Неравенство Фишера - Википедия - Fishers inequality
Неравенство Фишера это необходимое условие за существование сбалансированного неполного блочная конструкция, то есть система подмножеств, удовлетворяющих некоторым заданным условиям в комбинаторный математика. Обрисовано в общих чертах Рональд Фишер, а популяционный генетик и статистик, который был обеспокоен дизайн экспериментов например, изучение различий между несколькими разными разновидности растений, в каждом из ряда различных условий выращивания, называемых блоки.
Позволять:
- v быть количеством разновидностей растений;
- б быть количеством блоков.
Для сбалансированной неполной блочной конструкции требуется, чтобы:
- k разные разновидности в каждом блоке, 1 ≤ k < v; ни одно разнообразие не встречается дважды в одном блоке;
- любые две разновидности встречаются вместе точно λ блоки;
- каждый сорт встречается точно р блоки.
Неравенство Фишера просто утверждает, что
- б ≥ v.
Доказательство
Пусть матрица инцидентности M быть v × б матрица определена так, что Mя, j равно 1, если элемент я в блоке j и 0 в противном случае. потом B = ММТ это v × v матрица такая, что Bя, я = р и Bя, j = λ за я ≠ j. С р ≠ λ, det (B) ≠ 0, так классифицировать(B) = v; с другой стороны, классифицировать(B) ≤ ранг (M) ≤ б, так v ≤ б.
Обобщение
Неравенство Фишера справедливо для более общих классов планов. А попарно сбалансированный дизайн (или PBD) - это набор Икс вместе с семейством непустых подмножеств Икс (которые не обязательно должны иметь одинаковый размер и могут содержать повторы), так что каждая пара отдельных элементов Икс содержится точно в λ (положительное целое) подмножества. Набор Икс может быть одним из подмножеств, и если все подмножества являются копиями Икс, PBD называется «тривиальным». Размер Икс является v а количество подмножеств в семье (с учетом кратности) равно б.
Теорема: для любого нетривиального PBD v ≤ б.[1]
Этот результат также обобщает Теорема Эрдеша – де Брейна:
Для PBD с λ = 1 без блоков размера 1 или размера v, v ≤ б, с равенством тогда и только тогда, когда PBD является проективная плоскость или почти карандаш (это означает, что именно п − 1 из точек коллинеарен ).[2]
В другом направлении, Рэй-Чаудхури и Уилсон в 1975 году доказал, что в 2s-(v, k, λ) конструкции, количество блоков не менее .[3]
Примечания
- ^ Стинсон 2003, стр.193
- ^ Стинсон 2003, стр.183
- ^ Ray-Chaudhuri, Dijen K .; Уилсон, Ричард М. (1975), «О т-образных конструкциях», Осакский математический журнал, 12: 737–744, МИСТЕР 0592624, Zbl 0342.05018
Рекомендации
- Р. К. Бозе, «Заметка о неравенстве Фишера для сбалансированных неполных блочных конструкций», Анналы математической статистики, 1949, страницы 619–620.
- Р. А. Фишер, "Исследование различных возможных решений проблемы в неполных блоках", Анналы евгеники, том 10, 1940, страницы 52–75.
- Стинсон, Дуглас Р. (2003), Комбинаторные конструкции: конструкции и анализ, Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95487-2
- Улица, Энн Пенфолд; Улица, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика экспериментального дизайна. Оксфорд У. П. [Кларендон]. ISBN 0-19-853256-3.