Геопотенциальная модель - Geopotential model

В геофизика, а геопотенциальная модель теоретический анализ измерения и расчета эффектов Земля с гравитационное поле.

Закон Ньютона

Схема двух притягивающих друг друга масс

Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что гравитационная сила F действуя между двумя точечные массы м₁ и м₂ с участием центр масс разделение р дан кем-то

${ displaystyle mathbf {F} = -G { frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} mathbf { hat {r}}}$

где г это гравитационная постоянная и р радиальный единичный вектор. Для объекта с непрерывным распределением массы каждый элемент массы дм можно рассматривать как точечную массу, поэтому интеграл объема по размеру объекта дает:

${ displaystyle mathbf { bar {F}} = -G int limits _ {V} { frac { rho} {r ^ {2}}} mathbf { hat {r}} , dx , dy , dz}$

(1)

с соответствующими гравитационный потенциал

${ Displaystyle и = -G int limits _ {V} { frac { rho} {r}} , dx , dy , dz}$

(2)

где ρ = ρ (х, у, г) это плотность вещества на элемент объема и направления от элемента объема к точечной массе.

Случай однородной сферы

В частном случае шара со сферически-симметричной плотностью массы ρ = ρ (s), т.е. плотность зависит только от радиального расстояния

${ displaystyle s = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} ,.}$

Эти интегралы можно оценить аналитически. Это теорема оболочек говоря, что в этом случае:

${ displaystyle { bar {F}} = - { frac {GM} {R ^ {2}}} { hat {r}}}$

(3)

с соответствующими потенциал

${ displaystyle u = - { frac {GM} {r}}}$

(4)

где M = ∫_Vρ (s)dxdydz - полная масса шара.

Отклонения гравитационного поля Земли от поля однородной сферы

На самом деле Земля не совсем сферическая, в основном из-за ее вращения вокруг полярной оси, что делает ее форму слегка сжатой. Если бы эта форма была хорошо известна вместе с точной плотностью массы ρ = ρ (х, у, г) интегралы (1) и (2) можно было бы оценить численными методами, чтобы найти более точную модель гравитационного поля Земли. Однако на самом деле ситуация обратная. Наблюдая за орбитами космического корабля и Луны, гравитационное поле Земли может быть определено достаточно точно, и наилучшая оценка массы Земли получается путем деления произведения GM как определено из анализа орбиты КА со значением для г определяется с меньшей относительной точностью другими физическими методами.

Из определяющих уравнений (1) и (2) ясно (взяв частные производные от подынтегрального выражения), что вне тела в пустом пространстве для поля, создаваемого телом, справедливы следующие дифференциальные уравнения:

${ displaystyle { frac { partial F_ {x}} { partial x}} + { frac { partial F_ {y}} { partial y}} + { frac { partial F_ {z}} { partial z}} = 0}$

(5)

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial z ^ {2}}} = 0}$

(6)

Функции формы ${ Displaystyle фи = р (г) тета ( тета) фи ( varphi)}$где (р, θ, φ) - сферические координаты которые удовлетворяют уравнению в частных производных (6) ( Уравнение лапласа ) называются сферические гармонические функции.

Они принимают следующие формы:

${ displaystyle { begin {align} g (x, y, z) & = { frac {1} {r ^ {n + 1}}} P_ {n} ^ {m} ( sin theta) cos m varphi ,, & quad 0 leq m leq n ,, & quad n = 0,1,2, dots h (x, y, z) & = { frac {1 } {r ^ {n + 1}}} P_ {n} ^ {m} ( sin theta) sin m varphi ,, & quad 1 leq m leq n ,, & quad n = 1,2, точки конец {выровнено}}}$

(7)

где сферические координаты (р, θ, φ), представленные здесь в декартовых (х, у, г) для справки:

${ Displaystyle { begin {выровнено} & x = r cos theta cos varphi & y = r cos theta sin varphi & z = r sin theta ,, end {align} }}$

(8)

также п⁰_п являются Полиномы Лежандра и п^м_п для 1 ≤ м ≤ п являются связанные функции Лежандра.

Первые сферические гармоники с п = 0,1,2,3 представлены в таблице ниже.

п	Сферические гармоники
0	${ displaystyle { frac {1} {r}}}$
1	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} P_ {1} ^ {0} ( sin theta) = { frac {1} {r ^ {2}}} sin theta }$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} P_ {1} ^ {1} ( sin theta) cos varphi = { frac {1} {r ^ {2}}} cos theta cos varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} P_ {1} ^ {1} ( sin theta) sin varphi = { frac {1} {r ^ {2}}} cos theta sin varphi}$
2	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {3}}} P_ {2} ^ {0} ( sin theta) = { frac {1} {r ^ {3}}} { frac { 1} {2}} (3 sin ^ {2} theta -1)}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {3}}} P_ {2} ^ {1} ( sin theta) cos varphi = { frac {1} {r ^ {3}}} 3 sin theta cos theta cos varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {3}}} P_ {2} ^ {1} ( sin theta) sin varphi = { frac {1} {r ^ {3}}} 3 sin theta cos theta sin varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {3}}} P_ {2} ^ {2} ( sin theta) cos 2 varphi = { frac {1} {r ^ {3}} } 3 cos ^ {2} theta cos 2 varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {3}}} P_ {2} ^ {2} ( sin theta) sin 2 varphi = { frac {1} {r ^ {3}} } 3 cos ^ {2} theta sin 2 varphi}$
3	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {0} ( sin theta) = { frac {1} {r ^ {4}}} { frac { 1} {2}} sin theta (5 sin ^ {2} theta -3)}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {1} ( sin theta) cos varphi = { frac {1} {r ^ {4}}} { frac {3} {2}} (5 sin ^ {2} theta -1) cos theta cos varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {1} ( sin theta) sin varphi = { frac {1} {r ^ {4}}} { frac {3} {2}} (5 sin ^ {2} theta -1) cos theta sin varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {2} ( sin theta) cos 2 varphi = { frac {1} {r ^ {4}} } 15 sin theta cos ^ {2} theta cos 2 varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {2} ( sin theta) sin 2 varphi = { frac {1} {r ^ {4}} } 15 sin theta cos ^ {2} theta sin 2 varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {3} ( sin theta) cos 3 varphi = { frac {1} {r ^ {4}} } 15 cos ^ {3} theta cos 3 varphi}$
	${ displaystyle { frac {1} {r ^ {4}}} P_ {3} ^ {3} ( sin theta) sin 3 varphi = { frac {1} {r ^ {4}} } 15 cos ^ {3} theta sin 3 varphi}$

Модель гравитационного потенциала Земли представляет собой сумму

${ displaystyle u = - { frac { mu} {r}} + sum _ {n = 2} ^ {N_ {z}} { frac {J_ {n} P_ {n} ^ {0} ( sin theta)} {r ^ {n + 1}}} + sum _ {n = 2} ^ {N_ {t}} sum _ {m = 1} ^ {n} { frac {P_ { n} ^ {m} ( sin theta) (C_ {n} ^ {m} cos m varphi + S_ {n} ^ {m} sin m varphi)} {r ^ {n + 1} }}}$

(9)

где ${ displaystyle mu = GM}$ и координаты (8) являются относительными к стандартной геодезической системе отсчета, расширенной в пространство с началом в центре опорный эллипсоид и с z- ось в направлении полярной оси.

В зональные условия см. условия формы:

${ displaystyle { frac {P_ {n} ^ {0} ( sin theta)} {r ^ {n + 1}}} quad n = 0,1,2, dots}$

и тессеральные термины термины относятся к условиям формы:

${ displaystyle { frac {P_ {n} ^ {m} ( sin theta) cos m varphi} {r ^ {n + 1}}}} ,, quad 1 leq m leq n quad n = 1,2, точки}$

${ displaystyle { frac {P_ {n} ^ {m} ( sin theta) sin m varphi} {r ^ {n + 1}}}}$

Зональные и тессеральные условия для п = 1 опущены в (9). Коэффициенты при n = 1 с членами как m = 0, так и m = 1 соответствуют произвольно ориентированному дипольному члену в многополюсном разложении. Гравитация физически не имеет дипольного характера, поэтому интеграл, характеризующий п = 1 должен быть равен нулю.

