Дирижер (теория поля классов) - Conductor (class field theory)

В алгебраическая теория чисел, то дирижер из конечный абелево расширение из местный или же глобальные поля обеспечивает количественную оценку разветвление в расширении. Определение проводника связано с Карта Артина.

Местный проводник

Позволять L/K - конечное абелево расширение неархимедовы локальные поля. В дирижер из L/K, обозначенный ${ Displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$ , является наименьшим неотрицательным целое число п так что высшая группа единиц

{ Displaystyle U ^ {(n)} = 1 + { mathfrak {m}} ^ {n} = left {u in { mathcal {O}} ^ { times}: u Equiv 1 , left ( operatorname {mod} { mathfrak {m}} _ {K} ^ {n} right) right }}

содержится в N_L/K(L^×), куда N_L/K является норма поля карта и ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K}}$ это максимальный идеал из K.^[1] Эквивалентно, п - наименьшее целое число такое, что местная карта Артина тривиально на ${ Displaystyle U_ {K} ^ {(п)}}$ . Иногда проводник определяется как ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K} ^ {n}}$ куда п как указано выше.^[2]

Проводник пристройки измеряет разветвление. Качественно пристройка неразветвленный тогда и только тогда, когда проводник нулевой,^[3] и это аккуратно разветвленный тогда и только тогда, когда проводник равен 1.^[4] Точнее, проводник вычисляет нетривиальность высшие группы ветвления: если s - наибольшее целое число, для которого "нижняя нумерация "высшая группа ветвления грамм_s нетривиально, то ${ Displaystyle { mathfrak {f}} (L / K) = eta _ {L / K} (s) +1}$ , где η_L/K - это функция, которая переводит "нижняя нумерация" на "верхняя нумерация "высших групп ветвления.^[5]

Дирижер L/K также относится к Артины дирижеры персонажей Группа Галуа Гал (L/K). Конкретно,^[6]

{ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K} ^ {{ mathfrak {f}} (L / K)} = operatorname {lcm} limits _ { chi} { mathfrak {m}} _ {К} ^ {{ mathfrak {f}} _ { chi}}}

где χ меняется на всех мультипликативные сложные символы Гал (L/K), ${ displaystyle { mathfrak {f}} _ { chi}}$ - Артиновский проводник χ, а lcm - наименьший общий множитель.

Более общие поля

Таким же образом можно определить проводник для L/K не обязательно абелево конечное расширение Галуа локальных полей.^[7] Однако это зависит только от L^ab/K, максимальное абелево расширение K в L, из-за "теоремы об ограничении нормы", которая гласит, что в этой ситуации^[8]^[9]

{ Displaystyle N_ {L / K} left (L ^ { times} right) = N_ {L ^ { text {ab}} / K} left ( left (L ^ { text {ab}) } right) ^ { times} right).}

Дополнительно проводник можно определить, когда L и K могут быть немного более общими, чем местные, а именно, если они полные значения полей с квазиконечный поле остатков.^[10]

Архимедовы поля

В основном ради глобальных проводников проводник тривиального расширения р/р определяется равным 0, а проводник расширения C/р определяется как 1.^[11]

Глобальный проводник

Поля алгебраических чисел

В дирижер абелевого расширения L/K числовых полей можно определить, как и в локальном случае, с помощью карты Артина. В частности, пусть θ: я^м → Гал (L/K) быть глобальная карта Артина где модуль м это определяющий модуль за L/K; мы говорим, что Артиновая взаимность относится к м если θ пропускается через группа классов лучей по модулю м. Определим проводника L/K, обозначенный ${ Displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$ , быть наивысшим общим множителем всех модулей, для которых имеет место взаимность; на самом деле взаимность верна для ${ Displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$ , поэтому это наименьший такой модуль.^[12]^[13]^[14]

Пример

Взяв за основу поле рациональных чисел, Теорема Кронекера – Вебера. утверждает, что поле алгебраических чисел K абелева над Q тогда и только тогда, когда это подполе круговое поле ${ displaystyle mathbf {Q} left ( zeta _ {n} right)}$ , куда ${ displaystyle zeta _ {n}}$ обозначает примитивный пкорень единства.^[15] Если п это наименьшее целое число, для которого это верно, проводник K затем п если K фиксируется комплексным сопряжением и ${ displaystyle n infty}$ иначе.
Позволять L/K быть ${ displaystyle mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right) / mathbf {Q}}$ куда d это свободный от квадратов целое число. Потом,^[16]
${ displaystyle { mathfrak {f}} left ( mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right) / mathbf {Q} right) = { begin {cases} left | Delta _ { mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right)} right | & { text {for}} d> 0 infty left | Delta _ { mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right)} right | & { text {for}} d <0 end {case}}}$

куда

{ displaystyle Delta _ { mathbf {Q} ({ sqrt {d}})}}

это дискриминант из

{ displaystyle mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right) / mathbf {Q}}

.

Отношение к местным проводникам и разветвление

Глобальный проводник - это продукт местных проводников:^[17]

{ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K) = prod _ { mathfrak {p}} { mathfrak {p}} ^ {{ mathfrak {f}} left (L _ { mathfrak { p}} / K _ { mathfrak {p}} right)}.}

Как следствие, конечное простое число разветвляется в L/K если и только если он делит ${ Displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$ .^[18] Бесконечное простое число v возникает в проводнике тогда и только тогда, когда v реально и усложняется в L.

Примечания

^ Серр 1967, §4.2
^ Как в Нойкирх 1999, определение V.1.6
^ Нойкирх 1999, предложение V.1.7
^ Милн 2008, I.1.9
^ Серр 1967, §4.2, предложение 1
^ Артин и Тейт 2009, следствие теоремы XI.14, с. 100
^ Как в Серр 1967, §4.2
^ Серр 1967, §2.5, предложение 4
^ Милн 2008, теорема III.3.5
^ Как в Артин и Тейт 2009, §XI.4. Это ситуация, в которой формализм теория поля локальных классов работает.
^ Коэн 2000, определение 3.4.1
^ Милн 2008, примечание V.3.8
^ Януш 1973, стр. 158,168–169
^ Некоторые авторы опускают бесконечные места в дирижере, например Нойкирх 1999, §VI.6
^ Манин, Ю. Я.; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел. Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). С. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
^ Милн 2008, например V.3.11
^ Для конечной части Нойкирх 1999, предложение VI.6.5, а для бесконечной части Коэн 2000, определение 3.4.1
^ Нойкирх 1999, следствие VI.6.6