Десятичное число с плавающей точкой - Decimal floating point

Плавающая точка форматы
IEEE 754
Другой
Разрядность архитектуры компьютера
Кусочек
Заявление
Двоичная с плавающей точкой точность
Десятичное число с плавающей точкой точность

Десятичное число с плавающей точкой (DFP) арифметика относится как к представлению, так и к операциям над десятичный плавающая точка числа. Непосредственная работа с десятичными дробями (с основанием 10) позволяет избежать ошибок округления, которые обычно возникают при преобразовании десятичных дробей (часто встречающихся в вводимых человеком данных, таких как измерения или финансовая информация) и двоичных (с основанием 2) дробях.

Преимущество десятичного представления с плавающей запятой над десятичным фиксированная точка и целое число Представление состоит в том, что он поддерживает гораздо более широкий диапазон значений. Например, в то время как представление с фиксированной запятой, которое выделяет 8 десятичных цифр и 2 десятичных разряда, может представлять числа 123456,78, 8765,43, 123,00 и т. Д., Представление с плавающей запятой с 8 десятичными цифрами также может представлять 1,2345678, 1234567,8, 0,000012345678, 12345678000000000 и т. Д. Этот более широкий диапазон может значительно замедлить накопление ошибок округления во время последовательных вычислений; например, Алгоритм суммирования Кахана может использоваться с плавающей запятой для сложения большого количества чисел без асимптотического накопления ошибки округления.

Реализации

Раннее механическое использование десятичных чисел с плавающей запятой очевидно в счеты, логарифмическая линейка, то Калькулятор Смоллвуда, и некоторые другие калькуляторы которые поддерживают записи в научная нотация. В случае механических калькуляторов показатель степени часто рассматривается как дополнительная информация, которая учитывается отдельно.

В IBM 650 Компьютер поддерживал 8-значный десятичный формат с плавающей запятой в 1953 году.[1] В противном случае двоичный Ван В.С. машина поддерживала 64-битный десятичный формат с плавающей запятой в 1977 году.[2] Библиотека поддержки с плавающей запятой для Motorola 68040 В 1990 году процессор предоставил 96-битный десятичный формат хранения с плавающей запятой.[2]

Немного компьютерные языки имеют реализации десятичной арифметики с плавающей запятой, включая PL / I, C #, Ява с большим десятичным знаком, emacs с calc и Python десятичный модуль. В 1987 году IEEE вышел IEEE 854, стандарт для вычислений с десятичной плавающей запятой, в котором отсутствовала спецификация того, как данные с плавающей запятой должны кодироваться для обмена с другими системами. Впоследствии это было рассмотрено в IEEE 754-2008, который стандартизировал кодирование десятичных данных с плавающей запятой, хотя и с двумя разными альтернативными методами.

IBM МОЩНОСТЬ6 и новые процессоры POWER включают аппаратное обеспечение DFP, как и IBM System z9[3] (и z10). SilMinds предлагает SilAx, настраиваемый вектор DFP. сопроцессор.[4] IEEE 754-2008 определяет это более подробно. Fujitsu также имеет 64-битный Sparc процессоры с DFP ​​в оборудовании.[5][2]

Microsoft C # или .СЕТЬ, использует System.Decimal.[6]

Кодировка IEEE 754-2008

В IEEE 754-2008 Стандарт определяет 32-, 64- и 128-битные десятичные представления с плавающей запятой. Как и в двоичных форматах с плавающей запятой, число делится на знак, показатель степени и значимое. В отличие от двоичных чисел с плавающей запятой, числа не обязательно нормализованы; ценности с несколькими значащие цифры иметь несколько возможных представлений: 1 × 102=0.1×103=0.01×104и т. д. Когда мантисса равна нулю, показатель степени может быть любым.

