G-модуль - G-module
В математика, учитывая группа грамм, а грамм-модуль является абелева группа M на котором грамм действует совместимо со структурой абелевой группы на M. Это широко применяемое понятие обобщает понятие представление грамм. Групповые (ко) гомологии предоставляет важный набор инструментов для изучения общих грамм-модули.
Период, термин грамм-модуль также используется для более общего понятия р-модуль на котором грамм действует линейно (т.е. как группа р-модуль автоморфизмы ).
Определение и основы
Позволять грамм быть группой. А оставили грамм-модуль состоит из[1] абелева группа M вместе с действие левой группы ρ: грамм × M → M такой, что
- грамм·(а + б) = грамм·а + грамм·б
куда грамм·а обозначает ρ (грамм,а). А верно грамм-модуль определяется аналогично. Учитывая левую грамм-модуль M, его можно превратить в право грамм-модуль, определяя а·грамм = грамм−1·а.
А функция ж : M → N называется морфизм грамм-модули (или грамм-линейная карта, или грамм-гомоморфизм) если ж это оба групповой гомоморфизм и грамм-эквивариантный.
Сборник левых (соответственно правых) грамм-модули и их морфизмы образуют абелева категория грамм-Мод (соотв. Мод-грамм). Категория грамм-Мод (соотв. Мод-грамм) можно отождествить с категорией левых (соответственно правых) ZG-модули, т.е. с модули над групповое кольцо Z[грамм].
А подмодуль из грамм-модуль M это подгруппа А ⊆ M что устойчиво под действием грамм, т.е. грамм·а ∈ А для всех грамм ∈ грамм и а ∈ А. Учитывая подмодуль А из M, то модуль частного M/А это факторгруппа с действием грамм·(м + А) = грамм·м + А.
Примеры
- Учитывая группу грамм, абелева группа Z это грамм-модуль с тривиальное действие грамм·а = а.
- Позволять M быть набором бинарные квадратичные формы ж(Икс, у) = топор2 + 2bxy + Сай2 с а, б, c целые числа, и разреши грамм = SL (2, Z) (2 × 2 специальная линейная группа над Z). Определять
- куда
- и (Икс, у)грамм является матричное умножение. потом M это грамм-модуль изучает Гаусс.[2] Действительно, у нас есть
- Если V представляет собой представление грамм через поле K, тогда V это грамм-модуль (это абелева группа по сложению).
Топологические группы
Если грамм это топологическая группа и M абелева топологическая группа, то a топологический грамм-модуль это грамм-модуль где действует карта грамм×M → M является непрерывный (где топология продукта берется на грамм×M).[3]
Другими словами, топологический G-модуль абелева топологическая группа M вместе с непрерывной картой грамм×M → M удовлетворяя обычные отношения грамм(а + а ') = га + га ', (gg ′)а = грамм(g′a) и 1а = а.
Примечания
- ^ Кертис, Чарльз В.; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, John Wiley & Sons (переиздание, 2006 г., книжный магазин AMS), ISBN 978-0-470-18975-7.
- ^ Ким, Мён-Хван (1999), Интегральные квадратичные формы и решетки: материалы Международной конференции по интегральным квадратичным формам и решеткам, 15–19 июня 1998 г., Сеульский национальный университет, Корея, American Mathematical Soc.
- ^ Д. Вигнер (1973). «Алгебраические когомологии топологических групп». Пер. Амер. Математика. Soc. 178: 83–93. Дои:10.1090 / s0002-9947-1973-0338132-7.
Рекомендации
- Глава 6 Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МИСТЕР 1269324. OCLC 36131259.