Гираторно-конденсаторная модель - Gyrator–capacitor model

Простой трансформатор и его гираторно-конденсаторная модель. R - сопротивление физической магнитной цепи.

В гираторно-конденсаторная модель^[1] - иногда также модель проницаемости конденсатора^[2] - это модель с сосредоточенными элементами за магнитные цепи, который можно использовать вместо более распространенного модель сопротивления-сопротивления. Модель делает проницаемость элементы, аналогичные электрическим емкость (видеть магнитная емкость раздел) скорее, чем электрическое сопротивление (видеть магнитное сопротивление ). Обмотки представлены как гираторы, сопряжение между электрической цепью и магнитной моделью.

Основное преимущество модели гиратор-конденсатор по сравнению с моделью магнитного сопротивления состоит в том, что модель сохраняет правильные значения потока, накопления и рассеивания энергии.^[3]^[4] Модель гиратор – конденсатор является примером группа аналогий которые сохраняют поток энергии через области энергии, делая аналогичные пары переменных, сопряженных по мощности, в различных областях. Он выполняет ту же роль, что и аналогия импеданса для механической области.

Номенклатура

Магнитная цепь может относиться либо к физической магнитной цепи, либо к модели магнитной цепи. Элементы и динамические переменные которые являются частью магнитной цепи модели, имеют названия, начинающиеся с прилагательного магнитный, хотя это соглашение не соблюдается строго. Модельные элементы в магнитной цепи, которые представляют электрические элементы, обычно являются электрический двойной электрических элементов. Это связано с тем, что преобразователи между электрическим и магнитным доменами в этой модели обычно представлены гираторами. Гиратор преобразует элемент в свой дуальный. Например, магнитная индуктивность может представлять электрическую емкость. Элементы в модельной магнитной цепи могут не иметь взаимно однозначного соответствия с компонентами в физической магнитной цепи. Динамические переменные в модельной магнитной цепи не могут быть двойственными переменным в физической цепи. Символы элементов и переменных, которые являются частью магнитной цепи модели, могут быть записаны с нижним индексом M. Например, ${displaystyle C_ {M}}$ будет конденсатором в схеме модели.

Резюме аналогии между магнитными цепями и электрическими цепями

В следующей таблице приведены математические аналогии между теорией электрических цепей и теорией магнитных цепей.

Аналогия между магнитными цепями и электрическими цепями, используемыми в гираторно-конденсаторном подходе
Магнитный			Электрический
Имя	Символ	Единицы	Имя	Символ	Единицы
Магнитодвижущая сила (MMF)	${displaystyle {mathcal {F}} = int mathbf {H} имя оператора cdot {d} mathbf {l}}$	ампер-виток	Электродвижущая сила (ЭДС)	${displaystyle {mathcal {E}} = int mathbf {E} cdot operatorname {d} mathbf {l}}$	вольт
Магнитное поле	ЧАС	ампер /метр = ньютон /Вебер	Электрическое поле	E	вольт /метр = ньютон /кулон
Магнитный поток	${displaystyle Phi}$	Вебер^[а]	Электрический заряд	Q	Кулон
Скорость изменения потока	${displaystyle {точка {Phi}}}$	Вебер / секунда = вольт	Электрический ток	${displaystyle {mathcal {}} I}$	кулон в секунду = ампер
Магнитный допуск	${displaystyle {mathcal {}} Y_ {M} (omega) = {frac {{dot {Phi}} (omega)} {{mathcal {F}} (omega)}}}$	ом	Прием	${displaystyle {mathcal {}} Y_ {E} (omega) = {frac {I (omega)} {V (omega)}}}$	1/ом = Мхо = Сименс
Магнитная проводимость	${displaystyle G_ {M} = имя оператора {Re} (Y_ {M} (омега))}$	ом	Электрическая проводимость	${displaystyle G_ {E} = имя оператора {Re} (Y_ {E} (омега))}$	1/ом = Мхо = Сименс
Проницаемость	${displaystyle {mathcal {P}} = {frac {operatorname {Im} (Y_ {M} (omega))} {omega}}}$	Генри	Емкость	${displaystyle C = {frac {operatorname {Im} (Y_ {E} (omega))} {omega}}}$	Фарад

Гиратор

Определение Гиратора, использованное Хэмиллом в статье о гираторно-конденсаторном подходе.

