Формула Де Муавра - Википедия - De Moivres formula

В математика, формула де Муавра (также известный как теорема де Муавра и личность де Муавра) утверждает, что для любого настоящий номер $Икс$ и целое число $п$ он считает, что

{ displaystyle { big (} cos (x) + i sin (x) { big)} ^ {n} = cos (nx) + i sin (nx),}

куда $я$ это мнимая единица ( $я 2 = -1$ ). Формула названа в честь Авраам де Муавр, хотя он никогда не заявлял об этом в своих произведениях.^[1] Выражение $cos (Икс) + я грех (Икс)$ иногда сокращается до $СНГ (Икс)$ .

Формула важна, потому что она соединяет комплексные числа и тригонометрия. Раскрывая левую часть и затем сравнивая действительную и мнимую части в предположении, что $Икс$ реально, можно получить полезные выражения для $cos (nx)$ и $грех (nx)$ с точки зрения $cos (Икс)$ и $грех (Икс)$ .

Как написано, формула недействительна для нецелых степеней $п$ . Однако есть обобщения этой формулы, справедливые и для других показателей. Их можно использовать для получения явных выражений для $п$ th корни единства, то есть комплексные числа $z$ такой, что $z п = 1$ .

Пример

За ${ displaystyle x = 30 ^ { circ}}$ и ${ displaystyle n = 2}$ , формула де Муавра утверждает, что

{ Displaystyle влево ( соз (30 ^ { circ}) + я грех (30 ^ { circ}) справа) ^ {2} = соз (2 cdot 30 ^ { circ}) + я sin (2 cdot 30 ^ { circ}),}

или что то же самое

{ displaystyle left ({ frac { sqrt {3}} {2}} + { frac {i} {2}} right) ^ {2} = { frac {1} {2}} + { frac {i { sqrt {3}}} {2}}.}

В этом примере легко проверить справедливость уравнения, умножив левую часть.

Связь с формулой Эйлера

Формула Де Муавра является предшественником Формула Эйлера

{ Displaystyle е ^ {ix} = соз х + я грех х,}

который устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией.

Формулу де Муавра можно вывести, используя формулу Эйлера и экспоненциальный закон для целых степеней

{ Displaystyle влево (е ^ {ix} вправо) ^ {п} = е ^ {inx},}

поскольку из формулы Эйлера следует, что левая часть равна ${ Displaystyle влево ( соз х + я грех х вправо) ^ {п}}$ а правая часть равна

{ displaystyle e ^ {inx} = cos (nx) + i sin (nx).}

Доказательство по индукции.

Истинность теоремы де Муавра может быть установлена с помощью математической индукции для натуральных чисел и оттуда распространена на все целые числа. Для целого числа $п$ , назовите следующий оператор $S (п)$ :

{ Displaystyle ( соз х + я грех х) ^ {п} = соз nx + я грех nx.}

За $п > 0$ , мы продолжаем математическая индукция. $S (1)$ явно правда. Для нашей гипотезы мы предполагаем $S (k)$ верно для некоторых естественных $k$ . То есть мы предполагаем

{ Displaystyle влево ( соз х + я грех х вправо) ^ {к} = соз kx + я грех kx.}

Теперь, учитывая $S (k + 1)$ :

{ Displaystyle { begin {alignat} {2} left ( cos x + i sin x right) ^ {k + 1} & = left ( cos x + i sin x right) ^ { k} left ( cos x + i sin x right) & = left ( cos kx + i sin kx right) left ( cos x + i sin x right) && qquad { text {по предположению индукции}} & = cos (kx) cos x- sin (kx) sin x + i left ( cos (kx) sin x + sin (kx) cos x right) & = cos ((k + 1) x) + i sin ((k + 1) x) && qquad { text {по тригонометрическим тождествам}} end {alignat} }}

Видеть сумма углов и тождества разности.

Мы делаем вывод, что $S (k)$ подразумевает $S (k + 1)$ . По принципу математической индукции следует, что результат верен для всех натуральных чисел. Сейчас же, $S (0)$ очевидно верно, так как $cos (0 Икс) + я грех (0 Икс) = 1 + 0 я = 1$ . Наконец, для случаев с отрицательными целыми числами, мы рассматриваем показатель степени $- п$ для естественного $п$ .

