Закон Кюри – Вейсса - Curie–Weiss law

В Закон Кюри – Вейсса описывает магнитная восприимчивость $χ$ из ферромагнетик в парамагнитный регион над Точка Кюри:

{ displaystyle chi = { frac {C} {T-T _ { rm {C}}}}}

куда $C$ зависит от материала Постоянная Кюри, $Т$ абсолютная температура и $Т C$ это Температура Кюри, оба измерены в кельвин. Закон предсказывает сингулярность восприимчивости при $Т = Т C$ . Ниже этой температуры ферромагнетик имеет спонтанное намагничивание.

Краткое изложение связанных понятий

В магнитный момент из магнит величина, определяющая крутящий момент он будет ощущаться во внешнем магнитное поле. Петля электрический ток, стержневой магнит, электрон, а молекула, а планета у всех есть магнитные моменты.

В намагничивание или же магнитная поляризация магнитного материала векторное поле что выражает плотность постоянных или вынужденных магнитные моменты. Магнитные моменты могут возникать из микроскопических электрические токи вызвано движением электроны в индивидуальном атомы, или вращение электронов или ядер. Чистая намагниченность возникает в результате реакции материала на внешнее магнитное поле вместе с любыми несбалансированными магнитный момент что может присутствовать даже при отсутствии внешнего магнитное поле; например, в достаточно холодном утюг. Мы называем последнее спонтанное намагничивание. Другие материалы, которые разделяют это свойство с железом, например Никель и магнетит, называются ферромагнетики. Пороговая температура, ниже которой материал становится ферромагнитным, называется Температура Кюри и варьируется в зависимости от материала.

Ограничения

Во многих материалах закон Кюри – Вейсса не может описать восприимчивость в непосредственной близости от точки Кюри, поскольку он основан на приближение среднего поля. Вместо этого есть критическое поведение формы

{ displaystyle chi propto { frac {1} {(Т-Т _ { rm {C}}) ^ { gamma}}}}

с критический показатель $γ$ . Однако при температурах $Т ≫ Т C$ выражение закона Кюри – Вейсса остается верным, но с $Т C$ заменяется температурой $Θ$ что несколько выше реальной температуры Кюри. Некоторые авторы называют $Θ$ то Постоянная Вайса чтобы отличить ее от температуры фактической точки Кюри.

Классические подходы к магнитной восприимчивости и теорема Бора – ван Левена

Согласно Теорема Бора – ван Левена когда статистическая механика и классическая механика применяются последовательно, среднее тепловое значение намагниченности всегда равно нулю. Магнетизм невозможно объяснить без квантовой механики. Тем не менее, мы перечислим некоторые классические подходы к этому, поскольку они легки для понимания и связаны, даже если они неверны.

Магнитный момент свободного атома обусловлен орбитальным угловым моментом и спином его электронов и ядра. Когда атомы таковы, что их оболочки полностью заполнены, они не имеют чистого магнитного дипольного момента в отсутствие внешнего магнитного поля. Когда такое поле присутствует, оно искажает траектории (классическая концепция) электронов, так что приложенному полю можно противодействовать, как предсказывает Закон Ленца. Другими словами, чистый магнитный диполь, индуцированный внешним полем, находится в противоположном направлении, и такие материалы отталкиваются им. Они называются диамагнитный материалы.

Иногда у атома есть чистый магнитный дипольный момент даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Вклады отдельных электронов и ядра в полный угловой момент не компенсируют друг друга. Это происходит, когда оболочки атомов заполнены не полностью (Правило Хунда ). Однако совокупность таких атомов может не иметь никакого чистого магнитного момента, поскольку эти диполи не выровнены. Внешнее магнитное поле может служить для их выравнивания до некоторой степени и развития чистого магнитного момента на единицу объема. Такое выравнивание зависит от температуры, поскольку тепловое перемешивание дезориентирует диполи. Такие материалы называются парамагнитный.

В некоторых материалах атомы (с чистыми магнитными дипольными моментами) могут взаимодействовать друг с другом, выравниваясь, даже в отсутствие какого-либо внешнего магнитного поля, когда тепловое возбуждение достаточно низкое. Выравнивание могло быть параллельным (ферромагнетизм ) или антипараллельно. В случае антипараллельности дипольные моменты могут или не могут компенсировать друг друга (антиферромагнетизм, ферримагнетизм ).