А гиратор это двухходовой элемент используется в сетевом анализе. Гиратор является дополнением трансформатор; тогда как в трансформаторе напряжение на одном порте преобразуется в пропорциональное напряжение на другом порте, в гираторе напряжение на одном порте преобразуется в ток на другом порте, и наоборот.

Роль гираторов в модели гиратор – конденсатор такова: преобразователи между областью электрической энергии и областью магнитной энергии. ЭДС в электрической области аналогична МДС в магнитной области, и преобразователь, выполняющий такое преобразование, будет представлен как трансформатор. Однако настоящие электромагнитные преобразователи обычно ведут себя как гираторы. Преобразователь из магнитного домена в электрический будет подчиняться Закон индукции Фарадея, то есть скорость изменения магнитного потока (магнитный ток в этой аналогии) создает пропорциональную ЭДС в электрической области. Точно так же преобразователь из электрического домена в магнитный будет подчиняться Обходной закон Ампера, то есть электрический ток будет производить МДС.

Обмотка из N витков моделируется гиратором с сопротивлением вращения N Ом.^[1]^:100

Преобразователи, не основанные на магнитной индукции, не могут быть представлены гиратором. Например, Датчик холла моделируется трансформатором.

Магнитное напряжение

Магнитное напряжение, ${displaystyle v_ {m}}$ , это альтернативное название для магнитодвижущая сила (ммс), ${displaystyle {mathcal {F}}}$ (Единица СИ: А или же ампер-поворот ), что аналогично электрическому Напряжение в электрической цепи.^[4]^:42^[3]^:5 Не все авторы используют термин магнитное напряжение. Магнитодвижущая сила, приложенная к элементу между точкой A и точкой B, равна линейному интегралу через компонент напряженности магнитного поля, ${displaystyle mathbf {H}}$ .

{displaystyle v_ {m} = {mathcal {F}} = - int _ {A} ^ {B} mathbf {H} имя оператора cdot {d} mathbf {l}}

В модель сопротивления-сопротивления использует ту же эквивалентность между магнитным напряжением и магнитодвижущей силой.

Магнитный ток

Магнитный ток, ${displaystyle i_ {m}}$ , является альтернативным названием для скорость изменения потока, ${displaystyle {точка {Phi}}}$ (Единица СИ: Wb / сек или вольт ), который аналогичен электрическому току в электрической цепи.^[2]^:2429^[4]^:37 В физической схеме ${displaystyle {точка {Phi}}}$ , является магнитный ток смещения.^[4]^:37 Магнитный ток, протекающий через элемент поперечного сечения, ${displaystyle S}$ , - интеграл площадей от плотности магнитного потока ${displaystyle mathbf {B}}$ .

{displaystyle i_ {m} = {dot {Phi}} = {frac {d} {dt}} int _ {S} mathbf {B} cdot operatorname {d} mathbf {S}}

В модели сопротивление-сопротивление используется другая эквивалентность, в которой магнитный ток является альтернативным названием для потока, ${displaystyle Phi}$ . Это различие в определении магнитного тока является фундаментальным различием между моделью гираторного конденсатора и моделью сопротивления-сопротивления. Определение магнитного тока и магнитного напряжения подразумевает определения других магнитных элементов.^[4]^:35

