Теорема Люмера – Филлипса - Википедия - Lumer–Phillips theorem

В математика, то Теорема Люмера – Филлипса, названный в честь Гюнтер Люмер и Ральф Филлипс, является результатом теории сильно непрерывные полугруппы что дает необходимое и достаточное условие для линейный оператор в Банахово пространство создать полугруппа сжатия.

Формулировка теоремы

Позволять А быть линейный оператор определенный на линейном подпространстве D(А) из Банахово пространство Икс. потом А генерирует полугруппа сжатия если и только если^[1]

D(А) является плотный в Икс,
А является закрыто,
А является диссипативный, и
А − λ₀я является сюръективный для некоторых λ₀> 0, где я обозначает оператор идентификации.

Оператор, удовлетворяющий двум последним условиям, называется максимально диссипативным.

Варианты теоремы

Рефлексивные пространства

Позволять А быть линейный оператор определенный на линейном подпространстве D(А) из рефлексивный Банахово пространство Икс. потом А генерирует полугруппа сжатия если и только если^[2]

А является диссипативный, и
А − λ₀я является сюръективный для некоторых λ₀> 0, куда я обозначает оператор идентификации.

Обратите внимание, что условия, которые D(А) плотно и что А закрыто, отбрасываются по сравнению с нерефлексивным случаем. Это потому, что в рефлексивном случае они следуют из двух других условий.

Диссипативность сопряженного

Позволять А быть линейный оператор определено на плотный линейное подпространство D(А) из рефлексивный Банахово пространство Икс. потом А генерирует полугруппа сжатия если и только если^[3]

А является закрыто и оба А и это сопряженный оператор А^∗ находятся диссипативный.

В случае, если Икс не рефлексивно, то это условие для А для генерации полугруппы сжатия все еще достаточно, но не обязательно.^[4]

Полугруппы квазисжимания

Позволять А быть линейный оператор определенный на линейном подпространстве D(А) из Банахово пространство Икс. потом А генерирует квазисжатая полугруппа если и только если

D(А) является плотный в Икс,
А является закрыто,
А является квазидиссипативный, т.е. существует ω ≥ 0 такой, что А − ωI является диссипативный, и
А − λ₀я является сюръективный для некоторых λ₀ > ω, куда я обозначает оператор идентификации.

Примеры

Учитывать ЧАС = L²([0, 1]; р) с его обычным внутренним произведением, и пусть Au = ты′ С доменом D(А) равные этим функциям ты в Соболевское пространство ЧАС¹([0, 1]; р) с ты(1) = 0. D(А) плотно. Причем для каждого ты в D(А),

{ displaystyle langle u, Au rangle = int _ {0} ^ {1} u (x) u '(x) , mathrm {d} x = - { frac {1} {2}} u (0) ^ {2} leq 0,}

так что А диссипативен. Обыкновенное дифференциальное уравнение ты − λu = ж, ты(1) = 0 имеет единственное решение u в ЧАС¹([0, 1]; р) для любого ж в L²([0, 1]; р), а именно

{ Displaystyle и (х) = { rm {e}} ^ { lambda x} int _ {1} ^ {x} { rm {e}} ^ {- lambda t} f (t) , dt}

так что условие сюръективности выполнено. Следовательно, по рефлексивной версии теоремы Люмера – Филлипса А порождает полугруппу сжатия.

Есть еще много примеров, когда прямое применение теоремы Люмера – Филлипса дает желаемый результат.

В сочетании с теорией сдвига, масштабирования и возмущений теорема Люмера – Филлипса является основным инструментом, показывающим, что определенные операторы порождают сильно непрерывные полугруппы. Ниже приводится показательный пример.

А нормальный оператор (оператор, коммутирующий со своим сопряженным) на Гильбертово пространство порождает сильно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда ее спектр ограничено сверху.^[5]

Примечания

^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.15, Арент и др. Теорема 3.4.5, теорема Стаффанса 3.4.8.
^ Следствие Энгеля и Нагеля II.3.20.
^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.17, теорема Стаффанса 3.4.8
^ В литературе действительно появляются утверждения, которые заявляют об эквивалентности также в нерефлексивном случае (например, Луо, Го, следствие Моргула 2.28), но они ошибочны.
^ Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25 (ii)

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки