Гармонические координаты - Harmonic coordinates

В Риманова геометрия, филиал математика, гармонические координаты определенного рода карта координат на гладкое многообразие, определяемый Риманова метрика на коллекторе. Они полезны во многих задачах геометрический анализ из-за их свойств регулярности.

В двух измерениях определенные гармонические координаты, известные как изотермические координаты изучаются с начала 1800-х годов. Гармонические координаты в более высоких измерениях были первоначально разработаны в контексте Лоренцева геометрия и общая теория относительности к Альберт Эйнштейн и Корнелиус Ланцош (видеть гармоническое координатное условие ).^[1] Следуя за работой Деннис ДеТюрк и Джерри Каздан в 1981 году они начали играть значительную роль в геометрический анализ литературы, хотя Иджад Сабитов и С.З. Шефель сделал то же открытие пятью годами ранее.^[2]

Определение

Позволять (M, грамм) - риманово многообразие размерности п. Говорят, что диаграмма координат (Икс¹, ..., Икс^п), определенный на открытом подмножестве U из M, является гармоническим, если каждая отдельная координатная функция Икс^я это гармоническая функция на U.^[3] То есть требуется, чтобы

${ displaystyle Delta ^ {g} x ^ {i} = 0. ,}$

куда ∆^грамм это Оператор Лапласа – Бельтрами. Тривиально система координат гармонична тогда и только тогда, когда, как отображение U → ℝ^п, координаты равны гармоническая карта. Прямое вычисление с локальным определением оператора Лапласа-Бельтрами показывает, что (Икс¹, ..., Икс^п) является гармонической координатной картой тогда и только тогда, когда

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} Gamma _ {ij} ^ {k} = 0 { text {для всех }} k = 1, ldots, n,}$

в котором Γ^k
_ij являются Символы Кристоффеля данного графика.^[4] Относительно фиксированной "фоновой" координатной диаграммы (V, у), можно просмотреть (Икс¹, ..., Икс^п) как набор функций Икс ∘ у⁻¹ на открытом подмножестве евклидова пространства. Метрический тензор относительно Икс получается из метрического тензора относительно у локальным расчетом, связанным с первыми производными от Икс ∘ у⁻¹, и, следовательно, символы Кристоффеля относительно Икс вычисляются из вторых производных от Икс ∘ у⁻¹. Таким образом, оба определения гармонических координат, приведенные выше, имеют качественный характер, относящиеся к второму порядку. уравнения в частных производных для координатных функций.

Используя определение символов Кристоффеля, приведенная выше формула эквивалентна

${ displaystyle 2 sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} { frac { partial g_ {jk}} { partial x ^ { i}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} { frac { partial g_ {ij}} { partial x ^ {k}}}.}$

Существование и основная теория

Гармонические координаты всегда существуют (локально), что легко следует из стандартных результатов о существовании и регулярности решений эллиптические уравнения в частных производных.^[5] В частности, уравнение ∆^граммты^j = 0 имеет решение в некотором открытом множестве вокруг любой заданной точки п, так что ты(п) и ду_п оба предписаны.

Основная теорема регулярности относительно метрики в гармонических координатах заключается в том, что если компоненты метрики находятся в Пространство Гёльдера C^{k, α} при выражении в некоторой координатной карте, независимо от гладкости самой диаграммы, тогда функция перехода из этой координатной карты в любую гармоническую координатную карту будет в пространстве Гельдера C^{k + 1, α}.^[6] В частности, это означает, что метрика также будет в C^{k, α} относительно гармонических координатных диаграмм.^[7]

Как было впервые обнаружено Корнелиус Ланцош в 1922 г. относительно гармонической координатной карты Кривизна Риччи дан кем-то

${ displaystyle R_ {ij} = - { frac {1} {2}} sum _ {a, b = 1} ^ {n} g ^ {ab} { frac { partial ^ {2} g_ { ij}} { partial x ^ {a} partial x ^ {b}}} + partial g ast partial g ast g ^ {- 1} ast g ^ {- 1}.}$

Фундаментальный аспект этой формулы состоит в том, что для любого фиксированного я и j, первое слагаемое в правой части - это эллиптический оператор применяется к локально определенной функции грамм_ij. Так что это автоматически из эллиптическая регулярность, и в частности Оценки Шаудера, что если грамм является C² и Ric (г) является C^{k, α} относительно гармонических координатных карт, то грамм является C^{k + 2, α} относительно того же графика.^[8] В более общем смысле, если грамм является C^{k, α} (с k больше одного) и Ric (г) является C^{л, α} относительно некоторых координатных карт, то функция перехода к гармонической координатной карте будет C^{k + 1, α}, и так Ric (г) будет C^{мин (л, k), α} в гармонических координатных диаграммах. Итак, по предыдущему результату, грамм будет C^{мин (л, k) + 2, α} в гармонических координатных диаграммах.^[9]

В качестве дальнейшего применения формулы Ланцоша следует, что Метрика Эйнштейна является аналитический в гармонических координатах.^[10] В частности, это показывает, что любая метрика Эйнштейна на гладком многообразии автоматически определяет аналитическая структура на многообразии, заданном набором гармонических координатных карт.