IEEE 754-2008 десятичные форматы с плавающей запятой
десятичный32десятичный64десятичный128десятичный (32k)Формат
1111Поле знака (биты)
5555Комбинированное поле (биты)
6812ш = 2×k + 4Поле продолжения экспоненты (биты)
2050110т = 30×k−10Поле продолжения коэффициента (биты)
326412832×kОбщий размер (бит)
71634п = 3×т/10+1 = 9×k−2Размер коэффициента (десятичные цифры)
192768122883×2ш = 48×4kДиапазон экспоненты
963846144Emax = 3 × 2ш−1Максимальное значение 9,99 ... × 10Emax
−95−383−6143Emin = 1 − EmaxНаименьшее нормализованное значение 1,00 ... × 10Эмин
−101−398−6176Этины = 2 − p − EmaxНаименьшее ненулевое значение - 1 × 10Этины

Диапазоны экспоненты были выбраны так, чтобы диапазон, доступный для нормализованных значений, был приблизительно симметричным. Поскольку это невозможно сделать с четным числом возможных значений показателя степени, дополнительное значение было присвоено Emax.

Определены два разных представления:

  • Один с двоичное целочисленное значащее поле кодирует мантиссу как большое двоичное целое число от 0 до 10п−1. Ожидается, что это будет более удобно для программных реализаций с использованием двоичного кода. ALU.
  • Другой с плотно упакованное десятичное значащее поле кодирует десятичные цифры более точно. Это ускоряет преобразование в двоичную форму с плавающей запятой и обратно, но требует специального оборудования для эффективного управления. Ожидается, что это будет более удобно для аппаратных реализаций.

Обе альтернативы обеспечивают точно такой же диапазон представляемых значений.

Два старших бита экспоненты ограничены диапазоном 0–2, а 4 старших разряда мантиссы ограничены диапазоном 0-9. 30 возможных комбинаций закодированы в 5-битном поле вместе со специальными формами для бесконечности и NaN.

Если старшие 4 бита мантиссы находятся между 0 и 7, закодированное значение начинается следующим образом:

s 00mmm xxx Экспонента начинается с 00, мантисса с 0mmms 01mmm xxx Экспонента начинается с 01, мантисса с 0mmms 10mmm xxx Показатель начинается с 10, мантисса с 0mmm

Если первые 4 бита мантиссы представляют собой двоичные 1000 или 1001 (десятичные 8 или 9), число начинается следующим образом:

s 1100m xxx экспонента начинается с 00, мантисса с 100 мс 1101m xxx экспонента начинается с 01, значимая с 100 мс 1110m xxx экспонента начинается с 10, мантисса с 100m

Ведущий бит (s в приведенном выше) является битом знака, а следующие биты (xxx в приведенном выше) кодируют биты дополнительной экспоненты и оставшуюся часть наиболее значимой цифры, но детали меняются в зависимости от используемой альтернативы кодирования.

Окончательные комбинации используются для бесконечностей и NaN и одинаковы для обеих альтернативных кодировок:

s 11110 x ± Infinity (см. Расширенная строка действительных чисел ) s 11111 0 тихий NaN (знаковый бит игнорируется) s 11111 1 сигнальный NaN (знаковый бит игнорируется)

В последних случаях все остальные биты кодирования игнорируются. Таким образом, можно инициализировать массив значением NaN, заполнив его однобайтовым значением.

Поле двоичного целочисленного значения

В этом формате используется двоичное значение от 0 до 10.п−1. Например, значение Decimal32 может быть до 107−1 = 9999999 = 98967F16 = 1001100010010110011111112. Хотя кодирование может представлять большие значения, они являются незаконными, и стандарт требует, чтобы реализации обрабатывали их как 0, если они встречаются на входе.

Как описано выше, кодирование варьируется в зависимости от того, находятся ли наиболее значимые 4 бита значения в диапазоне от 0 до 7 (00002 к 01112) или выше (10002 или 10012).

Если 2 бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то поле экспоненты состоит из 8 бит, следующих за битом знака (упомянутые 2 бита плюс 6 бит «поля продолжения экспоненты») , а мантисса - это оставшиеся 23 бита с неявным начальным 0-битом, показанные здесь в круглых скобках:

 s 00eeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt s 01eeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt s 10eeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt

Это включает в себя субнормальные числа где первая цифра мантиссы равна 0.

Если 2 бита после знакового бита равны «11», то 8-битное поле экспоненты сдвигается на 2 бита вправо (после как знакового бита, так и «11» битов после этого), и представленное значение находится в оставшейся 21 бит. В этом случае есть неявная (то есть не сохраненная) ведущая 3-битная последовательность "100" в истинном значении:

 s 1100eeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt s 1101eeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt s 1110eeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt

2-битная последовательность «11» после знакового бита указывает, что существует скрытый "100" 3-битный префикс мантиссы.

Обратите внимание, что ведущие биты поля мантиссы делают нет закодировать самый старший десятичный разряд; они просто являются частью большего чисто двоичного числа. Например, значение 8000000 кодируется как двоичный 011110100001001000000000, с ведущими 4 битами, кодирующими 7; первое значение, которое требует 24-го бита (и, следовательно, вторая форма кодирования), равно 223 = 8388608.

В вышеупомянутых случаях представлено значение:

(−1)знак × 10показатель −101 × значимое

Decimal64 и Decimal128 работают аналогично, но с полями продолжения экспоненты и значащего значения. Для Decimal128 вторая форма кодирования фактически никогда не используется; наибольшее допустимое значение из 1034-1 = 1ED09BEAD87C0378D8E63FFFFFFFF16 может быть представлен в 113 битах.

Плотно упакованное десятичное значащее поле

В этой версии мантисса хранится в виде серии десятичных цифр. Первая цифра находится между 0 и 9 (3 или 4 двоичных бита), а остальная часть мантиссы использует плотно упакованная десятичная дробь (DPD) кодирование.

Первые 2 бита экспоненты и первая цифра (3 или 4 бита) мантиссы объединяются в пять битов, следующих за битом знака. За ним следует поле продолжения экспоненты с фиксированным смещением.

Наконец, поле продолжения мантиссы состоит из 2, 5 или 11 10-битных деклеты, каждая из которых кодирует 3 десятичных цифры.[7]

Если первые два бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то это ведущие биты экспоненты, а три бита после них интерпретируются как ведущая десятичная цифра (от 0 до 7 ):[8]

    Гребень. Показатель экспоненты s 00 TTT (00) eeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] s 01 TTT (01) eeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] s 10 TTT (10) eeeeee (0TTTT) [tttttttt] [tttttttt]

Если первые два бита после знакового бита равны «11», то вторые два бита являются ведущими битами экспоненты, а последний бит имеет префикс «100» для формирования ведущей десятичной цифры (8 или 9):

    Гребень. Показатель экспоненты s 1100 T (00) eeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] s 1101 T (01) eeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] s 1110 T (10) eeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt]

Оставшиеся две комбинации (11110 и 11111) 5-битного поля используются для представления ± бесконечность и NaN соответственно.

Арифметические операции с плавающей точкой

Обычное правило для выполнения арифметики с плавающей запятой состоит в том, что вычисляется точное математическое значение,[9] а затем результат округляется до ближайшего представимого значения с указанной точностью. Фактически, это поведение, требуемое для IEEE-совместимого компьютерного оборудования при нормальном режиме округления и в отсутствии исключительных условий.

Для простоты изложения и понимания в примерах будет использоваться семизначная точность. Фундаментальные принципы одинаковы для любой точности.

Добавление

Простой способ сложить числа с плавающей запятой - сначала представить их с одинаковым показателем степени. В приведенном ниже примере второе число сдвинуто вправо на 3 цифры. Действуем обычным способом сложения:

Следующий пример является десятичным, что означает просто основание 10.