{ displaystyle { begin {align} left ( cos x + i sin x right) ^ {- n} & = { big (} left ( cos x + i sin x right) ^ {n} { big)} ^ {- 1} & = left ( cos nx + i sin nx right) ^ {- 1} & = cos (-nx) + i sin (-nx). qquad (*) конец {выровнено}}}

Уравнение (*) является результатом тождества

{ displaystyle z ^ {- 1} = { frac { bar {z}} {| z | ^ {2}}},}

за $z = cos (nx) + я грех (nx)$ . Следовательно, $S (п)$ выполняется для всех целых чисел $п$ .

Формулы для косинуса и синуса по отдельности

За равенство сложные числа, обязательно имеет место равенство обоих реальные части и из мнимые части обоих членов уравнения. Если $Икс$ , а значит, и $потому что Икс$ и $грех Икс$ , находятся действительные числа, то идентичность этих частей можно записать с помощью биномиальные коэффициенты. Эта формула была дана французским математиком 16 века. Франсуа Виет:

{ displaystyle { begin {align} sin (nx) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ( cos x) ^ {k} , ( sin x) ^ {nk} , sin { frac {(nk) pi} {2}} cos (nx) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ( cos x) ^ {k} , ( sin x) ^ {nk} , cos { frac {(nk) pi} {2}}. end {выровнено }}}

В каждом из этих двух уравнений конечная тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, таким образом удаляя половину элементов в каждой из сумм. Эти уравнения фактически справедливы даже для комплексных значений $Икс$ , потому что обе стороны весь (то есть, голоморфный в целом комплексная плоскость ) функции $Икс$ , причем две такие функции, совпадающие на вещественной оси, обязательно совпадают всюду. Вот конкретные примеры этих уравнений для $п = 2$ и $п = 3$ :

{ Displaystyle { begin {alignat} {2} cos 2x & = left ( cos x right) ^ {2} + left ( left ( cos x right) ^ {2} -1 right ) & {} = {} & 2 left ( cos x right) ^ {2} -1 sin 2x & = 2 left ( sin x right) left ( cos x right) && cos 3x & = left ( cos x right) ^ {3} +3 cos x left ( left ( cos x right) ^ {2} -1 right) & {} = {} & 4 left ( cos x right) ^ {3} -3 cos x sin 3x & = 3 left ( cos x right) ^ {2} left ( sin x right) - left ( sin x right) ^ {3} & {} = {} & 3 sin x-4 left ( sin x right) ^ {3}. end {alignat}}}

Правая часть формулы для $потому что nx$ на самом деле ценность $Т п (потому что Икс)$ из Полином Чебышева $Т п$ в $потому что Икс$ .

Отказ для нецелочисленных степеней и обобщение

Формула Де Муавра не верна для нецелых степеней. Вывод формулы де Муавра, приведенной выше, включает комплексное число, возведенное в целую степень $п$ . Если комплексное число возвести в нецелочисленную степень, результатом будет многозначный (видеть отказ от тождества мощности и логарифма ). Например, когда $п = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2$ , формула де Муавра дает следующие результаты:

за

Икс = 0

формула дает 1^¹⁄₂ = 1 и

за

Икс = 2 π

формула дает 1^¹⁄₂ = −1.

Это присваивает два разных значения одному и тому же выражению 1^¹⁄₂, поэтому формула в этом случае не согласована.

С другой стороны, значения 1 и -1 являются квадратными корнями из 1. В более общем случае, если $z$ и $ш$ комплексные числа, тогда

{ Displaystyle влево ( соз Z + я грех г вправо) ^ {ш}}

многозначен, а

{ Displaystyle соз wz + я грех wz}

не является. Однако всегда бывает так, что

{ Displaystyle соз wz + я грех wz}

является одним из значений

{ Displaystyle влево ( соз Z + я грех г вправо) ^ {ш}.}

Корни комплексных чисел

Небольшое расширение версии формулы де Муавра, приведенной в этой статье, может быть использовано для поиска то $п$ корни комплексного числа (эквивалентно, степень $1 / п$ ).

Если $z$ это комплексное число, записанное в полярная форма в качестве

{ Displaystyle г = г влево ( соз х + я грех х вправо),}

затем $п$ $п$ корни $z$ даны

{ displaystyle r ^ { frac {1} {n}} left ( cos { frac {x + 2 pi k} {n}} + i sin { frac {x + 2 pi k}) {n}} right)}

куда $k$ изменяется по целым значениям от 0 до $п - 1$ .

Эта формула также иногда известна как формула де Муавра.^[2]

Аналоги в других настройках

Гиперболическая тригонометрия

С $шиш Икс + грех Икс = е Икс$ , аналог формулы де Муавра также применим к гиперболическая тригонометрия. Для всех $п \in ℤ$ ,

{ displaystyle ( cosh + sinh x) ^ {n} = cosh nx + sinh nx.}

Кроме того, если $п \in ℚ$ , то одно значение $(ш Икс + грех Икс) п$ будет $шиш nx + грех nx$ .^[3]

Расширение до комплексных чисел

Формула верна для любого комплексного числа ${ displaystyle z = x + iy}$

{ displaystyle ( cos z + i sin z) ^ {n} = cos {nz} + i sin {nz}.}

куда

{ Displaystyle { begin {выровнен} соз Z = соз (х + iy) & = соз х сь уи грех х зп у ,, грех г = грех (х + iy) & = sin x cosh y + i cos x sinh y ,. end {align}}}

Кватернионы

Чтобы найти корни кватернион есть аналогичная форма формулы де Муавра. Кватернион в форме

{ displaystyle d + a mathbf { hat {i}} + b mathbf { hat {j}} + c mathbf { hat {k}}}

можно представить в виде

{ Displaystyle Q = К ( соз theta + varepsilon sin theta) qquad { mbox {for}} 0 leq theta <2 pi.}

В этом представлении

{ displaystyle k = { sqrt {d ^ {2} + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}},}

а тригонометрические функции определяются как

{ displaystyle cos theta = { frac {d} {k}} quad { mbox {and}} quad sin theta = pm { frac { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} {k}}.}

В случае, если $а 2 + б 2 + c 2 \neq 0$ ,

{ displaystyle varepsilon = pm { frac {a mathbf { hat {i}} + b mathbf { hat {j}} + c mathbf { hat {k}}} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}},}

то есть единичный вектор. Это приводит к изменению формулы Де Муавра:

{ displaystyle q ^ {n} = k ^ {n} ( cos n theta + varepsilon sin n theta).}

^[4]

Пример

Чтобы найти кубические корни из

{ displaystyle Q = 1 + mathbf { hat {i}} + mathbf { hat {j}} + mathbf { hat {k}},}

напишите кватернион в форме

{ displaystyle Q = 2 left ( cos { frac { pi} {3}} + varepsilon sin { frac { pi} {3}} right) qquad { mbox {where}} varepsilon = { frac { mathbf { hat {i}} + mathbf { hat {j}} + mathbf { hat {k}}} { sqrt {3}}}.}

Тогда кубические корни имеют вид:

{ displaystyle { sqrt [{3}] {Q}} = { sqrt [{3}] {2}} ( cos theta + varepsilon sin theta) qquad { mbox {for}} theta = { frac { pi} {9}}, { frac {7 pi} {9}}, { frac {13 pi} {9}}.}

2×2 матрицы

Рассмотрим следующую матрицу ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} cos phi & sin phi - sin phi & cos phi end {pmatrix}}}$ . потом ${ displaystyle { begin {pmatrix} cos phi & sin phi - sin phi & cos phi end {pmatrix}} ^ {n} = { begin {pmatrix} cos n phi & sin n phi - sin n phi & cos n phi end {pmatrix}}}$ . Этот факт (хотя его можно доказать так же, как и для комплексных чисел) является прямым следствием того, что пространство матриц типа ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b - b & a end {pmatrix}}}$ изоморфно пространству комплексных чисел.

внешняя ссылка

Теорема Де Муавра для триггерных тождеств Майкл Краучер, Вольфрам Демонстрационный проект.

[1] Лиал, Маргарет Л .; Хорнсби, Джон; Шнайдер, Дэвид I .; Калли Дж., Дэниэлс (2008). Студенческая алгебра и тригонометрия (4-е изд.). Бостон: Пирсон / Эддисон Уэсли. п. 792. ISBN 9780321497444.

[2] «Формула Де Муавра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[3] Мухопадхьяй, Утпал (август 2006 г.). «Некоторые интересные особенности гиперболических функций». Резонанс. 11 (8): 81–85. Дои:10.1007 / BF02855783.

[4] Брэнд, Луи (октябрь 1942 г.). «Корни кватерниона». Американский математический ежемесячник. 49 (8): 519–520. Дои:10.2307/2302858. JSTOR 2302858.

[1]

[2]

[3]

[4]

Формула Де Муавра - Википедия - De Moivres formula

Содержание

Пример

Связь с формулой Эйлера

Доказательство по индукции.

Формулы для косинуса и синуса по отдельности

Отказ для нецелочисленных степеней и обобщение

Корни комплексных чисел

Аналоги в других настройках

Гиперболическая тригонометрия

Расширение до комплексных чисел

Кватернионы

Пример

2×2 матрицы

Рекомендации

внешняя ссылка