Магнитная емкость

Проницаемость элемента прямоугольной призмы

Магнитная емкость это альтернативное имя для проницаемость, (Единица СИ: ЧАС ). Он представлен емкостью в магнитной цепи модели. Некоторые авторы используют ${displaystyle C_ {mathrm {M}}}$ для обозначения магнитной емкости, в то время как другие используют ${displaystyle P}$ и называют емкость проницаемостью. Проницаемость элемента - это обширная собственность определяется как магнитный поток, ${displaystyle Phi}$ , через поверхность поперечного сечения элемента, разделенную магнитодвижущая сила, ${displaystyle {mathcal {F}}}$ , через элемент '^[3]^:6

${displaystyle C_ {mathrm {M}} = P = {frac {int mathbf {B} имя оператора cdot {d} mathbf {S}} {int mathbf {H} имя оператора cdot {d} mathbf {l}}} = {frac {Phi} {mathcal {F}}}}$

Для стержня однородного поперечного сечения магнитная емкость определяется выражением

${displaystyle C_ {mathrm {M}} = P = mu _ {mathrm {r}} mu _ {0} {frac {S} {l}}}$

куда: ${displaystyle mu _ {mathrm {r}} mu _ {0} = mu}$ это магнитная проницаемость, ${displaystyle S}$ - поперечное сечение элемента, а ${displaystyle l}$ - длина элемента.

За фазовый анализ, магнитная проницаемость^[5] и проницаемость - комплексные значения.^[5]^[6]

Проницаемость является обратной величиной нежелание.

Магнитная индуктивность

Эквивалентность цепи между магнитной индуктивностью и электрической емкостью.

В контексте гираторно-конденсаторной модели магнитной цепи магнитная индуктивность (индуктивное магнитное реактивное сопротивление) аналогия с индуктивностью в электрической цепи. В системе СИ он измеряется в единицах -Ω⁻¹. Эта модель делает магнитодвижущая сила (ммф) аналог электродвижущая сила в электрических цепях, а скорость изменения магнитного потока - аналог электрического тока.

Для векторного анализа индуктивное сопротивление магнитного поля составляет:

{displaystyle x_ {mathrm {L}} = omega L_ {mathrm {M}}}

Где:

{displaystyle L_ {mathrm {M}}}

- магнитная индукция (Единица СИ: s ·Ω⁻¹)

{displaystyle omega}

это угловая частота магнитной цепи

В сложной форме это положительное мнимое число:

{displaystyle jx_ {mathrm {L}} = jomega L_ {mathrm {M}}}

Потенциальная магнитная энергия, поддерживаемая магнитной индукцией, зависит от частоты колебаний электрических полей. Средняя мощность за данный период равна нулю. Из-за своей зависимости от частоты магнитная индуктивность в основном наблюдается в магнитных цепях, работающих при УКВ и / или УВЧ частоты.^{[нужна цитата ]}

Понятие магнитной проводимости используется при анализе и вычислении поведения цепи в модели гиратор-конденсатор аналогично индуктивность в электрических цепях.

Магнитный индуктор может представлять собой электрический конденсатор.^[4]^:43 Шунтирующая емкость в электрической цепи, такая как емкость внутри обмотки, может быть представлена как последовательная индуктивность в магнитной цепи.

Примеры

Трехфазный трансформатор

Трехфазный трансформатор с обмотками и проницаемыми элементами.

Схема использования гираторно-конденсаторной модели обмоток трансформатора и конденсаторов для элементов проницаемости

Этот пример показывает трехфазный трансформатор моделируется гираторно-конденсаторным подходом. Трансформатор в этом примере имеет три первичные обмотки и три вторичные обмотки. Магнитная цепь разделена на семь элементов сопротивления или проницаемости. Каждая обмотка моделируется гиратором. Сопротивление вращения каждого гиратора равно количеству витков соответствующей обмотки. Каждый элемент проницаемости моделируется конденсатором. Стоимость каждого конденсатора в фарады равна индуктивности соответствующей проницаемости в Генрис.

