Теорема Фредгольма - Википедия - Fredholms theorem

В математика, Теоремы Фредгольма представляют собой набор знаменитых результатов Ивар Фредхольм в Теория Фредгольма из интегральные уравнения. Есть несколько тесно связанных теорем, которые можно сформулировать в терминах интегральных уравнений, в терминах линейная алгебра, или с точки зрения Фредгольмов оператор на Банаховы пространства.

В Альтернатива Фредгольма является одной из теорем Фредгольма.

Линейная алгебра

Теорема Фредгольма в линейной алгебре такова: если M это матрица, то ортогональное дополнение из пространство строки из M это пустое пространство из M:

Точно так же ортогональное дополнение к пространству столбцов M - нулевое пространство сопряженного:

Интегральные уравнения

Теорема Фредгольма для интегральных уравнений выражается следующим образом. Позволять быть интегральное ядро, и рассмотрим однородные уравнения

и его сложный прилегающий

Здесь, обозначает комплексно сопряженный из комплексное число , и аналогично для . Тогда теорема Фредгольма состоит в том, что для любого фиксированного значения , эти уравнения имеют либо тривиальное решение или иметь такое же количество линейно независимый решения , .

Достаточным условием справедливости этой теоремы является наличие быть квадратично интегрируемый на прямоугольнике (куда а и / или б может быть минус или плюс бесконечность).

Здесь интеграл выражается как одномерный интеграл на прямой числовой прямой. В Теория Фредгольма, этот результат обобщается на интегральные операторы на многомерных пространствах, включая, например, Римановы многообразия.

Существование решений

Одна из теорем Фредгольма, тесно связанная с Альтернатива Фредгольма, касается существования решений неоднородной Уравнение фредгольма

Решения этого уравнения существуют тогда и только тогда, когда функция является ортогональный к комплексу решений соответствующего однородного сопряженного уравнения:

куда является комплексным сопряжением а первый - одно из полного набора решений

Достаточным условием справедливости этой теоремы является наличие быть квадратично интегрируемый на прямоугольнике .

Рекомендации

  • Э. Фредхольм, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) стр. 365–390.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма». MathWorld.
  • Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], «Теоремы Фредгольма», Энциклопедия математики, EMS Press