Золотой ромб - Golden rhombus

Золотой ромб.

В геометрия, а золотой ромб это ромб чьи диагонали находятся в Золотое сечение:^[1]

${ displaystyle {D over d} = varphi = {{1 + { sqrt {5}}} over 2} приблизительно 1,618 ~ 034}$

Эквивалентно, это Вариньонный параллелограмм образованный из середин краев золотой прямоугольник.^[1]Ромбы такой формы образуют грани нескольких примечательных многогранников, причем золотой ромб следует отличать от двух ромбов на изображении. Плитка Пенроуза, которые имеют другое отношение к золотому сечению, но имеют другую форму, чем золотой ромб.^[2]

Углы

(См. характеристики и основные свойства генерального ромб для угловых свойств.)

Внутренние дополнительные углы золотого ромба:^[3]

• Острый угол: ${ displaystyle alpha = 2 arctan {1 over varphi}}$ ;

используя формула сложения арктангенса (видеть обратные тригонометрические функции ):

${ displaystyle alpha = arctan {{2 over varphi} over {1 - ({1 over varphi}) ^ {2}}} = arctan {{2 over varphi} over { 1 over varphi}} = arctan 2 приблизительно 63.43495 ^ { circ}.}$

• Тупой угол: ${ displaystyle beta = 2 arctan varphi = pi - arctan 2 приблизительно 116.56505 ^ { circ},}$

который также является двугранный угол из додекаэдр.^[4]

Примечание: «анекдотическое» равенство: ${ displaystyle pi - arctan 2 = arctan 1+ arctan 3 ~.}$

Край и диагонали

Используя закон параллелограмма (см. основные свойства генерального ромб ):^[5]

Длина края золотого ромба по диагонали ${ displaystyle d}$ является:

• ${ displaystyle a = {1 over 2} { sqrt {d ^ {2} + ( varphi d) ^ {2}}} = {1 over 2} { sqrt {1+ varphi ^ {2 }}} ~ d = {{ sqrt {2+ varphi}} over 2} ~ d = {1 over 4} { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} ~ d приблизительно 0,95106 ~ d ~. ~}$ Следовательно:

Длина диагонали золотого ромба по длине ребра ${ displaystyle a}$ находятся:^[3]

• ${ displaystyle d = {2a over { sqrt {2+ varphi}}} = 2 { sqrt {{3- varphi} over 5}} ~ a = { sqrt {2- {2 over { sqrt {5}}}}} ~ а приблизительно 1.05146 ~ а ~.}$

• ${ displaystyle D = {2 varphi a over { sqrt {2+ varphi}}} = 2 { sqrt {{2+ varphi} over 5}} ~ a = { sqrt {2+ { 2 over { sqrt {5}}}}} ~ a приблизительно 1.70130 ~ a ~.}$

Площадь

• Используя площадь формула общего ромб по диагонали ${ displaystyle D}$ и ${ displaystyle d}$ :

Площадь золотого ромба по диагонали ${ displaystyle d}$ является:^[6]

${ displaystyle A = {{( varphi d) cdot d} over 2} = {{ varphi} over 2} ~ d ^ {2} = {{1 + { sqrt {5}}} более 4} ~ d ^ {2} приблизительно 0.80902 ~ d ^ {2} ~.}$

• Используя площадь формула общего ромб по длине кромки ${ displaystyle a}$ :

Площадь золотого ромба по длине его ребра ${ displaystyle a}$ является:^[3][6]

${ displaystyle A = ( sin ( arctan 2)) ~ a ^ {2} = {2 over { sqrt {5}}} ~ a ^ {2} приблизительно 0,89443 ~ a ^ {2} ~. }$

Примечание: ${ Displaystyle альфа + бета = пи}$ , следовательно: ${ Displaystyle грех альфа = грех бета ~.}$

Как грани многогранников

Некоторые известные многогранники имеют золотые ромбы на гранях. золотые ромбоэдры (с шестью гранями в каждом) Додекаэдр Билинского (с 12 гранями), ромбический икосаэдр (с 20 гранями), ромбический триаконтаэдр (с 30 гранями) и невыпуклый ромбический гексеконтаэдр (с 60 гранями). Первые пять из них - единственные выпуклые многогранники с золотыми гранями ромбов, но существует бесконечно много невыпуклых многогранников, имеющих такую ​​форму для всех граней.^[7]

• 

  Острый золотой ромбоэдр

• 

  Тупой золотой ромбоэдр

• 

  Додекаэдр Билинского

• 

  ромбический икосаэдр

• 

  ромбический триаконтаэдр

• 

  ромбический гексеконтаэдр

Смотрите также

• Золотой треугольник

Рекомендации