Матричный подход к магнитной восприимчивости

Возьмем очень простую ситуацию, в которой каждый атом можно представить как систему с двумя состояниями. Тепловая энергия настолько мала, что атом находится в основном состоянии. Предполагается, что в этом основном состоянии атом не имеет чистого орбитального углового момента, а имеет только один неспаренный электрон, который дает ему спин, равный половине. В присутствии внешнего магнитного поля основное состояние расщепляется на два состояния, разность энергий которых пропорциональна приложенному полю. Спин неспаренного электрона параллелен полю в более высоком энергетическом состоянии и антипараллелен в более низком.

А матрица плотности, ${ displaystyle rho}$ , представляет собой матрицу, которая описывает квантовую систему в смешанном состоянии, статистический ансамбль из нескольких квантовых состояний (здесь несколько одинаковых атомов с двумя состояниями). Это следует противопоставить единственному вектору состояния, который описывает квантовую систему в чистом состоянии. Ожидаемое значение измерения, ${ displaystyle A}$ , над ансамблем ${ Displaystyle langle A rangle = mathrm {Tr} (A rho)}$ . Что касается полного набора состояний, ${ displaystyle | я rangle}$ , можно написать

{ displaystyle rho = sum _ {ij} rho _ {ij} | i rangle langle j |.}

Уравнение фон Неймана говорит нам, как матрица плотности меняется со временем.

{ Displaystyle я hbar { гидроразрыва {d} {dt}} rho (t) = [H, rho (t)]}

В равновесии ${ displaystyle [H, rho] = 0}$ , а разрешенные матрицы плотности равны ${ displaystyle f (H)}$ Канонический ансамбль имеет ${ Displaystyle rho = ехр (-H / T) / Z}$ куда ${ Displaystyle Z = Тр ехр (-H / T)}$ .

Для системы с двумя состояниями мы можем написать ${ Displaystyle H = - гамма hbar B sigma _ {3}}$ .Здесь ${ displaystyle gamma}$ это гиромагнитное отношение.Следовательно ${ Displaystyle Z = 2 сш ( гамма hbar B / (2T))}$ , и

{ displaystyle rho (B, T) = { frac {1} {2 cosh ( gamma hbar B / (2T))}} { begin {pmatrix} exp (- gamma hbar B / (2T)) & 0 0 & exp ( gamma hbar B / (2T)) end {pmatrix}}.}

Откуда

{ displaystyle langle J_ {x} rangle = langle J_ {y} rangle = 0, langle J_ {z} rangle = - { frac { hbar} {2}} tanh ( gamma hbar B / (2T)).}

Объяснение пара- и диамагнетизма с помощью теории возмущений

При наличии однородного внешнего магнитного поля ${ displaystyle B}$ в направлении z гамильтониан атома изменяется на

{ displaystyle Delta H = alpha J_ {z} B + beta B ^ {2} sum _ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}),}

куда ${ displaystyle alpha, beta}$ являются положительными действительными числами, которые не зависят от того, на какой атом мы смотрим, но зависят от массы и заряда электрона. ${ displaystyle i}$ соответствует отдельным электронам атома.

Применяем второй порядок теория возмущений к этой ситуации. Это оправдано тем фактом, что даже при наивысшей достижимой в настоящее время напряженности поля сдвиги уровня энергии из-за ${ displaystyle Delta H}$ довольно мало w.r.t. энергии возбуждения атомов. Вырождение исходного гамильтониана решается выбором базиса, который диагонализирует ${ displaystyle Delta H}$ в вырожденных подпространствах. Позволять ${ displaystyle | п rangle}$ быть такой основой для состояния атома (а точнее электронов в атоме). Позволять ${ displaystyle Delta E_ {n}}$ быть изменением энергии в ${ displaystyle | п rangle}$ . Итак, мы получаем

{ displaystyle Delta E_ {n} = langle n | Delta H | n rangle + sum _ {m, E_ {m} neq E_ {n}} { frac {| langle n | Delta H | m rangle | ^ {2}} {E_ {n} -E_ {m}}}.}

В нашем случае мы можем игнорировать ${ displaystyle B ^ {3}}$ и условия более высокого порядка. Мы получили

{ displaystyle Delta E_ {n} = alpha B langle n | J_ {z} | n rangle + alpha ^ {2} B ^ {2} sum _ {m, E_ {m} neq E_ {n}} { frac {| langle n | J_ {z} | m rangle | ^ {2}} {E_ {n} -E_ {m}}} + beta B ^ {2} sum _ {i} langle n | x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} | n rangle.}

В случае диамагнитного материала первые два члена отсутствуют, поскольку они не имеют углового момента в их основном состоянии. В случае парамагнитного материала все три члена вносят вклад.

Добавление спин-спинового взаимодействия в гамильтониан: модель Изинга

До сих пор мы предполагали, что атомы не взаимодействуют друг с другом. Несмотря на то, что это разумное предположение в случае диамагнитных и парамагнитных веществ, это предположение не работает в случае ферромагнетизма, когда спины атома пытаются выровняться друг с другом в степени, допускаемой тепловым возбуждением. В этом случае мы должны рассматривать гамильтониан ансамбля атома. Такой гамильтониан будет содержать все члены, описанные выше для отдельных атомов, и члены, соответствующие взаимодействию между парами атомов. Модель Изинга является одним из простейших приближений такого попарного взаимодействия.

{ displaystyle H _ { text {pair}} = - { frac {1} {2}} sum _ {R, R '} S (R) cdot S (R') J (R-R ') }

Здесь два атома пары находятся в ${ Displaystyle R, R '}$ . Их взаимодействие ${ displaystyle J}$ определяется их вектором расстояний ${ Displaystyle R-R '}$ . Чтобы упростить расчет, часто предполагается, что взаимодействие происходит только между соседними атомами и ${ displaystyle J}$ является константой. Эффект от такого взаимодействия часто аппроксимируется как среднее поле и в нашем случае Поле Вайса.

Модификация закона Кюри за счет поля Вейсса

Закон Кюри-Вейсса представляет собой адаптированную версию закона Кюри, который для парамагнитных материалов может быть записан в единицах СИ следующим образом:^[1] предполагая ${ displaystyle chi ll 1}$ :

${ displaystyle chi = { frac {M} {H}} приблизительно { frac {M mu _ {0}} {B}} = { frac {C} {T}}.}$

Здесь μ₀ это проницаемость свободного пространства; M то намагничивание (магнитный момент на единицу объема), $B = μ 0 ЧАС$ это магнитное поле, и C конкретный материал Постоянная Кюри:

{ displaystyle C = { frac { mu _ {0} mu _ { rm {B}} ^ {2}} {3k _ { rm {B}}}} Ng ^ {2} J (J + 1),}

куда $k B$ является Постоянная Больцмана, $N$ количество магнитных атомов (или молекул) в единице объема, $грамм$ то G-фактор Ланде, $μ B$ то Магнетон Бора, $J$ то угловой момент квантовое число.^[2]

Для закона Кюри-Вейсса полное магнитное поле равно $B + λM$ куда $λ$ - постоянная молекулярного поля Вейсса, а затем

{ displaystyle chi = { frac {M mu _ {0}} {B}}}

→

{ displaystyle { frac {M mu _ {0}} {B + lambda M}} = { frac {C} {T}}}

который можно переставить, чтобы получить

{ displaystyle chi = { frac {C} {T - { frac {C lambda} { mu _ {0}}}}}}

что является законом Кюри-Вейсса

{ displaystyle chi = { frac {C} {T-T _ { rm {C}}}}}

где Температура Кюри $Т C$ является

{ displaystyle T _ { rm {C}} = { frac {C lambda} { mu _ {0}}}}

Смотрите также

Примечания

^ Холл 1994, стр. 205–206
^ Леви 1968, стр. 201–202

внешняя ссылка

Магнетизм: модели и механизмы в Э. Паварини, Э. Кох и У. Шолльвёк: Новые явления в коррелированной материи, Юлих 2013, ISBN 978-3-89336-884-6

[Hall205-1] Холл 1994, стр. 205–206

[Levy201-2] Леви 1968, стр. 201–202

[1]

[2]