Различные коэффициенты J_п, C_п^м, S_п^м, затем задаются значения, для которых достигается наилучшее согласие между расчетными и наблюдаемыми орбитами космического аппарата.

Так как п⁰_п(Икс) = −п⁰_п(−Икс) ненулевые коэффициенты J_п для странный п соответствуют отсутствию симметрии «север – юг» относительно экваториальной плоскости для распределения масс Земли. Ненулевые коэффициенты C_п^м, S_п^м соответствуют отсутствию вращательной симметрии вокруг полярной оси для распределения массы Земли, то есть "трехосности" Земли.

Для больших значений п коэффициенты выше (которые делятся на р^{(п + 1)} в (9)) принимают очень большие значения, например, когда в качестве единиц используются километры и секунды. В литературе принято вводить произвольный «опорный радиус». р близко к радиусу Земли и работать с безразмерными коэффициентами

${ displaystyle { tilde {J_ {n}}} = - { frac {J_ {n}} { mu R ^ {n}}}}$

${ displaystyle { tilde {C_ {n} ^ {m}}} = - { frac {C_ {n} ^ {m}} { mu R ^ {n}}}}$

${ displaystyle { tilde {S_ {n} ^ {m}}} = - { frac {S_ {n} ^ {m}} { mu R ^ {n}}}}$

и записать потенциал как

${ displaystyle u = - { frac { mu} {r}} left (1+ sum _ {n = 2} ^ {N_ {z}} { frac {{ tilde {J_ {n}}) } P_ {n} ^ {0} ( sin theta)} {{({ frac {r} {R}})} ^ {n}}} + sum _ {n = 2} ^ {N_ { t}} sum _ {m = 1} ^ {n} { frac {P_ {n} ^ {m} ( sin theta) ({ tilde {C_ {n} ^ {m}}} cos m varphi + { tilde {S_ {n} ^ {m}}} sin m varphi)} {{({ frac {r} {R}})} ^ {n}}} right)}$

(10)

Главный член (после члена −μ /р) в (9) это "J₂ срок":

${ displaystyle u = { frac {J_ {2} P_ {2} ^ {0} ( sin theta)} {r ^ {3}}} = J_ {2} { frac {1} {r ^ {3}}} { frac {1} {2}} (3 sin ^ {2} theta -1) = J_ {2} { frac {1} {r ^ {5}}} { гидроразрыв {1} {2}} (3z ^ {2} -r ^ {2})}$

Относительная система координат

${ displaystyle { begin {align} & { hat { varphi}} = - sin varphi { hat {x}} + cos varphi { hat {y}} & { hat { theta}} = - sin theta ( cos varphi { hat {x}} + sin varphi { hat {y}}) + cos theta { hat {z}} & { hat {r}} = cos theta ( cos varphi { hat {x}} + sin varphi { hat {y}}) + sin theta { hat {z}} end {align}}}$

(11)

Рисунок 1: Единичные векторы. Это не правильно. Должна быть тета, а не лямбда ${ displaystyle { hat { varphi}} , { hat { theta}} , { hat {r}}}$

проиллюстрированные на рисунке 1 компоненты силы, вызванные "J₂ термин "являются

${ displaystyle { begin {align} & F _ { theta} = - { frac {1} {r}} { frac { partial u} { partial theta}} = - J_ {2} { frac {1} {r ^ {4}}} 3 cos theta sin theta & F_ {r} = - { frac { partial u} { partial r}} = J_ {2 } { frac {1} {r ^ {4}}} { frac {3} {2}} left (3 sin ^ {2} theta - 1 right) end {выровнено }}}$

