения проблемы кадра, которые правильно формализуют проблему стрельбы в Йельском университете; некоторые используют ограничение, но по-другому.

Пропозициональный случай

В то время как ограниченность изначально была определена в логическом случае первого порядка, конкретизацию в пропозициональном случае определить легче.^[4] Учитывая пропозициональная формула ${ displaystyle T}$ , его описанием является формула, имеющая только модели из ${ displaystyle T}$ которые не присваивают переменной значение true без необходимости.

Формально пропозициональные модели могут быть представлены наборами пропозициональные переменные; а именно, каждая модель представлена набором пропозициональных переменных, которые она присваивает истине. Например, модель, присваивающая true для ${ displaystyle a}$ , ложь на ${ displaystyle b}$ , и верный ${ displaystyle c}$ представлен множеством ${ Displaystyle {а, с }}$ , потому что ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle c}$ - это именно те переменные, которым эта модель присваивает значение true.

Учитывая две модели ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ представлено таким образом условие ${ Displaystyle N substeq M}$ эквивалентно ${ displaystyle M}$ установив значение true для каждой переменной, которая ${ displaystyle N}$ устанавливается в значение true. Другими словами, ${ displaystyle substeq}$ моделирует отношение «настройки к истинному меньшему количеству переменных». ${ Displaystyle N подмножество M}$ Значит это ${ Displaystyle N substeq M}$ но эти две модели не совпадают.

Это позволяет нам определять модели, которые не присваивают переменным значение true без необходимости. ${ displaystyle M}$ из теория ${ displaystyle T}$ называется минимальный, если и только если нет модели ${ displaystyle N}$ из ${ displaystyle T}$ для которого ${ Displaystyle N подмножество M}$ .

Обход выражается путем выбора только минимальных моделей. Это определяется следующим образом:

{ displaystyle CIRC (T) = {M ~ | ~ M { mbox {- минимальная модель}} T }}

В качестве альтернативы можно определить ${ displaystyle CIRC (T)}$ в виде формулы, имеющей точно такой же набор моделей; кроме того, можно также избежать определения ${ displaystyle CIRC}$ и определяем только минимальный вывод как ${ displaystyle T models _ {M} Q}$ тогда и только тогда, когда каждая минимальная модель ${ displaystyle T}$ также модель ${ displaystyle Q}$ .

Например, формула ${ Displaystyle Т = а земля (Ь лор с)}$ имеет три модели:

${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ , ${ displaystyle c}$ верны, т.е. ${ Displaystyle {а, б, в }}$ ;
${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ верны, ${ displaystyle c}$ ложно, т.е. ${ Displaystyle {а, Ь }}$ ;
${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle c}$ верны, ${ displaystyle b}$ ложно, т.е. ${ Displaystyle {а, с }}$ .

Первая модель не является минимальной по набору переменных, которым она присваивает значение true. Действительно, вторая модель выполняет те же задания, за исключением ${ displaystyle c}$ , которому присваивается значение false, а не true. Поэтому первая модель не минимальная. Вторая и третья модели несопоставимы: вторая приписывает истинность ${ displaystyle b}$ , третий присваивает true ${ displaystyle c}$ вместо. Следовательно, модели, описывающие ${ displaystyle T}$ являются второй и третьей моделями списка. Пропозициональная формула, имеющая ровно эти две модели, следующая:

{ displaystyle a land neg (b leftrightarrow c)}

Интуитивно понятно, что в описании переменной присваивается значение true, только если это необходимо. Двойственно, если переменная может быть ложным, это должен быть ложным. Например, хотя бы один из ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle c}$ должно быть присвоено значение true в соответствии с ${ displaystyle T}$ ; в описании должна быть истинна только одна из двух переменных. Переменная ${ displaystyle a}$ не может быть ложным ни в одной модели ${ displaystyle T}$ и ни по окружности.

Фиксированные и изменяющиеся предикаты

Расширение ограниченности с фиксированными и изменяющимися предикатами связано с Владимир Лифшиц.^[5] Идея в том, что некоторые условия не следует преуменьшать. С точки зрения логики высказываний, некоторые переменные по возможности не должны фальсифицироваться. В частности, можно рассматривать два типа переменных:

различный: это переменные, которые вообще не нужно учитывать при минимизации;

фиксированный: это переменные, которые при минимизации считаются фиксированными; Другими словами, минимизация может быть осуществлена только путем сравнения моделей с одинаковыми значениями этих переменных.

Разница в том, что значения различных условий просто считаются не имеющими значения. Вместо этого фиксированные условия характеризуют возможную ситуацию, поэтому сравнение двух ситуаций, в которых эти условия имеют разное значение, не имеет смысла.