N₁, N₂, и н₃ - количество витков в трех первичных обмотках. N₄, N₅, и н₆ - количество витков в трех вторичных обмотках. Φ₁, Φ₂, а Φ₃ - потоки в трех вертикальных элементах. Магнитный поток в каждом элементе проницаемости в веберы численно равен заряду в связанной емкости в кулоны. Энергия в каждом проницаемом элементе такая же, как энергия в соответствующем конденсаторе.

На схеме показан трехфазный генератор и трехфазная нагрузка в дополнение к схеме модели трансформатора.

Трансформатор с зазором и потоком утечки

Трансформатор с зазором и потоком утечки.

Гираторно-конденсаторная модель трансформатора с зазором и потоком утечки.

Гираторно-конденсаторный подход позволяет использовать индуктивность рассеяния и воздушные зазоры в магнитопроводе. Зазоры и поток утечки имеют магнитную проницаемость, которая может быть добавлена в эквивалентную схему в качестве конденсаторов. Проницаемость зазора вычисляется так же, как и для основных элементов, за исключением того, что используется относительная проницаемость, равная единице. Проницаемость потока утечки может быть трудно вычислить из-за сложной геометрии. Его можно вычислить из других соображений, таких как измерения или спецификации.

C_PL и C_SL представляют собой первичную и вторичную индуктивность рассеяния соответственно. C_ЗАЗОР представляет собой проницаемость воздушного зазора.

Магнитное сопротивление

Магнитный комплексный импеданс

Эквивалентность цепи между магнитным импедансом и электрической проводимостью.

Магнитный комплексный импеданс, также называемое полным магнитным сопротивлением, частное сложного синусоидального магнитного напряжения (магнитодвижущая сила, ${displaystyle {mathcal {F}}}$ ) на пассивном магнитная цепь и результирующий комплексный синусоидальный магнитный ток ( ${displaystyle {точка {Phi}}}$ ) в цепи. Магнитное сопротивление аналогично электрический импеданс.

Магнитный комплексный импеданс (Единица СИ: Ω⁻¹) определяется:

${displaystyle Z_ {M} = {frac {mathcal {F}} {dot {Phi}}} = z_ {M} e ^ {jphi}}$

куда ${displaystyle z_ {M}}$ это модуль ${displaystyle Z_ {M}}$ и ${displaystyle phi}$ это его фаза. В аргумент Комплексный магнитный импеданс равен разности фаз магнитного напряжения и магнитного тока. Комплексный магнитный импеданс можно представить в следующем виде:

${displaystyle Z_ {M} = z_ {M} e ^ {jphi} = z_ {M} cos phi + jz_ {M} sin phi = r_ {M} + jx_ {M}}$

куда ${displaystyle r_ {M} = z_ {M} cos phi}$ - действительная часть комплексного магнитного импеданса, называемая эффективным магнитным сопротивлением; ${displaystyle x_ {M} = z_ {M} sin phi}$ представляет собой мнимую часть комплексного магнитного импеданса, называемую реактивным магнитным сопротивлением. Магнитное сопротивление равно

${displaystyle z_ {M} = {sqrt {r_ {M} ^ {2} + x_ {M} ^ {2}}}}$ , ${displaystyle phi = arctan {frac {x_ {M}} {r_ {M}}}}$

Магнитное эффективное сопротивление

Магнитное эффективное сопротивление это настоящий составляющая комплексного магнитного импеданса. Это приводит к тому, что магнитная цепь теряет потенциальную магнитную энергию.^[7]^[8] Активная мощность в магнитной цепи равна произведению эффективного магнитного сопротивления. ${displaystyle r_ {mathrm {M}}}$ и магнитный ток в квадрате ${displaystyle I_ {mathrm {M}} ^ {2}}$ .

