G-модуль - G-module

В тор можно сделать абелевой группой, изоморфной произведению круговая группа. Эта абелева группа является Кляйн четыре группы -модуль, в котором группа действует путем отражения в каждом из координатных направлений (здесь изображены красной и синей стрелками, пересекающимися в единичном элементе).

В математика, учитывая группа грамм, а грамм-модуль является абелева группа M на котором грамм действует совместимо со структурой абелевой группы на M. Это широко применяемое понятие обобщает понятие представление грамм. Групповые (ко) гомологии предоставляет важный набор инструментов для изучения общих грамм-модули.

Период, термин грамм-модуль также используется для более общего понятия р-модуль на котором грамм действует линейно (т.е. как группа р-модуль автоморфизмы ).

Определение и основы

Позволять грамм быть группой. А оставили грамм-модуль состоит из[1] абелева группа M вместе с действие левой группы ρ: грамм × MM такой, что

грамм·(а + б) = грамм·а + грамм·б

куда грамм·а обозначает ρ (грамм,а). А верно грамм-модуль определяется аналогично. Учитывая левую грамм-модуль M, его можно превратить в право грамм-модуль, определяя а·грамм = грамм−1·а.

А функция ж : MN называется морфизм грамм-модули (или грамм-линейная карта, или грамм-гомоморфизм) если ж это оба групповой гомоморфизм и грамм-эквивариантный.

Сборник левых (соответственно правых) грамм-модули и их морфизмы образуют абелева категория грамм-Мод (соотв. Мод-грамм). Категория грамм-Мод (соотв. Мод-грамм) можно отождествить с категорией левых (соответственно правых) ZG-модули, т.е. с модули над групповое кольцо Z[грамм].

А подмодуль из грамм-модуль M это подгруппа АM что устойчиво под действием грамм, т.е. грамм·аА для всех граммграмм и аА. Учитывая подмодуль А из M, то модуль частного M/А это факторгруппа с действием грамм·(м + А) = грамм·м + А.

Примеры

куда
и (Икс, у)грамм является матричное умножение. потом M это грамм-модуль изучает Гаусс.[2] Действительно, у нас есть
  • Если V представляет собой представление грамм через поле K, тогда V это грамм-модуль (это абелева группа по сложению).

Топологические группы

Если грамм это топологическая группа и M абелева топологическая группа, то a топологический грамм-модуль это грамм-модуль где действует карта грамм×MM является непрерывный (где топология продукта берется на грамм×M).[3]

Другими словами, топологический G-модуль абелева топологическая группа M вместе с непрерывной картой грамм×MM удовлетворяя обычные отношения грамм(а + а ') = га + га ', (gg ′)а = грамм(g′a) и 1а = а.

Примечания

  1. ^ Кертис, Чарльз В.; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, John Wiley & Sons (переиздание, 2006 г., книжный магазин AMS), ISBN  978-0-470-18975-7.
  2. ^ Ким, Мён-Хван (1999), Интегральные квадратичные формы и решетки: материалы Международной конференции по интегральным квадратичным формам и решеткам, 15–19 июня 1998 г., Сеульский национальный университет, Корея, American Mathematical Soc.
  3. ^ Д. Вигнер (1973). «Алгебраические когомологии топологических групп». Пер. Амер. Математика. Soc. 178: 83–93. Дои:10.1090 / s0002-9947-1973-0338132-7.

Рекомендации