Предел Фраисе - Википедия - Fraïssé limit

В математическая логика, особенно в дисциплине теория моделей, то Предел Фраисе (также называемый Строительство Fraïssé или же Слияние Fraïssé) - это метод, используемый для построения (бесконечного) математические структуры из их (конечных) подконструкции. Это частный пример более общей концепции прямой предел в категория.^[1] Этот метод был разработан в 1950-х годах его тезкой, французским логиком. Роланд Фраиссе.^[2]

Суть конструкции Фраиссе - показать, как можно аппроксимировать (счетный ) структуру своими конечно порожденными подструктурами. Учитывая учебный класс ${ displaystyle mathbf {K}}$ конечных реляционные структуры, если ${ displaystyle mathbf {K}}$ удовлетворяет определенным свойствам (описанным ниже), то существует единственное счетный структура ${ displaystyle operatorname {Flim} ( mathbf {K})}$ , называемый пределом Фраиссе ${ displaystyle mathbf {K}}$ , который содержит все элементы ${ displaystyle mathbf {K}}$ в качестве подконструкции.

Общее изучение пределов Фраиссе и связанных с ними понятий иногда называют Теория Фраиссе. Эта область нашла широкое применение в других областях математики, включая топологическая динамика, функциональный анализ, и Теория Рамсея.^[3]

Конечно генерируемые подструктуры и возраст

Исправить язык ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ . Автор ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ -структура, мы имеем в виду логическая структура имея подпись ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ .

Учитывая ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ -структура ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ с домен ${ displaystyle M}$ , и подмножество ${ displaystyle A substeq M}$ , мы используем ${ Displaystyle langle А rangle ^ { mathcal {M}}}$ для обозначения наименьшего основание из ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ чей домен содержит ${ displaystyle A}$ (т.е. закрытие ${ displaystyle A}$ под всеми символами функций и констант в ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ ).

Подструктура ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ из ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ тогда говорят, что это конечно порожденный если ${ Displaystyle { mathcal {N}} = langle A rangle ^ { mathcal {M}}}$ для некоторых конечный подмножество ${ displaystyle A substeq M}$ .^[4] В в возрасте ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ , обозначенный ${ displaystyle operatorname {Возраст} ({ mathcal {M}})}$ , - класс всех конечно порожденных подструктур ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ .

Можно доказать, что любой класс ${ displaystyle mathbf {K}}$ то есть возраст некоторой конструкции удовлетворяет следующим двум условиям:

Наследственная собственность (HP)

Если

{ displaystyle A in mathbf {K}}

и

{ displaystyle B}

конечно порожденная подструктура

{ displaystyle A}

, тогда

{ displaystyle B}

изоморфна некоторой структуре в

{ displaystyle mathbf {K}}

.

Совместное свойство вложения (JEP)

Если

{ displaystyle A, B in mathbf {K}}

, то существует

{ Displaystyle C in mathbf {K}}

так что оба

{ displaystyle A}

и

{ displaystyle B}

встраиваются в

{ displaystyle C}

.

Теорема Фраиссе

А коммутативная диаграмма иллюстрирующие свойство слияния.

Как и выше, мы отметили, что для любого ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ -структура ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ , ${ displaystyle operatorname {Возраст} ({ mathcal {M}})}$ удовлетворяет требованиям HP и JEP. Фраиссе доказал обратный результат: когда ${ displaystyle mathbf {K}}$ - любое непустое счетное множество конечно порожденных ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ -структуры, обладающие двумя указанными выше свойствами, то это возраст некоторой счетной структуры.

Кроме того, предположим, что ${ displaystyle mathbf {K}}$ удовлетворяет следующим дополнительным свойствам.

Объединенная собственность (AP)

Для любых конструкций

{ displaystyle A, B, C in mathbf {K}}

, такие, что существуют вложения ${ displaystyle f: от A до B}$ , ${ displaystyle g: от A до C}$ , существует структура

{ Displaystyle D in mathbf {K}}

и вложения ${ displaystyle f ': от B до D}$ , ${ displaystyle g ': от C до D}$ такой, что

{ Displaystyle f ' circ f = g' circ g}

(т.е. они совпадают на образе A в обеих структурах).

Существенная счетность (EC)

С точностью до изоморфизма структур в

{ displaystyle mathbf {K}}

.

В этом случае мы говорим, что K является Класс Fraïssé, и существует единственная (с точностью до изоморфизма) счетная однородная структура ${ displaystyle operatorname {Flim} ( mathbf {K})}$ чей возраст точно ${ displaystyle mathbf {K}}$ .^[5] Эта структура называется Предел Фраисе из ${ displaystyle mathbf {K}}$ .

Здесь, однородный означает, что любой изоморфизм ${ displaystyle pi: от A до B}$ между двумя конечно порожденными подструктурами ${ displaystyle A, B in mathbf {K}}$ можно расширить до автоморфизм всей конструкции.

Примеры

Типичный пример - класс ${ displaystyle mathbf {FCh}}$ всех конечных линейные порядки, для которой предел Фрассе является плотный линейный порядок без конечных точек (т.е. нет наименьший или наибольший элемент ). С точностью до изоморфизма это всегда эквивалентно структуре ${ Displaystyle langle mathbb {Q}, < rangle}$ , т.е. рациональное число при обычном заказе.

В качестве примера обратите внимание, что ни ${ Displaystyle langle mathbb {N}, < rangle}$ ни ${ Displaystyle langle mathbb {Z}, < rangle}$ являются пределом Фраиссе ${ displaystyle mathbf {FCh}}$ . Это потому, что, хотя оба они исчисляемы и имеют ${ displaystyle mathbf {FCh}}$ по возрасту ни один из них не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подструктуры ${ displaystyle { big langle} {1,3 }, <{ big rangle}}$ и ${ displaystyle { big langle} {5,6 }, <{ big rangle}}$ , а изоморфизм ${ Displaystyle 1 mapsto 5, 3 mapsto 6}$ между ними. Это не может быть продолжено до автоморфизма ${ Displaystyle langle mathbb {N}, < rangle}$ или же ${ Displaystyle langle mathbb {Z}, < rangle}$ , поскольку нет элемента, которому мы могли бы сопоставить ${ displaystyle 2}$ , при этом сохраняя порядок.

Другой пример - класс ${ displaystyle mathbf {Gph}}$ всех конечных графики, предел Фраиссе - График Rado.^[1]

ω-категоричность

Предположим, наш класс ${ displaystyle mathbf {K}}$ рассматриваемое удовлетворяет дополнительному свойству быть равномерно локально конечный, что означает, что для каждого ${ displaystyle n}$ , существует единообразная оценка размера ${ displaystyle n}$ -генерированная подконструкция. Это условие эквивалентно пределу Фрассе для ${ displaystyle mathbf {K}}$ существование ω-категоричный.

Например, класс конечномерный векторные пространства за фиксированный поле всегда является классом Фраиссе, но он равномерно локально конечен, только если конечно поле.

Смотрите также

Структурная теория Рамсея