Экспоненциальный полином - Exponential polynomial

В математика, экспоненциальные полиномы находятся функции на поля, кольца, или же абелевы группы которые принимают форму многочлены в переменной и экспоненциальная функция.

Определение

В полях

Экспоненциальный многочлен обычно имеет как переменную Икс и какая-то экспоненциальная функция E(Икс). В комплексных числах уже есть каноническая экспоненциальная функция, которая отображает Икс к е^Икс. В этом контексте термин экспоненциальный многочлен часто используется для обозначения многочленов формы п(Икс,е^Икс) куда п ∈ C[Икс,у] - многочлен от двух переменных.^[1][2]

В этом нет ничего особенного C здесь экспоненциальные многочлены могут также относиться к такому многочлену на любом экспоненциальное поле или экспоненциальное кольцо с экспоненциальной функцией, занимающей место е^Икс над.^[3] Точно так же нет причин иметь одну переменную и экспоненциальный многочлен от п переменные будут иметь вид п(Икс₁,...,Икс_п,е^Икс₁,...,е^Икс_п), куда п является многочленом от 2п переменные.

Для формальных экспоненциальных многочленов над полем K поступаем следующим образом.^[4] Позволять W быть конечно порожденным Z-подмодуль K и рассмотрим конечные суммы вида

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (X) exp (w_ {i} X),}$

где ж_я являются многочленами от K[Икс] и exp (ш_яИкс) - формальные символы, индексированные ш_я в W при условии exp (ты+v) = ехр (ты) ехр (v).

В абелевых группах

Более общая структура, в которой можно найти термин экспоненциальный многочлен, - это модель экспоненциальных функций на абелевых группах. Аналогично тому, как определяются экспоненциальные функции на экспоненциальных полях, учитывая топологическая абелева группа грамм а гомоморфизм из грамм к аддитивной группе комплексных чисел называется аддитивной функцией, а гомоморфизм к мультипликативной группе ненулевых комплексных чисел называется экспоненциальной функцией или просто экспонентой. Произведение аддитивных функций и экспонент называется экспоненциальным мономом, а их линейная комбинация является экспоненциальным многочленом на грамм.^[5][6]

Характеристики

Теорема Ритта заявляет, что аналоги уникальная факторизация и факторная теорема для кольца экспоненциальных многочленов.^[4]

Приложения

Экспоненциальные полиномы на р и C часто появляются в трансцендентная теория чисел, где они отображаются как вспомогательные функции в доказательствах с участием экспоненты. Они также служат связующим звеном между теория моделей и аналитическая геометрия. Если определить экспоненциальное многообразие как набор точек в р^п где некоторый конечный набор экспоненциальных многочленов обращается в нуль, то результаты, подобные теореме Хованского в дифференциальная геометрия и Теорема Уилки в теории моделей показывают, что эти многообразия ведут себя хорошо в том смысле, что набор таких многообразий стабилен при различных теоретико-множественных операциях до тех пор, пока один из них допускает включение изображения при проекциях многомерных экспоненциальных многообразий. Действительно, из двух вышеупомянутых теорем следует, что множество всех экспоненциальных многообразий образует о-минимальная структура над р.

Экспоненциальные многочлены появляются в характеристическом уравнении, связанном с линейным дифференциальные уравнения с запаздыванием.

Примечания