(12)

В прямоугольной системе координат (х, у, г) с единичными векторами (x̂ ŷ ẑ) составляющими силы являются:

${ displaystyle { begin {align} & F_ {x} = - { frac { partial u} { partial x}} = J_ {2} { frac {x} {r ^ {7}}} left (6z ^ {2} - { frac {3} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) right) & F_ {y} = - { frac { partial u} { partial y}} = J_ {2} { frac {y} {r ^ {7}}} left (6z ^ {2} - { frac {3} {2}} (x ^ {2 } + y ^ {2}) right) & F_ {z} = - { frac { partial u} { partial z}} = J_ {2} { frac {z} {r ^ {7 }}} left (3z ^ {2} - { frac {9} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) right) end {align}}}$

(13)

Составляющие силы, соответствующие "J₃ срок"

${ displaystyle u = { frac {J_ {3} P_ {3} ^ {0} ( sin theta)} {r ^ {4}}} = J_ {3} { frac {1} {r ^ {4}}} { frac {1} {2}} sin theta (5 sin ^ {2} theta -3) = J_ {3} { frac {1} {r ^ {7}} } { frac {1} {2}} z (5z ^ {2} -3r ^ {2})}$

находятся

${ displaystyle { begin {align} & F _ { theta} = - { frac {1} {r}} { frac { partial u} { partial theta}} = - J_ {3} { frac {1} {r ^ {5}}} { frac {3} {2}} cos theta left (5 sin ^ {2} theta -1 right) & F_ {r} = - { frac { partial u} { partial r}} = J_ {3} { frac {1} {r ^ {5}}} 2 sin theta left (5 sin ^ {2} theta -3 right) end {выровнено}}}$

(14)

и

${ displaystyle { begin {align} & F_ {x} = - { frac { partial u} { partial x}} = J_ {3} { frac {xz} {r ^ {9}}} left (10z ^ {2} - { frac {15} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) right) & F_ {y} = - { frac { partial u} { partial y}} = J_ {3} { frac {yz} {r ^ {9}}} left (10z ^ {2} - { frac {15} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) right) & F_ {z} = - { frac { partial u} { partial z}} = J_ {3} { frac {1} {r ^ {9}}} left (4z ^ {2} left (z ^ {2} -3 (x ^ {2} + y ^ {2}) right) + { frac {3} {2}} (x ^ { 2} + y ^ {2}) ^ {2} right) end {align}}}$

(15)

Точные численные значения коэффициентов различаются (несколько) между разными моделями Земли, но для самых низких коэффициентов все они почти точно совпадают.

Для JGM-3 значения следующие:

μ = 398600,440 км³⋅s⁻²

J₂ = 1.75553 × 10¹⁰ км⁵⋅s⁻²

J₃ = −2.61913 × 10¹¹ км⁶⋅s⁻²

Например, в радиусе 6600 км (около 200 км над поверхностью Земли) J₃/(J₂р) составляет около 0,002, т.е. поправка на "J₂ сила "от"J₃ термин "имеет порядок 2 промилле. Отрицательное значение J₃ подразумевает, что для точечной массы в экваториальной плоскости Земли гравитационная сила слегка наклонена к югу из-за отсутствия симметрии для распределения массы Земли «север-юг».

Рекурсивные алгоритмы, используемые для численного распространения орбит космических аппаратов

Орбиты космических аппаратов рассчитываются численное интегрирование из уравнение движения. Для этого действует гравитационная сила, т.е. градиент потенциала, должны быть вычислены. Эффективный рекурсивные алгоритмы были разработаны для вычисления силы тяжести для любых ${ displaystyle N_ {z}}$ и ${ displaystyle N_ {t}}$ (максимальная степень зональных и тессеральных условий) и такие алгоритмы используются в стандартном программном обеспечении распространения орбиты.

