Металлическое среднее - Википедия - Metallic mean

Золотое сечение в пентаграмме и серебряное сечение в восьмиугольнике.

В металлические средства (также соотношения или же константы) последовательных натуральные числа являются непрерывные дроби:

${ displaystyle n + { cfrac {1} {n + { cfrac {1} {n + { cfrac {1} {n + { cfrac {1} {n + ddots ,}}}}}}}} = [ n; n, n, n, n, dots] = { frac {n + { sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}}.}$

В Золотое сечение (1,618 ...) - это среднее значение металла между 1 и 2, в то время как соотношение серебра (2,414 ...) - среднее значение металла между 2 и 3. Термин «коэффициент бронзы» (3,303 ...) или термины, использующие другие названия металлов (например, медь или никель), иногда используются для обозначения последующих металлических средства.^[1][2] Значения первых десяти металлических средних показаны справа.^[3][4] Обратите внимание, что каждое среднее металлическое является корнем простого квадратного уравнения:${ displaystyle x ^ {2} -nx = 1}$, куда ${ displaystyle n}$ - любое натуральное положительное число.

Поскольку золотое сечение связано с пятиугольник (первая диагональ / сторона), соотношение серебра связано с восьмиугольник (вторая диагональ / сторона). Поскольку золотое сечение связано с Числа Фибоначчи, соотношение серебра связано с Числа Пелла, а коэффициент бронзы связан с OEIS: A006190. Каждое число Фибоначчи представляет собой сумму предыдущего числа, умноженного на единицу, плюс число перед этим, каждое число Пелла - это сумма предыдущего числа, умноженного на два, и одного перед этим, а каждое «бронзовое число Фибоначчи» - это сумма предыдущего числа. умножить на три плюс число перед этим. Принимая последовательные числа Фибоначчи как отношения, эти отношения приближаются к золотой середине, отношения чисел Пелла приближаются к серебряному среднему, а отношения «бронзовых чисел Фибоначчи» приближаются к бронзовому среднему.

Характеристики

Эта секция не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить этот раздел к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Металлическое средство»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Если удалить самый большой из возможных квадратов с конца золотого прямоугольника, останется золотой прямоугольник. Если удалить два из серебра, у одного останется серебро. Если убрать три из бронзы, у одного останется бронза.

Соотношение золота, серебра и бронзы в соответствующих прямоугольниках.

Эти свойства действительны только для целые числа м, для нецелых чисел свойства аналогичны, но немного отличаются.

Вышеупомянутое свойство степеней серебряного отношения является следствием свойства степеней серебряных средств. Для серебряной середины S из м, свойство можно обобщить как

${ Displaystyle S_ {m} ^ {n} = K_ {n} S_ {m} + K _ {(n-1)}}$

куда

${ Displaystyle K_ {n} = mK _ {(n-1)} + K _ {(n-2)}.}$

Используя начальные условия K₀ = 1 и K₁ = м, это рекуррентное соотношение принимает вид

${ displaystyle K_ {n} = { frac {S_ {m} ^ {n + 1} - { left (m-S_ {m} right)} ^ {n + 1}} { sqrt {m ^ {2} +4}}}.}$

Силы серебряных средств обладают и другими интересными свойствами:

Если п является положительным четным целым числом:

${ displaystyle {S_ {m} ^ {n} - left lfloor S_ {m} ^ {n} right rfloor} = 1-S_ {m} ^ {- n}.}$

Кроме того,

${ displaystyle {1 over {S_ {m} ^ {4} - left lfloor S_ {m} ^ {4} right rfloor}} + left lfloor S_ {m} ^ {4} -1 right rfloor = S _ { left (m ^ {4} + 4m ^ {2} +1 right)}}$

${ displaystyle {1 over {S_ {m} ^ {6} - left lfloor S_ {m} ^ {6} right rfloor}} + left lfloor S_ {m} ^ {6} -1 right rfloor = S _ { left (m ^ {6} + 6m ^ {4} + 9m ^ {2} +1 right)}.}$

Золотой треугольник. Отношение a: b эквивалентно золотому сечению φ. В серебряном треугольнике это было бы эквивалентно δ_S.

Также,

${ Displaystyle S_ {m} ^ {3} = S _ { left (m ^ {3} + 3m right)}}$

${ Displaystyle S_ {m} ^ {5} = S _ { left (m ^ {5} + 5m ^ {3} + 5m right)}}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {7} = S _ { left (m ^ {7} + 7m ^ {5} + 14m ^ {3} + 7m right)}}$

${ Displaystyle S_ {m} ^ {9} = S _ { left (m ^ {9} + 9m ^ {7} + 27m ^ {5} + 30m ^ {3} + 9m right)}}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {11} = S _ { left (m ^ {11} + 11m ^ {9} + 44m ^ {7} + 77m ^ {5} + 55m ^ {3} + 11m right )}.}$

В целом:

${ Displaystyle S_ {m} ^ {2n + 1} = S _ { sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} over {2k + 1}} {{n + k} выбрать {2k}} m ^ {2k + 1}}.}$

Серебряная середина S из м также имеет свойство, что

${ displaystyle { frac {1} {S_ {m}}} = S_ {m} -m}$

Это означает, что инверсия серебряного среднего имеет ту же десятичную часть, что и соответствующее серебряное среднее.

${ displaystyle S_ {m} = a + b}$

куда а это целая часть S и б это десятичная часть S, то верно следующее свойство:

${ displaystyle S_ {m} ^ {2} = a ^ {2} + mb + 1.}$

Потому что (для всех м больше 0), целая часть S_м = м, а = м. За м> 1, тогда мы имеем

${ Displaystyle S_ {m} ^ {2} = ma + mb + 1}$

${ Displaystyle S_ {м} ^ {2} = м (а + б) +1}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {2} = m left (S_ {m} right) +1.}$

Следовательно, серебряное среднее m является решением уравнения

${ displaystyle x ^ {2} -mx-1 = 0.}$

Также может быть полезно отметить, что серебряное среднее S из -м является обратным серебряному среднему S из м

${ displaystyle { frac {1} {S_ {m}}} = S _ {(- m)} = S_ {m} -m.}$

Еще один интересный результат можно получить, немного изменив формулу среднего серебряного. Если мы рассмотрим число

${ displaystyle { frac {n + { sqrt {n ^ {2} + 4c}}} {2}} = R}$

тогда верны следующие свойства:

${ Displaystyle R- lfloor R rfloor = { frac {c} {R}}}$ если c реально,

${ Displaystyle влево ({1 над R} вправо) с = R- lfloor OperatorName {Re} (R) rfloor}$ если c кратно я.

Серебряное средство м также дается интегралом

${ displaystyle S_ {m} = int _ {0} ^ {m} { left ({x over {2 { sqrt {x ^ {2} +4}}}} + {{m + 2}) over {2m}} right)} , dx.}$

Еще одна интересная форма металлического среднего - это

${ displaystyle { frac {n + { sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}} = e ^ { operatorname {arsinh (n / 2)}}}$

Тригонометрические выражения

N	Тригонометрическое выражение	Связанный правильный многоугольник
1	${ displaystyle 2 cos { frac { pi} {5}}}$	Пентагон
2	${ displaystyle tan { frac {3 pi} {8}}}$	Восьмиугольник
3	${ displaystyle 2 cos { frac { pi} {13}} left ( sin { frac {2 pi} {13}} csc { frac {3 pi} {13}} + 1 верно)}$	Трехугольник
4	${ displaystyle 8 cos ^ {3} { frac { pi} {5}}}$	Пентагон
5	${ displaystyle { frac { sin { frac {19 pi} {29}} - { frac {1} {2}} csc { frac {19 pi} {29}} ( cos { frac {25 pi} {29}} + 1) - sin { frac {25 pi} {29}} sin { frac {3 pi} {29}} csc { frac {20 pi} {29}}} { sin { frac {25 pi} {29}} sin { frac {5 pi} {29}} csc { frac {21 pi} {29} } - sin { frac {16 pi} {29}} sin { frac { pi} {29}} csc { frac {7 pi} {29}}}}}$	29-угольник
6	${ displaystyle { frac { sin { frac {21 pi} {40}}} { sin { frac {7 pi} {8}} - sin { frac {5 pi} {8 }} sin { frac { pi} {40}} csc { frac {11 pi} {40}} - sin { frac {19 pi} {20}} sin { frac { 9 pi} {40}} csc { frac {7 pi} {10}}}}}$	40-угольник
7
8	${ displaystyle { frac { sin { frac {6 pi} {17}} sin { frac {7 pi} {17}} sin { frac {3 pi} {17}} sin { frac {12 pi} {17}}} { sin { frac { pi} {17}} sin { frac {9 pi} {17}} sin { frac {4 пи} {17}} sin { frac {2 pi} {17}}}}}$	Гептадекагон
9

^[5]

Смотрите также

• Постоянный
• Иметь в виду
• Соотношение
• Пластиковый номер

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Стахов, Алексей Петрович (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики, п. 228, 231. World Scientific. ISBN  9789812775832.

внешняя ссылка

• Стахов Алексей. "Математика гармонии: прояснение происхождения и развития математики ", PeaceFromHarmony.org.
• Кристина-Елена Хрешкану и Мирча Красмаряну (2013). "Металлические структуры на римановых многообразиях. ", Revista de la Unión Matemática Argentina.
• Ракочевич, Милое М. "Дальнейшее обобщение золотой середины применительно к «божественному» уравнению Эйлера ", Arxiv.org.