В связи с приведенным выше анализом при обсуждении гармонических координат стандартно рассматривать римановы метрики, которые по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемы. Однако с применением более экзотических функциональные пространства, приведенные выше результаты о существовании и регулярности гармонических координат могут быть распространены на параметры, в которых метрика имеет очень слабую регулярность.^[11]

Гармонические координаты в асимптотически плоских пространствах

Гармонические координаты использовались Роберт Бартник понять геометрические свойства асимптотически плоские римановы многообразия.^[12] Предположим, что имеется полное риманово многообразие (M, грамм), и что существует компактное подмножество K из M вместе с диффеоморфизмом Φ из M ∖ K к ℝ^п ∖ B_р(0), так что Φ^*грамм, относительно стандартной евклидовой метрики δ на ℝ^п ∖ B_р(0), имеет собственные значения, равномерно ограниченные сверху и снизу положительными числами, и такие, что (Φ^*грамм)(Икс) сходится в некотором точном смысле к δ в качестве Икс расходится до бесконечности. Такой диффеоморфизм известен как структура на бесконечности или как асимптотически плоские координаты за (M, грамм).^[13]

Основной результат Бартника состоит в том, что набор асимптотически плоских координат (если он непустой) имеет простую асимптотическую структуру, в которой функция перехода между любыми двумя асимптотически плоскими координатами приближается почти к бесконечности аффинное преобразование.^[14] Это важно для установления того, что ADM Energy асимптотически плоского риманова многообразия является геометрическим инвариантом, не зависящим от выбора асимптотически плоских координат.^[15]

Ключевым инструментом в установлении этого факта является аппроксимация произвольных асимптотически плоских координат для (M, грамм) асимптотически плоскими координатами, которые являются гармоническими. Ключевая техническая работа заключается в создании Теория Фредгольма для оператора Лапласа-Бельтрами, действуя между некоторыми банаховыми пространствами функций на M которые распадаются на бесконечности.^[16] Тогда для любых асимптотически плоских координат Φ, из того, что

${ Displaystyle Delta ^ {g} Phi ^ {k} = - sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} Gamma _ { ij} ^ {k},}$

затухающий на бесконечности, из теории Фредгольма следует, что существуют функции z^k которые распадаются на бесконечности такие, что Δ^граммΦ^k = Δ^граммz^k, а значит, Φ^k − z^k гармоничны. Это обеспечивает желаемые асимптотически плоские гармонические координаты. Тогда основной результат Бартника следует из того факта, что векторное пространство асимптотически убывающих гармонических функций на M имеет размер п + 1, из чего следует, что любые две асимптотически плоские гармонические координаты на M связаны аффинным преобразованием.^[17]

Работа Бартника основана на существовании асимптотически плоских координат. Основываясь на его методах, Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима показал, что уменьшение кривизны по удалению от точки вместе с полиномиальным ростом объема больших геодезических шаров и простое подключение их дополнений, влечет существование асимптотически плоских координат.^[18] Существенным моментом является то, что их геометрические предположения с помощью некоторых из обсуждаемых ниже результатов о радиусе гармоник дают хороший контроль над гармоническими координатами в областях, близких к бесконечности. Используя разделение единства эти гармонические координаты можно соединить вместе, чтобы сформировать единую координатную диаграмму, что является основной целью.^[19]

Гармонический радиус

Основополагающий результат благодаря Майкл Андерсон, это то, что для гладкого риманова многообразия любое положительное число α от 0 до 1 и любое положительное число Q, есть номер р что зависит от α, на Q, на верхней и нижней границах кривизны Риччи, на размерности и на положительной нижней границе радиуса инъективности, так что любой геодезический шар радиуса меньше р - область гармонических координат, относительно которой C^{1, α} размер грамм и равномерная близость грамм к евклидовой метрике оба контролируются Q.^[20] Это также можно переформулировать в терминах "нормы" точечных римановых многообразий, где C^{1, α}-норма в масштабе р соответствует оптимальному значению Q для гармонических координат, области определения которых являются геодезическими шарами радиуса р.^[21] Различные авторы находили версии таких оценок «гармонического радиуса» как до, так и после работы Андерсона.^[22] Существенным аспектом доказательства является анализ стандартными методами эллиптические уравнения в частных производных, для формулы Ланцоша для кривизны Риччи в гармонической координатной карте.^[23]

Итак, грубо говоря, использование гармонических координат показывает, что римановы многообразия могут быть покрыты координатными картами, в которых локальные представления римановой метрики контролируются только качественным геометрическим поведением самого риманова многообразия. Следуя идеям, изложенным Джефф Чигер в 1970 году можно было бы рассмотреть последовательности римановых многообразий, которые равномерно геометрически управляются, и, используя координаты, можно было бы собрать «предельное» риманово многообразие.^[24] Из-за природы такой «римановой сходимости» следует, например, что с точностью до диффеоморфизма существует только конечное число гладких многообразий данной размерности, которые допускают римановы метрики с фиксированной границей кривизны и диаметра Риччи, с фиксированным положительным значением нижняя граница радиуса приемистости.^[25]

Такие оценки гармонического радиуса также используются для построения геометрически контролируемых срезающих функций, и, следовательно, разделы единства также. Например, чтобы управлять второй ковариантной производной функции с помощью локально определенной второй частной производной, необходимо управлять первой производной локального представления метрики. Такие конструкции являются основополагающими при изучении основных аспектов Соболевские пространства на некомпактных римановых многообразиях.^[26]

Рекомендации