Конформное векторное поле Киллинга - Conformal Killing vector field

В конформная геометрия, конформное векторное поле Киллинга на многообразие из измерение п с (псевдо) риманова метрика ${ displaystyle g}$ (также называемый конформным вектором Киллинга или конформной колинеацией) - векторное поле ${ displaystyle X}$ чья (определенная локально) поток определяет конформные преобразования, т.е. сохранить ${ displaystyle g}$ до масштабирования и сохранить конформную структуру. Несколько эквивалентных формулировок, называемых конформное уравнение Киллингасуществуют с точки зрения Производная Ли потока например ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g = lambda g}$ для какой-то функции ${ displaystyle lambda}$ на коллекторе. За ${ Displaystyle п neq 2}$ существует конечное число решений, задающих конформная симметрия этого пространства, но в двух измерениях есть бесконечность решений. Название Killing относится к Вильгельм Киллинг, кто первым исследовал Убивающие векторные поля которые сохраняют риманову метрику и удовлетворяют Уравнение убийства ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {X} г = 0}$ .

Денситизированный метрический тензор и конформные векторы Киллинга

Векторное поле ${ displaystyle X}$ это Векторное поле убийства тогда и только тогда, когда его поток сохраняет метрический тензор ${ displaystyle g}$ (строго говоря, для каждого компактного подмножества многообразия поток нужно определять только за конечное время). Это можно сформулировать бесконечно (и более удобно) как ${ displaystyle X}$ убивает, если и только если он удовлетворяет

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g = 0.}

куда ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X}}$ - производная Ли.

В более общем плане определите ш-Смертельное векторное поле ${ displaystyle X}$ как векторное поле, чей (локальный) поток сохраняет уплотненную метрику ${ displaystyle g mu _ {g} ^ {w}}$ , куда ${ displaystyle mu _ {g}}$ объемная плотность, определяемая ${ displaystyle g}$ (т.е. локально ${ displaystyle mu _ {g} = { sqrt {| det (g) |}} , dx ^ {1} cdots dx ^ {n}}$ ) и ${ Displaystyle ш в mathbf {R}}$ это его вес. Обратите внимание, что векторное поле Киллинга сохраняет ${ displaystyle mu _ {g}}$ и поэтому автоматически также удовлетворяет этому более общему уравнению. Также обратите внимание, что ${ Displaystyle ш = -2 / п}$ уникальный вес, который делает комбинацию ${ displaystyle g mu _ {g} ^ {w}}$ инвариантен относительно масштабирования метрики, поэтому в этом случае условие зависит только от конформная структура. Сейчас же ${ displaystyle X}$ это ш-Поле вектора убийства iff

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} left (g mu _ {g} ^ {w} right) = ({ mathcal {L}} _ {X} g) mu _ { g} ^ {w} + wg mu _ {g} ^ {w-1} { mathcal {L}} _ {X} mu _ {g} = 0.}

С ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} mu _ {g} = operatorname {div} (X) mu _ {g}}$ это эквивалентно

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g = -w operatorname {div} (X) g}

.

По следам с обеих сторон делаем вывод ${ Displaystyle 2 mathop { mathrm {div}} (X) = - шн OperatorName {div} (X)}$ . Следовательно, для ${ Displaystyle ш neq -2 / п}$ , обязательно ${ displaystyle operatorname {div} (X) = 0}$ и ш-Векторное поле Киллинга - это обычное векторное поле Киллинга, поток которого сохраняет метрику. Однако для ${ Displaystyle ш = -2 / п}$ , поток ${ displaystyle X}$ просто должен только сохранить конформную структуру и по определению конформное векторное поле Киллинга.

Эквивалентные составы

Следующие эквивалентны

${ displaystyle X}$ - конформное векторное поле Киллинга,
(Определенный локально) поток ${ displaystyle X}$ сохраняет конформную структуру,
${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} (g mu _ {g} ^ {- 2 / n}) = 0,}$
${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g = { frac {2} {n}} operatorname {div} (X) g,}$
${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g = lambda g}$ для какой-то функции ${ displaystyle lambda.}$

Приведенное выше обсуждение доказывает эквивалентность всех, кроме, казалось бы, более общей последней формы. Однако две последние формы также эквивалентны: снятие следов показывает, что обязательно ${ displaystyle lambda = (2 / n) operatorname {div} (X)}$ .

Конформное уравнение Киллинга в (абстрактных) индексных обозначениях

Используя это ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g = 2 left ( nabla X ^ { flat} right) ^ { mathrm {symm}}}$ куда ${ displaystyle nabla}$ является производной Леви Чивиты от ${ displaystyle g}$ (также известная как ковариантная производная), и ${ Displaystyle X ^ { flat} = г (X, cdot)}$ двойственная 1 форма ${ displaystyle X}$ (он же ассоциированный ковариантный вектор или вектор с пониженными индексами), и ${ displaystyle {} ^ { mathrm {symm}}}$ - проекция на симметричную часть, можно записать конформное уравнение Киллинга в абстрактной индексной нотации как

{ displaystyle nabla _ {a} X_ {b} + nabla _ {b} X_ {a} = { frac {2} {n}} g_ {ab} nabla _ {c} X ^ {c} .}

Другая индексная нотация для записи конформных уравнений Киллинга:

{ displaystyle X _ { mu; nu} + X _ { nu; mu} = { frac {2} {n}} g _ { mu nu} X _ {; sigma} ^ { sigma}. }

Смотрите также

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

Этот относительность -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.