Доступные модели

Самые ранние модели Земли, которые широко используются НАСА и ESRO /ЕКА были "Модели Земли Годдарда", разработанные Центр космических полетов Годдарда обозначается «ГЭМ-1», «ГЭМ-2», «ГЭМ-3» и так далее. Позже "Совместные модели земной гравитации" обозначали "JGM-1", "JGM-2", "JGM-3", разработанные Центр космических полетов Годдарда в сотрудничестве с университетами и частными компаниями стали доступны. Новые модели обычно предоставляли термины более высокого порядка, чем их предшественники. В EGM96 использует N_z = N_т = 360, что дает 130317 коэффициентов. Также доступна модель EGM2008.

Для обычного спутника Земли, требующего точности определения / предсказания орбиты в несколько метров, "JGM-3" усечено до N_z = N_т = 36 (1365 коэффициентов) обычно достаточно. Неточности моделирования сопротивления воздуха и, в меньшей степени, давления солнечной радиации будут превышать неточности, вызванные ошибками моделирования гравитации.

Безразмерные коэффициенты ${ displaystyle { tilde {J_ {n}}} = - { frac {J_ {n}} { mu R ^ {n}}}}$, ${ displaystyle { tilde {C_ {n} ^ {m}}} = - { frac {C_ {n} ^ {m}} { mu R ^ {n}}}}$,${ displaystyle { tilde {S_ {n} ^ {m}}} = - { frac {S_ {n} ^ {m}} { mu R ^ {n}}}}$ для первых зональных и тессеральных терминов (используя ${ displaystyle R}$ = 6378,1363 км и ${ displaystyle mu}$ = 398600,4415 км³/ с²) модели JGM-3 являются

Следовательно, согласно JGM-3 ${ Displaystyle J_ {2} = 0.1082635854 cdot 10 ^ {- 02} cdot 6378.1363 ^ {2} cdot 398600.4415}$ км⁵/ с² = ${ displaystyle 1.75553 cdot 10 ^ {10}}$ км⁵/ с² и${ Displaystyle J_ {3} = -0.2532435346 cdot 10 ^ {- 05} cdot 6378.1363 ^ {3} cdot 398600.4415}$ км⁶/ с² = ${ displaystyle -2.61913 cdot 10 ^ {11}}$ км⁶/ с²

Сферические гармоники

Ниже приводится краткое описание сферических гармоник, используемых для моделирования гравитационного поля Земли. Сферические гармоники получены из подхода к поиску гармонических функций формы

${ Displaystyle фи = р (г) тета ( тета) фи ( varphi)}$

(16)

где (р, θ, φ) - сферические координаты определяемые уравнениями (8). Прямыми вычислениями получаем, что для любой функции ж

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f} { partial z ^ {2}}} = {1 over r ^ {2}} { partial over partial r} left ( r ^ {2} { partial f over partial r} right) + {1 over r ^ {2} cos theta} { partial over partial theta} left ( cos theta { partial f over partial theta} right) + {1 over r ^ {2} cos ^ {2} theta} { partial ^ {2} f over partial varphi ^ {2 }}}$

(17)

Вводя выражение (16) в (17) получается, что

${ displaystyle { frac {r ^ {2}} { phi}} left ({ frac { partial ^ {2} phi} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} phi} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} phi} { partial z ^ {2}}} right) = { frac {1} {R}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right) + { frac {1} { Theta cos theta}} { frac {d} {d theta}} left ( cos theta { frac {d Theta} {d theta}} right) + { frac {1} { Phi cos ^ {2} theta}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}}}$

(18)

Как термин

${ displaystyle { frac {1} {R}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right)}$

зависит только от переменной ${ displaystyle r}$ и сумма

${ displaystyle { frac {1} { Theta cos theta}} { frac {d} {d theta}} left ( cos theta { frac {d Theta} {d theta}) } right) + { frac {1} { Phi cos ^ {2} theta}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}}}$

зависит только от переменных θ и φ. Получается, что φ гармонична тогда и только тогда, когда

${ displaystyle { frac {1} {R}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right) = lambda}$

(19)