${displaystyle P = r_ {mathrm {M}} I_ {mathrm {M}} ^ {2}}$

Эффективное магнитное сопротивление на комплексной плоскости отображается как сторона треугольника сопротивления для магнитной цепи переменного тока. Эффективное магнитное сопротивление ограничено эффективным магнитным сопротивлением. ${displaystyle g_ {mathrm {M}}}$ выражением

{displaystyle g_ {mathrm {M}} = {frac {r_ {mathrm {M}}} {z_ {mathrm {M}} ^ {2}}}}

куда ${displaystyle z_ {mathrm {M}}}$ - полное магнитное сопротивление магнитной цепи.

Магнитное реактивное сопротивление

Магнитное реактивное сопротивление - параметр пассивной магнитной цепи или элемента цепи, равный квадратному корню из разности квадратов комплексного магнитного импеданса и магнитного эффективного сопротивления магнитному току, взятых со знаком плюс, если магнитное ток отстает от магнитного напряжения по фазе, и со знаком минус, если магнитный ток опережает магнитное напряжение по фазе.

Магнитное реактивное сопротивление ^[7]^[6]^[8] - составляющая комплексного магнитного импеданса переменный ток цепь, которая производит фазовый сдвиг между магнитным током и магнитным напряжением в цепи. Он измеряется в единицах ${displaystyle {frac {1} {Omega}}}$ и обозначается ${displaystyle x}$ (или же ${displaystyle X}$ ). Может быть индуктивным ${displaystyle x_ {L} = омега L_ {M}}$ или емкостный ${displaystyle x_ {C} = {гидроразрыв {1} {omega C_ {M}}}}$ , куда ${displaystyle omega}$ это угловая частота магнитного тока, ${displaystyle L_ {M}}$ это магнитная индукция цепи, ${displaystyle C_ {M}}$ - магнитная емкость цепи. Магнитное сопротивление неразработанной цепи при последовательно включенных индуктивностях и емкостях равно: ${displaystyle x = x_ {L} -x_ {C} = omega L_ {M} - {frac {1} {omega C_ {M}}}}$ . Если ${displaystyle x_ {L} = x_ {C}}$ , то чистое реактивное сопротивление ${displaystyle x = 0}$ и резонанс занимает место в цепи. В общем случае ${displaystyle x = {sqrt {z ^ {2} -r ^ {2}}}}$ . При отсутствии потерь энергии ( ${displaystyle r = 0}$ ), ${displaystyle x = z}$ . Угол сдвига фаз в магнитопроводе ${displaystyle phi = arctan {frac {x} {r}}}$ . На комплексной плоскости магнитное реактивное сопротивление отображается как сторона треугольника сопротивления для цепи переменного тока.

Ограничения аналогии

Ограничения этой аналогии между магнитными цепями и электрическими цепями включают следующее:

Ток в типичных электрических цепях ограничен цепью с очень небольшой «утечкой». В типичных магнитных цепях не все магнитное поле ограничено магнитной цепью, потому что магнитная проницаемость существует и вне материалов (см. вакуумная проницаемость ). Таким образом, может быть значительный "поток утечки «в пространстве за пределами магнитных сердечников. Если поток рассеяния мал по сравнению с главной цепью, его часто можно представить как дополнительные элементы. В крайних случаях модель с сосредоточенными элементами может вообще не подходить, и теория поля вместо этого используется.
Магнитные цепи нелинейный; реактивное сопротивление в магнитной цепи не является постоянным, как сопротивление, но изменяется в зависимости от магнитного поля. При высоких магнитных потоках ферромагнитные материалы используется для сердечников магнитных цепей насыщать, ограничивая дальнейшее увеличение магнитного потока, поэтому выше этого уровня сопротивление быстро увеличивается. Кроме того, ферромагнитные материалы страдают от гистерезис поэтому поток в них зависит не только от мгновенного MMF, но и от истории MMF. После выключения источника магнитного потока остаточный магнетизм остается в ферромагнитных материалах, создавая магнитный поток без MMF.