Кристаллический импульс - Crystal momentum

Существует бесконечное количество синусоидальных колебаний, которые идеально подходят для набора дискретных осцилляторов, что делает невозможным однозначное определение k-вектора. Это отношение межосцилляторных расстояний к пространственному Частота Найквиста волн в решетке.^[1] Смотрите также Псевдонимы § Выборочные синусоидальные функции для получения дополнительной информации об эквивалентности k-векторов.

В физика твердого тела импульс кристалла или квазиимпульс^[2] это импульс -подобно вектор связана с электроны в кристаллическая решетка. Он определяется ассоциированным волновые векторы ${ displaystyle mathbf {k}}$ этой решетки, согласно

${ displaystyle { mathbf {p}} _ { text {crystal}} Equiv hbar { mathbf {k}}}$

(куда ${ displaystyle hbar}$ сокращенный Постоянная Планка ).^[3]:139Часто^{[требуется разъяснение ]}, импульс кристалла консервированный подобно механическому импульсу, что делает его полезным для физиков и материаловедов в качестве аналитического инструмента.

Истоки симметрии решетки

Распространенный метод моделирования кристаллической структуры и поведения - рассматривать электроны как квантово-механический частицы, движущиеся через фиксированный бесконечный периодический потенциал ${ Displaystyle V (х)}$ такой, что

${ Displaystyle V ({ mathbf {x}} + { mathbf {a}}) = V ({ mathbf {x}}),}$

куда ${ Displaystyle mathbf {а}}$ произвольный решетка вектор. Такая модель разумна, потому что кристалл ионы образующие решетчатую структуру, как правило, в десятки тысяч раз массивнее электронов,^[4]делает безопасным замену их структурой с фиксированным потенциалом, а макроскопические размеры кристалла обычно намного больше, чем один шаг решетки, что делает краевые эффекты незначительными. Следствием этой функции потенциальной энергии является то, что можно сместить начальное положение электрона на любой вектор решетки. ${ Displaystyle mathbf {а}}$ без изменения какого-либо аспекта проблемы, тем самым определяя дискретная симметрия. Технически бесконечный периодический потенциал означает, что оператор сдвига решетки ${ Displaystyle Т (а)}$ ездит на работу с Гамильтониан, принимая простую форму кинетики плюс потенциал.^[3]:134

Эти условия подразумевают Теорема Блоха, в котором говорится

${ displaystyle psi _ {n} ({ mathbf {x}}) = e ^ {i { mathbf {k} { mathbf { cdot x}}}} u_ {n { mathbf {k}} } ({ mathbf {x}}), qquad u_ {n { mathbf {k}}} ({ mathbf {x}} + { mathbf {a}}) = u_ {n { mathbf {k }}} ({ mathbf {x}})}$,

или что электрон в решетке, которую можно смоделировать как волновую функцию одной частицы ${ displaystyle psi ( mathbf {x})}$, находит решения своего стационарного состояния в виде плоской волны, умноженной на периодическую функцию ${ Displaystyle и ( mathbf {х})}$. Теорема возникает как прямое следствие упомянутого выше факта, что оператор переноса симметрии решетки коммутирует с гамильтонианом системы.^{[3]:261–266[5]}

Одним из примечательных аспектов теоремы Блоха является то, что она прямо показывает, что стационарные решения могут быть идентифицированы с волновым вектором ${ displaystyle mathbf {k}}$, что означает, что это квантовое число остается постоянным движением. Импульс кристалла условно определяется умножением этого волнового вектора на постоянную Планка:

${ displaystyle { mathbf {p}} _ { text {crystal}} = hbar { mathbf {k}}.}$

Хотя это на самом деле идентично определению, которое можно было бы дать для обычного импульса (например, рассматривая эффекты оператора сдвига как эффекты частицы в свободном пространстве^[6]), есть важные теоретические отличия. Например, в то время как регулярный импульс полностью сохраняется, импульс кристалла сохраняется только в пределах вектор решетки. Например, электрон можно описать не только волновым вектором ${ displaystyle mathbf {k}}$, но также и с любым другим волновым вектором ${ Displaystyle mathbf {к '}}$такой, что

${ displaystyle mathbf {k '} = mathbf {k} + mathbf {K},}$

куда ${ displaystyle mathbf {K}}$ произвольный обратная решетка вектор.^[3]:218 Это является следствием того факта, что симметрия решетки дискретна, а не непрерывна, и, следовательно, связанный с ней закон сохранения не может быть выведен с использованием Теорема Нётер.

Физическое значение

Фазовая модуляция Состояние Блоха ${ displaystyle psi _ {n} ({ mathbf {x}}) = e ^ {i { mathbf {k} { mathbf { cdot x}}}} u_ {n { mathbf {k}} } ({ mathbf {x}})}$ такой же, как у свободной частицы с импульсом ${ displaystyle hbar k}$, т.е. ${ displaystyle k}$ дает периодичность состояния, которая не такая же, как у решетки. Эта модуляция вносит вклад в кинетическую энергию частицы (тогда как модуляция полностью отвечает за кинетическую энергию свободной частицы).

В областях, где зона приблизительно параболическая, импульс кристалла равен импульсу свободной частицы с импульсом ${ displaystyle hbar k}$ если мы присвоим частице эффективная масса это связано с кривизной параболы.

Отношение к скорости

А волновой пакет с разброс, что вызывает групповая скорость и фазовая скорость отличаться. Это одномерное изображение. настоящий волна, но электронные волновые пакеты трехмерны сложный волны.

Импульс кристалла соответствует физически измеримой концепции скорости согласно^[3]:141

${ displaystyle { mathbf {v}} _ {n} ({ mathbf {k}}) = { frac {1} { hbar}} nabla _ { mathbf {k}} E_ {n} ( { mathbf {k}}).}$

Это та же формула, что и групповая скорость волны. В частности, из-за Принцип неопределенности Гейзенберга, электрон в кристалле не может иметь одновременно точно определенные k и точное положение в кристалле. Однако он может образовывать волновой пакет сосредоточен на импульсе k (с небольшой неопределенностью) и с центром в определенной позиции (с небольшой неопределенностью). Положение центра этого волнового пакета изменяется по мере распространения волны, движущейся через кристалл со скоростью v дается формулой выше. В реальном кристалле электрон движется таким образом - движется в определенном направлении с определенной скоростью - в течение короткого периода времени, прежде чем столкнуться с дефектом в кристалле, который заставляет его двигаться в другом случайном направлении. Эти столкновения, называемые рассеяние электронов, чаще всего вызваны кристаллографические дефекты, поверхность кристалла и случайные тепловые колебания атомов в кристалле (фононы ).^[3]:216

Реакция на электрические и магнитные поля

Импульс кристалла также играет основную роль в полуклассической модели динамики электронов, где он подчиняется уравнениям движения (в единицах cgs):^[3]:218

${ displaystyle { mathbf {v}} _ {n} ({ mathbf {k}}) = { frac {1} { hbar}} nabla _ { mathbf {k}} E_ {n} ( { mathbf {k}}),}$

${ displaystyle { mathbf { dot {p}}} _ { text {crystal}} = - e left ({ mathbf {E}} - { frac {1} {c}} { mathbf { v}} times { mathbf {H}} right)}$

Возможно, здесь наиболее сильна аналогия между импульсом кристалла и истинным импульсом, поскольку это как раз те уравнения, которым подчиняется электрон в свободном пространстве в отсутствие какой-либо кристаллической структуры. Импульс кристалла также имеет шанс проявить себя в этих типах вычислений, поскольку для расчета траектории движения электрона с использованием приведенных выше уравнений необходимо учитывать только внешние поля, пытаясь вычислить из системы уравнений движения, основанных на истинный импульс потребует учета индивидуальных кулоновских и лоренцевских сил каждого отдельного иона решетки в дополнение к внешнему полю.

Приложения

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES)

В фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES), облучение светом кристаллического образца приводит к выбросу электрона из кристалла. На протяжении всего взаимодействия можно объединить два понятия кристалла и истинного импульса и таким образом получить непосредственное знание зонной структуры кристалла. Другими словами, импульс кристалла электрона внутри кристалла становится его истинным импульсом после того, как он уходит, и истинный импульс может быть впоследствии выведен из уравнения

${ displaystyle { mathbf {p _ { parallel}}} = { sqrt {2mE _ { text {kin}}}} sin theta}$

путем измерения угла и кинетической энергии, при которой электрон покидает кристалл, где ${ displaystyle m}$ - масса одного электрона. Поскольку симметрия кристалла в направлении, нормальном к поверхности кристалла, теряется на границе кристалла, импульс кристалла в этом направлении не сохраняется. Следовательно, единственные направления, в которых могут быть собраны полезные данные ARPES, - это направления, параллельные поверхности кристалла.^[7]

Рекомендации