Формально расширение окружности, включающее переменные и фиксированные переменные, выглядит следующим образом, где ${ displaystyle P}$ набор переменных для минимизации, ${ displaystyle Z}$ фиксированные переменные, а переменные - те, которые не входят в ${ Displaystyle P чашка Z}$ :

{ displaystyle { text {CIRC}} (T; P, Z) = {M ~ | ~ M models T { text {и}} not существует N { text {такое, что}} N модели T, ~ N cap P subset M cap P { text {and}} N cap Z = M cap Z }}

На словах, минимизация переменных, присвоенных true, выполняется только для переменных в ${ displaystyle P}$ ; более того, модели сравниваются только в том случае, если они присваивают одинаковые значения переменным ${ displaystyle Z}$ . Все остальные переменные не учитываются при сравнении моделей.

Решение проблемы фреймов, предложенное Маккарти, основано на описании без фиксированных условий. В пропозициональном случае это решение можно описать следующим образом: в дополнение к формулам, непосредственно кодирующим то, что известно, также определяются новые переменные, представляющие изменения значений условий; эти новые переменные затем минимизируются.

Например, для области, в которой есть дверь, которая закрывается в момент времени 0, и в которой действие открытия двери выполняется во время 2, то, что явно известно, представлено двумя формулами:

{ displaystyle neg { text {open}} _ {0}}

{ displaystyle { text {true}} rightarrow { text {open}} _ {2}}

В этом примере проблема кадра показана как проблема, которая ${ displaystyle neg open_ {1}}$ не является следствием приведенных выше формул, в то время как дверь должна оставаться закрытой до тех пор, пока не будет выполнено действие открытия. Для этой цели можно использовать обход, определяя новые переменные. ${ displaystyle change _open_ {t}}$ для моделирования изменений, а затем их минимизации:

{ displaystyle { text {change open}} _ {0} Equiv ({ text {open}} _ {0} not Equiv { text {open}} _ {1})}

{ displaystyle { text {change open}} _ {1} Equiv ({ text {open}} _ {1} not Equiv { text {open}} _ {2})}

...

Как показывает Проблема со стрельбой в Йельском университете, такое решение не работает. Например, ${ displaystyle neg { text {open}} _ {1}}$ еще не вытекает из приведенных выше формул: модель, в которой ${ displaystyle { text {change open}} _ {0}}$ правда и ${ displaystyle { text {change open}} _ {1}}$ ложно несовместимо с моделью с противоположными значениями. Следовательно, ситуация, когда дверь открывается в момент времени 1, а затем остается открытой в результате действия, не исключается ограничением.

Было разработано несколько других формализаций динамических областей, не страдающих от таких проблем (см. проблема с рамой для обзора). Многие используют ограничение, но по-другому.

Предикатное ограничение

Первоначальное определение ограничения, предложенное Маккарти, касается логики первого порядка. Роль переменных в логике высказываний (что-то, что может быть истинным или ложным) в логике первого порядка играют предикаты. А именно, пропозициональная формула может быть выражена в логике первого порядка путем замены каждой пропозициональной переменной предикатом нулевой арности (то есть предикатом без аргументов). Следовательно, минимизация выполняется для предикатов в логической версии первого порядка ограничения: получается ограничение формулы, заставляющее предикаты быть ложными, когда это возможно.^[6]

Учитывая логическую формулу первого порядка ${ displaystyle T}$ содержащий предикат ${ displaystyle P}$ , ограничение этого предиката сводится к выбору только моделей ${ displaystyle T}$ в котором ${ displaystyle P}$ присваивается значение true на минимальном наборе наборов значений.

Формально расширение предиката в модели первого порядка - это набор кортежей значений, которые этот предикат присваивает истинному в модели. Модели первого порядка действительно включают оценку каждого символа предиката; такая оценка сообщает, является ли предикат истинным или ложным для любого возможного значения его аргументов.^[7] Поскольку каждый аргумент предиката должен быть термином, и каждый термин оценивается как значение, модели сообщают, ${ Displaystyle P (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ верно для любого возможного набора значений ${ displaystyle langle v_ {1}, ldots, v_ {n} rangle}$ . Расширение ${ displaystyle P}$ в модели - это набор таких наборов терминов, что ${ Displaystyle P (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ Верно в модели.

Ограничение сказуемого ${ displaystyle P}$ в формуле ${ displaystyle T}$ получается путем выбора только моделей ${ displaystyle T}$ с минимальным расширением ${ displaystyle P}$ . Например, если в формуле всего две модели, различающиеся только тем, что ${ Displaystyle P (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ истинно в одном и ложно во втором, тогда выбирается только вторая модель. Это потому что ${ displaystyle langle v_ {1}, ldots, v_ {n} rangle}$ находится в продолжении ${ displaystyle P}$ в первой модели, но не во второй.

Первоначальное определение Маккарти было скорее синтаксическим, чем семантическим. Учитывая формулу ${ displaystyle T}$ и предикат ${ displaystyle P}$ , ограничивая ${ displaystyle P}$ в ${ displaystyle T}$ это следующая формула второго порядка:

{ Displaystyle T (P) клин forall p neg (T (p) клин p

В этой формуле ${ displaystyle p}$ является предикатом той же арности, что и ${ displaystyle P}$ . Это формула второго порядка, поскольку она содержит количественную оценку предиката. Подформула ${ displaystyle p$ это сокращение для:

{ Displaystyle forall x (п (x) rightarrow P (x)) клин neg forall x (P (x) rightarrow p (x))}

В этой формуле ${ displaystyle x}$ - набор из n членов, где n - арность ${ displaystyle P}$ . Эта формула утверждает, что минимизация расширений должна быть выполнена: для оценки истинности на ${ displaystyle P}$ рассматриваемой модели, должно быть так, чтобы никакой другой предикат ${ displaystyle p}$ может присвоить false каждый кортеж, который ${ displaystyle P}$ присваивает значение false, но при этом отличается от ${ displaystyle P}$ .

Это определение позволяет ограничить только один предикат. Хотя расширение более чем одного предиката тривиально, минимизация расширения одного предиката имеет важное применение: улавливать идею о том, что обычно все происходит так, как ожидалось. Эту идею можно формализовать, сведя к минимуму один предикат, выражающий ненормальность ситуаций. В частности, каждый известный факт выражается логикой с добавлением буквального ${ displaystyle neg Ненормальное (...)}$ заявляя, что этот факт имеет место только в нормальных ситуациях. Сведение к минимуму расширения этого предиката позволяет рассуждать, исходя из неявного предположения, что все происходит так, как ожидалось (то есть они не являются ненормальными), и что это предположение делается только в том случае, если это возможно (отклонение от нормы можно считать ложным, только если это согласуется с факты.)

Точечная окружность

Точечная окружность вариант ограничения первого порядка, введенный Владимир Лифшиц.^[8] В пропозициональном случае поточечная описанность и предикатная описанность совпадают. Обоснование поточечного ограничения состоит в том, что оно минимизирует значение предиката для каждого кортежа значений отдельно, а не минимизирует расширение предиката. Например, есть две модели ${ Displaystyle Р (а) эквив Р (б)}$ с доменом ${ Displaystyle {а, Ь }}$ , одна настройка ${ Displaystyle P (a) = P (b) = false}$ и другая настройка ${ Displaystyle P (a) = P (b) = верно}$ . Поскольку расширение ${ displaystyle P}$ в первой модели ${ displaystyle emptyset}$ в то время как расширение для второго ${ Displaystyle {а, Ь }}$ , в описании выбирается только первая модель.

При поточечной описании каждый набор значений рассматривается отдельно. Например, в формуле ${ Displaystyle Р (а) эквив Р (б)}$ можно было бы рассмотреть ценность ${ Displaystyle P (а)}$ отдельно от ${ Displaystyle P (b)}$ . Модель является минимальной только в том случае, если невозможно изменить любое такое значение с истинного на ложное, при этом удовлетворяя формуле. В результате модель, в которой ${ Displaystyle P (a) = P (b) = верно}$ выбирается точечным обводом, потому что поворот только ${ Displaystyle P (а)}$ в ложь не удовлетворяет формуле, и то же самое происходит для ${ Displaystyle P (b)}$ .

Ограничение домена и формулы

Более ранняя формулировка ограничения Маккарти основана на минимизации домен моделей первого порядка, а не расширение предикатов. А именно, модель считается меньшей, чем другая, если она имеет меньшую область и две модели совпадают при оценке общих наборов значений. Эту версию ограничения можно свести к описанию предикатов.

Формула ограничения была более поздним формализмом, введенным Маккарти. Это обобщение ограниченности, в котором минимизируется расширение формулы, а не расширение предиката. Другими словами, формулу можно указать так, чтобы набор кортежей значений области, удовлетворяющих формуле, был как можно меньше.

Теория сдерживания

Обход не всегда корректно обрабатывает дизъюнктивную информацию. Рэй Рейтер представил следующий пример: монета перебрасывается через шахматную доску, и в результате монета оказывается либо на черной области, либо на белой области, либо на обоих. Однако существует большое количество других возможных мест, где монета не должна находиться; например, подразумевается, что монета находится не на полу, не на холодильнике или не на поверхности Луны. Таким образом, обход может использоваться для минимизации продления ${ displaystyle On}$ предикат, так что ${ displaystyle On ({ text {coin}}, { text {moon}})}$ ложно, даже если это не указано явно.

С другой стороны, минимизация ${ displaystyle On}$ предикат приводит к неправильному результату, что монета находится либо на черной области, либо на белой области, но не оба. Это потому, что модели, в которых ${ displaystyle On}$ верно только на ${ displaystyle ({ text {coin}}, { text {белая область}})}$ и только на ${ displaystyle ({ text {coin}}, { text {черная область}})}$ иметь минимальное расширение ${ displaystyle On}$ , а модель, в которой расширение ${ displaystyle On}$ состоит из обеих пар не является минимальным.

Теория сдерживания - это решение, предложенное Томас Эйтер, Георг Готтлоб, и Юрий Гуревич.^[9] Идея состоит в том, что модель, которую не удается выбрать в описании, та, в которой оба ${ displaystyle On ({ text {coin}}, { text {белая область}})}$ и ${ displaystyle On ({ text {coin}}, { text {черная область}})}$ верны, это модель формулы, которая больше (по сравнению с расширением ${ displaystyle On}$ ), чем обе выбранные модели. В частности, среди моделей формулы исключенная модель является наименьшей верхней границей двух выбранных моделей. Теория ограничения выбирает такие модели с наименьшими верхними границами в дополнение к моделям, выбранным по описанию. Это включение выполняется до тех пор, пока набор моделей не будет замкнут, в том смысле, что он включает в себя все наименьшие верхние границы всех наборов моделей, которые он содержит.

Смотрите также

внешняя ссылка

Обход - форма немонотонных рассуждений, статья Маккарти.
Объяснение в Стэнфордской энциклопедии по философии

[1] Маккарти, Дж. (Февраль 1986 г.). «Приложения ограничения к формализации здравого смысла знания». Искусственный интеллект. 28 (1): 89–116. DOI: 10.1016 / 0004-3702 (86) 90032-9.

[2] Маккарти, Дж. (Апрель 1980 г.). «Обвод - форма немонотонных рассуждений». Искусственный интеллект. 13: 27–39. DOI: 10.1016 / 0004-3702 (80) 90011-9.

[3] Eiter, T .; Готтлоб, Г. (июнь 1993 г.). «Пропозициональная ограниченность и расширенное рассуждение о закрытом мире Pi ^ p_2-полны». Теоретическая информатика. 114 (2): 231–245. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (93) 90073-3.

[4] Cadoli, M .; Лензерини, М. (апрель 1994 г.). «Сложность пропозиционального рассуждения о закрытом мире и ограничения». Журнал компьютерных и системных наук. 48 (2): 255–310. DOI: 10.1016 / S0022-0000 (05) 80004-2.

[5] Лифшиц, В. (ноябрь 1985 г.). «Базы данных замкнутого мира и ограниченность». Искусственный интеллект. 27: 229–235. DOI: 10.1016 / 0004-3702 (85) 90055-4.

[6] Лифшиц В. (1994). «Окружность». In Gabbay, D.M .; Hogger, C.J .; Робинсон, Дж. Немонотонное рассуждение и неопределенное рассуждение. Справочники по логике в компьютерных науках, искусственном интеллекте и логическом программировании. 3. Издательство Оксфордского университета. С. 297–352. ISBN 0198537476.

[7] Кадоли, М. (ноябрь 1992 г.). «Сложность проверки моделей для описывающих формул». Письма об обработке информации. 44 (3): 113–8. DOI: 10.1016 / 0020-0190 (92) 90049-2.

[8] Лифшиц В. (1986). «Точечная окружность». Труды Пятой национальной конференции AAAI-86 по искусственному интеллекту, 11-15 августа 1986 г., Филадельфия, Пенсильвания. С. 406–410. ISBN 0934613133.

[9] Eiter, T .; Gottlob, G .; Гуревич Ю. (1993). «УБИРАЙТЕ свою теорию!». В Байчи, Рузена. IJCAI-93: материалы Тринадцатой международной совместной конференции по искусственному интеллекту, Шамбери, Франция, 28 августа - 3 сентября 1993 г. IJCAII. С. 634–9. ISBN 155860300X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]