Золотой треугольник (математика) - Golden triangle (mathematics)

Золотой треугольник. Отношение a / b - это золотое сечение φ. Угол при вершине равен ${displaystyle heta = 36 ^ {circ}}$. Углы основания 72 ° каждый.

Золотой гномон.

А золотой треугольник, также называемый величественный треугольник,^[1] является равнобедренный треугольник в котором дублированная сторона находится в Золотое сечение ${displaystyle varphi}$ в сторону основания:

${displaystyle {a over b} = varphi = {1+ {sqrt {5}} over 2} примерно 1,618 ~ 034 ~.}$

Углы

• Угол при вершине:^[2]

${displaystyle heta = 2arcsin {b over 2a} = 2arcsin {1 over 2varphi} = 2arcsin {{{sqrt {5}} - 1} over 4} = {pi over 5} ~ {ext {rad}} = 36 ^ { circ}.}$

Следовательно, золотой треугольник является острым (равнобедренным) треугольником.

• Поскольку сумма углов треугольника равна ${displaystyle pi ~ {ext {rad}}}$, каждый из базовых углов (CBX и CXB) равен:

${displaystyle eta = {{pi - {pi больше 5}} больше 2} = {2pi больше 5} ~ {ext {rad}} = 72 ^ {circ}.}$^[1]

Заметка:

${displaystyle eta = arccos {{{sqrt {5}} - 1} over 4} = {2pi over 5} ~ {ext {rad}} = 72 ^ {circ}.}$

• Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник, у которого три угла в пропорции 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °).^[3]

В других геометрических фигурах

• Золотые треугольники можно найти в шипах обычных пентаграммы.
• Золотые треугольники также можно найти в обычном десятиугольник, равносторонний и равносторонний десятисторонний многоугольник, соединив любые две соседние вершины с центром. Это потому, что: 180 (10-2) / 10 = 144 ° - это внутренний угол, а деление его пополам через вершину к центру: 144/2 = 72 °.^[1]
• Также золотые треугольники встречаются в сети нескольких звёздчатых додекаэдры и икосаэдры.

Логарифмическая спираль

Золотые треугольники вписаны в логарифмическая спираль

Золотой треугольник используется для образования некоторых точек логарифмическая спираль. Разделив пополам один из основных углов, создается новая точка, которая, в свою очередь, образует еще один золотой треугольник.^[4] Процесс деления пополам можно продолжать бесконечно, создавая бесконечное количество золотых треугольников. Через вершины можно провести логарифмическую спираль. Эта спираль также известна как равноугольная спираль, термин, придуманный Рене Декарт. «Если провести прямую линию от полюса к любой точке кривой, она срежет кривую точно под таким же углом», следовательно равносторонний.^[5]

Золотой гномон

Золотой треугольник разделен пополам в треугольниках Робинсона: золотой треугольник и золотой гномон.

Обычный пентаграмма. Каждый угол представляет собой золотой треугольник. На рисунке также изображены пять «больших» золотых гномонов, образованных соединением к «маленькому» центральному пятиугольнику двух углов, не прилегающих друг к другу. Если провести пять сторон «большого» пятиугольника вокруг пентаграммы, получится пять «маленьких» золотых гномонов.

С золотым треугольником тесно связан золотой гномон, который представляет собой равнобедренный треугольник, в котором отношение равных длин сторон к длине основания является обратной величиной ${displaystyle {1 over varphi}}$ из Золотое сечение ${displaystyle varphi}$.

«Золотой треугольник имеет отношение длины основания к длине стороны, равное золотому сечению φ, тогда как золотой гномон имеет отношение длины стороны к длине основания, равное золотому сечению φ».^[6]

${displaystyle {a 'over b'} = {1 over varphi} = {{{sqrt {5}} - 1} over 2} приблизительно 0,618034.}$

Углы

(Расстояния AX и CX равны a '= a = φ, а расстояние AC равно b' = φ², как показано на рисунке.)

• Угол при вершине AXC составляет:

${displaystyle heta '= 2arcsin {b' over {2a '}} = {iggl (} 2arcsin {{varphi ^ {2}} over {2varphi}} {iggr)} = 2arcsin {varphi over 2} = 2arcsin {{1 + {sqrt {5}}} over 4} = {3pi over 5} ~ rad = 108 ^ {circ}.}$

Следовательно, золотой гномон представляет собой тупой (равнобедренный) треугольник.

${displaystyle (})$Заметка: ${displaystyle heta '= arccos {{1- {sqrt {5}}} более 4} = {3pi более 5} ~ rad = 108 ^ {circ}.)}$

• Поскольку сумма углов треугольника AXC равна ${displaystyle pi ~ rad}$, каждый из базовых углов CAX и ACX равен:

${displaystyle eta '= heta = {pi - {3pi over 5} over 2} = {pi over 5} ~ rad = 36 ^ {circ}.}$

Заметка:

${displaystyle eta '= heta = arccos {{1+ {sqrt {5}}} over 4} = {pi over 5} ~ rad = 36 ^ {circ}.}$

• Золотой гномон уникально идентифицируется как треугольник, имеющий три угла в пропорции 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Его базовые углы составляют 36 ° каждый, что совпадает с вершиной золотого треугольника.

Пополам

• Разделив один из основных углов на 2 равных угла, золотой треугольник можно разделить пополам на золотой треугольник и золотой гномон.
• Разрезав угол при вершине на 2 угла, один из которых является двойным, золотой гномон можно разделить пополам на золотой треугольник и золотой гномон.
• Золотой гномон и золотой треугольник, равные стороны которых совпадают по длине, также называются тупым и острым треугольниками Робинсона. ^[3]

Плитки

• Золотой треугольник и два золотых гномона образуют правильный пятиугольник.^[7]
• Эти равнобедренные треугольники можно использовать для получения Мозаики Пенроуза. Плитки Пенроуза делают из воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей сделан из двух золотых треугольников, а дротик - из двух гномонов.

Смотрите также

• Золотой прямоугольник
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Золотой треугольник Кимберлинга
• Лютня Пифагора
• Пентаграмма

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой треугольник». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Золотой гномон". MathWorld.
• Треугольники Робинсона в энциклопедии Tilings
• Золотой треугольник по Евклиду
• Необычайная взаимность золотых треугольников в Тартапелаге Джорджо Пьетрокола