и

${ displaystyle { frac {1} { Theta cos theta}} { frac {d} {d theta}} left ( cos theta { frac {d Theta} {d theta}) } right) + { frac {1} { Phi cos ^ {2} theta}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}} = - lambda}$

(20)

для некоторой постоянной ${ displaystyle lambda}$

От (20) то следует, что

${ displaystyle { frac {1} { Theta}} cos theta { frac {d} {d theta}} left ( cos theta { frac {d Theta} {d theta}} right) + lambda cos ^ {2} theta + { frac {1} { Phi}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}} = 0}$

Первые два члена зависят только от переменной ${ displaystyle theta}$ а третий только по переменной ${ displaystyle varphi}$.

Из определения φ как сферической координаты ясно, что Φ (φ) должна быть периодической с периодом 2π, и поэтому должно быть, что

${ displaystyle { frac {1} { Phi}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}} = -m ^ {2}}$

(21)

и

${ displaystyle { frac {1} { Theta}} cos theta { frac {d} {d theta}} left ( cos theta { frac {d Theta} {d theta}} right) + lambda cos ^ {2} theta = m ^ {2}}$

(22)

для некоторого целого числа м как семейство решений (21) тогда

${ Displaystyle Phi ( varphi) = а соз м varphi + b sin m varphi}$

(23)

С подстановкой переменных

${ Displaystyle х = грех тета}$

уравнение (22) принимает вид

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ((1-x ^ {2}) { frac {d Theta} {dx}} right) + left ( lambda - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} right) Theta = 0}$

(24)

От (19) следует, что для решения ${ displaystyle phi}$ с участием

${ displaystyle R (r) = { frac {1} {r ^ {n + 1}}}}$

нужно иметь это

${ Displaystyle лямбда = п (п + 1)}$

Если п_п(Икс) является решением дифференциального уравнения

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ((1-x ^ {2}) { frac {dP_ {n}} {dx}} right) + n (n + 1 ) P_ {n} = 0}$

(25)

следовательно, потенциал, соответствующий м = 0

${ displaystyle phi = { frac {1} {r ^ {n + 1}}} P_ {n} ( sin theta)}$

который вращательно-симметричен относительно оси z является гармонической функцией

Если ${ displaystyle P_ {n} ^ {m} (x)}$ является решением дифференциального уравнения

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ((1-x ^ {2}) { frac {dP_ {n} ^ {m}} {dx}} right) + слева (n (n + 1) - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} right) P_ {n} ^ {m} = 0}$

(26)

с участием м ≥ 1 имеет потенциал

${ displaystyle phi = { frac {1} {r ^ {n + 1}}} P_ {n} ^ {m} ( sin theta) (a cos m varphi + b sin m varphi)}$

(27)

где а и б - произвольные постоянные, является гармонической функцией, которая зависит от φ и, следовательно, является не вращательно-симметричный относительно оси z

Дифференциальное уравнение (25) - дифференциальное уравнение Лежандра, для которого Полиномы Лежандра определены

${ displaystyle { begin {align} & P_ {0} (x) = 1 & P_ {n} (x) = { frac {1} {2 ^ {n} n!}} { frac {d ^ {n} (x ^ {2} -1) ^ {n}} {dx ^ {n}}} quad n geq 1 конец {выровнено}}}$

(28)

являются решениями.

Произвольный множитель 1 / (2^пп!) выбрано, чтобы сделать п_п(−1) = - 1 и п_п(1) = 1 для нечетных п и п_п(−1) = п_п(1) = 1 для четных п.

Первые шесть полиномов Лежандра:

${ Displaystyle { begin {align} & P_ {0} (x) = 1 & P_ {1} (x) = x & P_ {2} (x) = { frac {1} {2}} left (3x ^ {2} -1 right) & P_ {3} (x) = { frac {1} {2}} left (5x ^ {3} -3x right) & P_ {4 } (x) = { frac {1} {8}} left (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3 right) & P_ {5} (x) = { frac {1} {8}} left (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x right) конец {выровнено}}}$

(29)

Решения дифференциального уравнения (26) являются ассоциированными Функции Лежандра

${ Displaystyle P_ {n} ^ {m} (x) = (1-x ^ {2}) ^ { frac {m} {2}} { frac {d ^ {m} P_ {n} } {dx ^ {m}}} quad 1 leq m leq n}$

(30)

Следовательно, есть

${ Displaystyle P_ {n} ^ {m} ( sin theta) = cos ^ {m} theta { frac {d ^ {n} P_ {n}} {dx ^ {n}}} ( sin theta)}$

использованная литература

• Эль-Ясберг Теория полета искусственных спутников Земли, Израильская программа научных переводов (1967)
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Смит, Д.Э., Сэндсон, М.Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., "Модели гравитационного поля для Земли (GEM1 и 2)", Отчет X55372146, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Патни, М.Л., Сандсон, М.Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., Тейлор, У. А., "Модели гравитационного поля GEM3 и 4", Отчет X59272476, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Ричардсон, Дж. А., Браунд, Дж. Э., "Годдардские модели Земли (5 и 6)", отчет X92174145, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1974
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Клоско, С.М., Белотт, Р.П., Лаубшер, Р.Э., Рэйлор, Вашингтон, "Улучшение гравитационной модели с помощью альтиметрии Geos3 (GEM10A и 10B)", Весеннее ежегодное собрание Американского геофизического союза 1978 г., Майами, 1978 г.
• Лерх Ф.Дж., Клоско С.М., Лаубшер Р.Э., Вагнер К.А., "Улучшение гравитационной модели с помощью Geos3 (GEM9 и 10)", Журнал геофизических исследований, том. 84, В8, с. 3897-3916, 1979 г.
• Лерх Ф.Дж., Путни Б.Х., Вагнер К.А., Клоско С.М. , "Модели Земли Годдарда для океанографических приложений (GEM 10B и 10C)", Морская геодезия, 5 (2), с. 145-187, 1981
• Лерх, Ф.Дж., Клоско, С.М., Патель, Г.Б., "Уточненная модель гравитации из Лагеоса (GEML2)", 'Технический меморандум НАСА 84986, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1983
• Лерх, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Патни, Б.Х., Фелсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Клоско, С.М., Патель, Великобритания, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Дж.К., Рахлин, К.Э., Чендлер, Н.Л., Маккарти, Дж. Дж., Маршалл, Дж. А., Латке, С. Б., Павлис, Д. У., Роббинс, Дж. У., Капур, С., Павлис, Е. К., «Геопотенциальные модели Земли по данным спутникового слежения, высотомера и наблюдений за приземной гравитацией: GEMT3 и GEMT3S», NASA Technical Меморандум 104555, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1992 г.
• Лерх, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Патни, Б.Х., Фелсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Маршал, Дж. А., Клоско, С.М., Патель, Великобритания, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Дж.К., Рахлин, К.Э., Чендлер, Н.Л., Маккарти, Дж. Дж., Латке, С.Б., Павлис, Н.К., Павлис, Д.Э., Роббинс, Дж. У., Капур, С., Павлис, Е.К., "Геопотенциальная модель на основе данных спутникового слежения, высотомера и данных поверхностной гравитации: GEMT3", Журнал Геофизические исследования, Vol. 99, № B2, стр. 2815-2839, 1994
• Нерем, Р.С., Лерх, Ф.Дж., Маршалл, Дж. А., Павлис, Э. К., Патни, Б. Х., Тэпли, Б. Д., Эанс, Р. Дж., Райс, Дж. К., Шутц, Б. Э., Шум, К. К., Уоткинс, М. М., Клоско, С. М., Чан, JC, Luthcke, SB, Patel, GB, Pavlis, NK, Williamson, RG, Rapp, RH, Biancale, R., Nouel, F., "Разработки гравитационных моделей для Topex / Poseidon: совместные гравитационные модели 1 и 2", Journal геофизических исследований, Vol. 99, № C12, стр. 24421-24447, 1994а

внешние ссылки

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf