Последовательность Фишера - Fisher consistency

В статистика, Последовательность Фишера, названный в честь Рональд Фишер, является желательным свойством оценщик утверждая, что если бы оценка была рассчитана с использованием всего численность населения а не образец, будет получено истинное значение оцениваемого параметра. ^[1]

Определение

Предположим, у нас есть статистическая выборка Икс₁, ..., Икс_п где каждый Икс_я следует за кумулятивное распределение F_θ что зависит от неизвестного параметр θ. Если оценка θ по образцу можно представить как функциональный из эмпирическая функция распределения F̂_п:

${displaystyle {hat {heta}} = T ({hat {F}} _ {n}) ,,}$

оценщик называется Фишер последовательный если:

${displaystyle T (F_ {heta}) = heta,.}$^[2]

Пока Икс_я находятся обмениваемый, оценщик Т определены в терминах Икс_я можно преобразовать в оценщик T ′ что можно определить с точки зрения F̂_п путем усреднения Т по всем перестановкам данных. Итоговая оценка будет иметь то же ожидаемое значение, что и Т и его дисперсия будет не больше, чем у Т.

Если сильный закон больших чисел могут применяться эмпирические функции распределения F̂_п поточечно сходятся к F_θ, что позволяет нам выразить согласованность Фишера как предел - оценка Фишер последовательный если

${displaystyle Tleft (lim _ {nightarrow infty} {hat {F}} _ {n} ight) = heta.,}$

Пример конечного населения

Предположим, наша выборка получена из конечной совокупности Z₁, ..., Z_м. Мы можем представить нашу выборку размера п с точки зрения доли выборки п_я / п принимая каждое значение в совокупности. Записывая нашу оценку θ как Т(п₁ / п, ..., п_м / п) популяционным аналогом оценки является Т(п₁, ..., п_м), где p_я = п(Икс = Z_я). Таким образом, мы имеем Последовательность Фишера если Т(п₁, ..., п_м) = θ.

Предположим, что интересующий параметр - это ожидаемое значение μ, а оценка - это выборочное среднее, что можно записать

${displaystyle n ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {m} I (X_ {i} = Z_ {j}) Z_ {j},}$

куда я это индикаторная функция. Популяционным аналогом этого выражения является

${displaystyle n ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {m} p_ {j} Z_ {j} = n ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ {n} mu = mu,}$

так что у нас есть последовательность Фишера.

Роль в оценке максимального правдоподобия

Максимизация функции правдоподобия L дает оценку, согласованную по Фишеру для параметра б если

${displaystyle Eleft [{frac {dln L} {db}} ight] = 0 {ext {at}} b = b_ {0} ,,}$

куда б₀ представляет собой истинную ценность б.^[3][4]

Связь с асимптотической непротиворечивостью и беспристрастностью

Период, термин последовательность в статистике обычно относится к оценщику, который асимптотически согласованный. Последовательность Фишера и асимптотическая непротиворечивость - это разные понятия, хотя оба стремятся определить желаемое свойство оценки. Хотя многие оценщики согласованы в обоих смыслах, ни одно определение не охватывает другого. Например, предположим, что мы берем оценку Т_п который является согласованным и асимптотически согласованным по Фишеру, а затем сформирует Т_п + E_п, куда E_п - детерминированная последовательность ненулевых чисел, сходящаяся к нулю. Эта оценка является асимптотически согласованной, но не согласованной по Фишеру ни для каких п. В качестве альтернативы возьмите последовательность последовательных оценок Фишера. S_п, затем определим Т_п = S_п за п <п₀, и Т_п = S_п0 для всех п ≥п₀. Эта оценка согласована по Фишеру для всех п, но не асимптотически согласованный. Конкретным примером этой конструкции может быть оценка среднего значения для населения как Икс₁ независимо от размера выборки.

Среднее значение выборки является согласованным по Фишеру и беспристрастный оценка среднего населения, но не все согласованные оценки Фишера являются несмещенными. Предположим, мы наблюдаем образец из равномерное распределение на (0, θ) и мы хотим оценить θ. Максимум выборки согласован по Фишеру, но смещен в сторону уменьшения. И наоборот, дисперсия выборки - это несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности, но не согласованная по Фишеру.

Роль в теории принятия решений

Функция потерь согласована по Фишеру, если минимизатор риска приводит к правилу оптимального решения Байеса.^[5]

Рекомендации