  123456.7 = 1.234567 × 105  101.7654 = 1.017654 × 102 = 0.001017654 × 105

Следовательно:

  123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 105) + (1.017654 × 102)                      = (1.234567 × 105) + (0.001017654 × 105)                      = 105 × (1.234567 + 0.001017654)                      = 105 × 1.235584654

Это не что иное, как преобразование в научная нотация.В деталях:

  е = 5; s = 1,234567 (123456,7) + e = 2; s = 1,017654 (101,7654)
  е = 5; s = 1,234567 + e = 5; s = 0,001017654 (после сдвига) -------------------- e = 5; s = 1,235584654 (истинная сумма: 123558,4654)

Это истинный результат, точная сумма операндов. Он будет округлен до 7 цифр, а затем при необходимости нормализован. Конечный результат:

  е = 5; s = 1,235585 (итоговая сумма: 123558,5)

Обратите внимание, что 3 младших разряда второго операнда (654) по существу теряются. Это ошибка округления. В крайнем случае сумма двух ненулевых чисел может быть равна одному из них:

  е = 5; s = 1,234567 + e = −3; s = 9,876543
  е = 5; s = 1,234567 + e = 5; s = 0.00000009876543 (после сдвига) ---------------------- e = 5; s = 1,23456709876543 (истинная сумма) e = 5; s = 1,234567 (после округления / нормализации)

Другая проблема потери значимости возникает, когда вычитаются два близких числа. E = 5; s = 1,234571 и e = 5; s = 1,234567 представляют собой рациональные числа 123457.1467 и 123456.659.

  е = 5; s = 1,234571 - e = 5; s = 1,234567 ---------------- e = 5; s = 0,000004 e = -1; s = 4,000000 (после округления / нормализации)

Лучшее представление этой разницы - e = −1; s = 4.877000, что более чем на 20% отличается от e = −1; s = 4,000000. В крайних случаях конечный результат может быть нулевым, даже если точный расчет может составлять несколько миллионов. Этот отмена иллюстрирует опасность в предположении, что все цифры вычисленного результата значимы.

Работа с последствиями этих ошибок - это темы в числовой анализ.

Умножение

Для умножения значения умножаются, а показатели складываются, а результат округляется и нормализуется.

  е = 3; s = 4,734612 × e = 5; s = 5,417242 ----------------------- e = 8; s = 25,648538980104 (истинный продукт) e = 8; s = 25,64854 (после округления) e = 9; s = 2,564854 (после нормализации)

Деление производится аналогично, но более сложно.

При умножении или делении нет проблем с отменой или поглощением, хотя небольшие ошибки могут накапливаться при повторном выполнении операций. На практике способ выполнения этих операций в цифровой логике может быть довольно сложным.

Дальнейшая информация: Алгоритм умножения Бута и Алгоритм деления

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Биби, Нельсон Х. Ф. (22 августа 2017 г.). «Глава H. Исторические архитектуры с плавающей запятой». Справочник по вычислению математических функций - Программирование с использованием переносимой программной библиотеки MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG. п. 948. Дои:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN  978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446.
  2. ^ а б c Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2007]. «Стандарт десятичных чисел с плавающей запятой». квадиблок. В архиве из оригинала 2018-07-03. Получено 2018-07-16.
  3. ^ «IBM z9 EC и z9 BC - повышение ценности для всех» (PDF). 306.ibm.com. Получено 2018-07-07.
  4. ^ «Арифметические IP-адреса для финансовых приложений - SilMinds». Silminds.com.
  5. ^ «Глава 4. Форматы данных». Sparc64 X / X + Спецификация. Накахара-ку, Кавасаки, Япония. Январь 2015. с. 13.
  6. ^ «Десятичные числа с плавающей запятой в .NET». Yoda.arachsys.com.
  7. ^ Мюллер, Жан-Мишель; Брисебар, Николас; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Revol, Натали; Stehlé, Damien; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей точкой (1-е изд.). Биркхойзер. Дои:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN  978-0-8176-4704-9. LCCN  2009939668.
  8. ^ Спецификация десятичного кодирования, версия 1.00, от IBM
  9. ^ Компьютерное оборудование не обязательно вычисляет точное значение; он просто должен выдать эквивалентный округленный результат, как если бы он вычислил бесконечно точный результат.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка