Диссипативный оператор - Википедия - Dissipative operator

В математика, а диссипативный оператор это линейный оператор А определено на линейное подпространство D(А) из Банахово пространство Икс, принимая значения в Икс такой, что для всех λ > 0 и все Икс ∈ D(А)

${ Displaystyle | ( лямбда I-A) х | geq лямбда | х |.}$

Ниже дана пара эквивалентных определений. Диссипативный оператор называется максимально диссипативный если он диссипативный и для всех λ > 0 оператор λI − А сюръективен, что означает, что диапазон, применяемый к домену D это все пространство Икс.

Оператор, который подчиняется аналогичному условию, но со знаком плюс вместо знака минус (то есть отрицание диссипативного оператора), называется оператором аккретивный оператор.^[1]

Основное значение диссипативных операторов заключается в их появлении в Теорема Люмера – Филлипса который характеризует максимально диссипативные операторы как генераторы полугруппы сжатия.

Характеристики

Диссипативный оператор обладает следующими свойствами:^[2]

• Из приведенного выше неравенства мы видим, что для любого Икс в области А, если ‖Икс‖ ≠ 0 тогда ${ Displaystyle | ( лямбда I-A) х | neq 0,}$ Итак ядро из λI − А это просто нулевой вектор и λI − А следовательно является инъективный и имеет обратное для всех λ > 0. (Если у нас есть строгое неравенство ${ Displaystyle | ( лямбда I-A) х |> лямбда | х |}$ для всех ненулевых Икс в домене, то неравенство треугольника, ${ displaystyle | lambda x | + | Ax | geq | ( lambda I-A) x |> lambda | x |,}$ откуда следует, что само A имеет обратное) .Тогда мы можем утверждать, что

${ Displaystyle | ( лямбда I-A) ^ {- 1} z | leq { frac {1} { lambda}} | z |}$

для всех z в диапазоне λI − А. Это то же неравенство, что и в начале статьи, с ${ displaystyle z = ( lambda I-A) x.}$ (Мы могли бы также записать их как ${ Displaystyle | (I- каппа A) ^ {- 1} z | leq | z | { text {или}} | (I- kappa A) x | geq | х |}$ которое должно выполняться для любого положительного κ.)

• λI − А является сюръективный для некоторых λ > 0 тогда и только тогда, когда он сюръективен для всех λ > 0. (Это уже упоминавшийся выше максимально диссипативный случай.) В этом случае (0, ∞) ⊂ ρ(А) ( набор резольвент из А).
• А это закрытый оператор тогда и только тогда, когда диапазон λI - А закрыто для некоторых (эквивалентно: для всех) λ > 0.

Эквивалентные характеристики

Определите набор двойственности Икс ∈ Икс, подмножество двойное пространство ИКС' из Икс, к

${ displaystyle J (x): = left {x ' in X': | x ' | _ {X'} ^ {2} = | x | _ {X} ^ {2} = langle x ', x rangle right }.}$

Посредством Теорема Хана – Банаха этот набор непустой.^[3] в Гильбертово пространство случае (используя каноническую двойственность между гильбертовым пространством и двойственным ему) он состоит из единственного элемента Икс.^[4] В более общем смысле, если Икс является банаховым пространством со строго выпуклым двойственным, то J(Икс) состоит из одного элемента.^[5]Используя это обозначение, А диссипативен тогда и только тогда, когда^[6] для всех Икс ∈ D(А) существует Икс' ∈ J(Икс) такие, что

${ displaystyle { rm {Re}} langle Ax, x ' rangle leq 0.}$

В случае гильбертовых пространств это становится ${ displaystyle { rm {Re}} langle Ax, x rangle leq 0}$ для всех Икс в D(А). Поскольку это неположительно, мы имеем

${ displaystyle | x-Ax | ^ {2} = | x | ^ {2} + | Ax | ^ {2} -2 { rm {Re}} langle Ax, x rangle geq | x | ^ {2} + | Ax | ^ {2} +2 { rm {Re}} langle Ax, x rangle = | x + Ax | ^ {2}}$

${ Displaystyle , следовательно, | х-Ax | geq | х + Ax |}$

С I − A имеет обратное, это означает, что ${ Displaystyle (I + A) (I-A) ^ {- 1}}$ это сокращение, и в более общем плане ${ Displaystyle ( лямбда I + A) ( лямбда I-A) ^ {- 1}}$ является сжатием для любого положительного λ. Полезность этой формулировки заключается в том, что если этот оператор является сжатием для немного положительное λ, тогда А диссипативен. Нет необходимости доказывать, что это сжатие для всех положительных λ (хотя это так), в отличие от (λI − A)⁻¹ которое должно быть доказано как сокращение для все положительные значения λ.

Примеры

• В качестве простого конечномерного примера рассмотрим п-размерный Евклидово пространство р^п со своим обычным скалярное произведение. Если А обозначает негатив оператор идентификации, определенная на всех р^п, тогда

${ Displaystyle х cdot Ax = х cdot (-x) = - | x | ^ {2} leq 0,}$

так А - диссипативный оператор.

• Пока домен оператора А (матрица) - это все евклидово пространство, то оно диссипативно тогда и только тогда, когда А+А^* (сумма A и его прилегающий ) не имеет положительного собственного значения, и (следовательно) все такие операторы максимально диссипативны. Этот критерий следует из того, что действительная часть ${ displaystyle x ^ {*} Ax,}$ который должен быть неположительным для любого Икс, является ${ displaystyle x ^ {*} { frac {A + A ^ {*}} {2}} x.}$ Собственные значения этого квадратичная форма поэтому должен быть неположительным. (Дело в том, что реальная часть ${ displaystyle x ^ {*} Ax,}$ должно быть неположительным, означает, что действительные части собственных значений А должен быть неположительным, но этого недостаточно. Например, если ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} -1 & 3 0 & -1 end {pmatrix}}}$ то его собственные значения отрицательны, но собственные значения А+А^* равны −5 и 1, поэтому А не диссипативен.) Эквивалентным условием является то, что для некоторого (а значит, любого) положительного ${ displaystyle lambda, lambda -A}$ имеет обратный и оператор ${ Displaystyle ( лямбда + А) ( лямбда-А) ^ {- 1}}$ является сжатием (то есть, оно либо уменьшает, либо оставляет неизменной норму своего операнда). Если производная точки по времени Икс в пространстве задается Топор, то эволюция во времени определяется полугруппа сжатия что постоянно снижает норму (или, по крайней мере, не дает ей повышаться). (Обратите внимание, однако, что если домен А - собственное подпространство, то А не может быть максимально диссипативным, потому что диапазон не будет иметь достаточно высокой размерности.)
• Учитывать ЧАС = L² ([0, 1]; р) с обычным внутренним произведением, и пусть Au = ты′ (В данном случае слабая производная ) с доменом D(А) равные этим функциям ты в Соболевское пространство ${ Displaystyle Н ^ {1} ([0, ; 1]; ; mathbf {R})}$ с ты(1) = 0. D(А) плотно в L²([0, 1]; р). Причем для каждого ты в D(А), с помощью интеграция по частям,

${ displaystyle langle u, Au rangle = int _ {0} ^ {1} u (x) u '(x) , mathrm {d} x = - { frac {1} {2}} u (0) ^ {2} leq 0.}$

Следовательно, А - диссипативный оператор. Кроме того, поскольку существует решение (почти всюду ) в D к ${ displaystyle u- lambda u '= f}$ для любого ж в ЧАС, Оператор А максимально диссипативен. Обратите внимание, что в случае бесконечной размерности, подобной этому, диапазон может быть всем банаховым пространством, даже если область является только его собственным подпространством.

• Учитывать ЧАС = ЧАС₀²(Ω; р) (видеть Соболевское пространство ) для открыто и связаны область Ω ⊆ р^п и разреши А = Δ, Оператор Лапласа, определенная на плотном подпространстве компактно поддерживается гладкие функции на Ω. Затем, используя интегрирование по частям,

${ displaystyle langle u, Delta u rangle = int _ { Omega} u (x) Delta u (x) , mathrm {d} x = - int _ { Omega} { big |} nabla u (x) { big |} ^ {2} , mathrm {d} x = - | nabla u | _ {L ^ {2} ( Omega; mathbf {R} )} ^ {2} leq 0,}$

так что лапласиан - диссипативный оператор.

Примечания

Рекомендации

• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000). Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений. Springer.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN  0-387-00444-0. (Определение 12.25)