Состояние Хевисайда - Heaviside condition

В Состояние Хевисайда, названный в честь Оливер Хевисайд (1850–1925), это состояние линия передачи должны встретиться, чтобы не было искажение передаваемого сигнала. Также известен как состояние без искажений, его можно использовать для улучшения характеристик линии передачи, добавив загрузка к кабелю.

Условие

Модель линии передачи Хевисайда.

Линию передачи можно представить как модель с распределенными элементами своего константы первичной линии как показано на рисунке. Первичные константы - это электрические свойства кабеля на единицу длины: емкость C (в фарады за метр), индуктивность L (в Генри за метр), серия сопротивление р (в Ом на метр), и шунт проводимость грамм (в Сименс за метр). Последовательное сопротивление и шунтирующая проводимость вызывают потери в линии; для идеальной линии передачи, ${ Displaystyle scriptstyle R = G = 0}$.

Условие Хевисайда выполняется, когда

${ displaystyle { frac {G} {C}} = { frac {R} {L}}.}$

Это условие для отсутствия искажений, но не для отсутствия потерь.

Фон

Сигнал в линии передачи может искажаться, даже если линии постоянны, и в результате функция передачи, все абсолютно линейны. Существует два механизма: во-первых, затухание в линии может изменяться с частотой, что приводит к изменению формы импульса, передаваемого по линии. Во-вторых, что обычно более проблемно, искажение вызвано частотной зависимостью от фазовая скорость частотных составляющих передаваемого сигнала. Если разные частотные составляющие сигнала передаются с разными скоростями, сигнал становится «размазанным» в пространстве и времени, форма искажения называется разброс.

Это была серьезная проблема на первом трансатлантический телеграфный кабель и привел к тому, что теория причин дисперсии была исследована сначала Лорд Кельвин а затем Хевисайд, который обнаружил, как этому можно противостоять. Рассеивание телеграф импульсы, если они достаточно сильные, вызовут их перекрытие с соседними импульсами, вызывая то, что сейчас называется межсимвольная интерференция. Чтобы предотвратить межсимвольные помехи, необходимо было снизить скорость передачи трансатлантического телеграфного кабеля до эквивалента¹⁄₁₅ бод. Это исключительно низкая скорость передачи данных, даже для людей-операторов, которым было очень трудно работать с клавишей Морзе так медленно.

Для речевых цепей (телефон) искажение частотной характеристики обычно более важно, чем дисперсия, тогда как цифровые сигналы очень чувствительны к дисперсионным искажениям. Для любого вида передачи аналогового изображения, такого как видео или факсимильная связь, необходимо устранить оба вида искажений.

Вывод

Функция передачи линии передачи определяется в терминах ее входного и выходного напряжений при правильном согласовании (то есть без отражений) как

${ displaystyle { frac {V _ { mathrm {in}}} {V _ { mathrm {out}}}} = e ^ { gamma x}}$

куда ${ displaystyle x}$ представляет собой расстояние от передатчика в метрах и

${ Displaystyle гамма = альфа + J бета ,}$

являются константы вторичной линии, α затухание в неперс на метр и β постоянная фазового перехода в радианы за метр. Без искажений, α требуется, чтобы он не зависел от угловой частоты ω, пока β должен быть пропорционален ω. Это требование пропорциональности частоте связано с соотношением между скоростью, v, и фазовая постоянная, β дается,

${ displaystyle v = { frac { omega} { beta}}}$

и требование, чтобы фазовая скорость, v, быть постоянным на всех частотах.

Отношение между константами первичной и вторичной линии определяется выражением

${ Displaystyle гамма ^ {2} = ( альфа + j бета) ^ {2} = (R + j omega L) (G + j omega C) ,}$

который должен иметь форму ${ displaystyle scriptstyle (A + j omega B) ^ {2}}$ чтобы соответствовать условию отсутствия искажений. Это может быть только в том случае, если ${ Displaystyle scriptstyle (R + J omega L)}$ и ${ displaystyle scriptstyle (G + j omega C)}$ отличаются не более чем на реальный постоянный коэффициент. Поскольку обе имеют действительную и мнимую части, действительная и мнимая части должны быть независимо связаны одним и тем же фактором, так что;

${ displaystyle { frac {R} {G}} = { frac {j omega L} {j omega C}}}$

и условие Хевисайда доказано.

Характеристики линии

Следовательно, вторичные константы линии, удовлетворяющей условию Хевисайда, выражаются в терминах первичных констант:

Затухание,

${ displaystyle alpha = { sqrt {RG}}}$ неперс / метр

Постоянная фазового перехода,

${ displaystyle beta = omega { sqrt {LC}}}$ радиан / метр

Фазовая скорость,

${ displaystyle v = { frac {1} { sqrt {LC}}}}$ метров в секунду

Характеристический импеданс

В характеристическое сопротивление линии передачи с потерями определяется выражением

${ displaystyle Z_ {0} = { sqrt { frac {R + j omega L} {G + j omega C}}}}$

В общем, невозможно согласование импеданса эта линия передачи на всех частотах с любой конечной сетью дискретных элементы потому что такие сети рациональные функции от jω, но в общем случае выражение для характеристического импеданса иррационально из-за квадратного корня.^[1] Однако для строки, отвечающей условию Хевисайда, в дробной части есть общий множитель, который исключает уходящие частотно-зависимые члены,

${ displaystyle Z_ {0} = { sqrt { frac {L} {C}}},}$

которое является действительным числом и не зависит от частоты. Таким образом, линия может быть согласована по сопротивлению с помощью резистора на любом конце. Это выражение для ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0} = { sqrt {L / C}}}$ то же, что и для линии без потерь (${ Displaystyle scriptstyle R = 0, G = 0}$) с тем же L и C, хотя затухание (из-за р и грамм) конечно все еще присутствует.

Практическое использование

Пример загруженного кабеля

Настоящая линия, особенно с использованием современных синтетических изоляторов, будет иметь грамм это очень мало и обычно даже близко не соответствует условию Хевисайда. Нормальная ситуация такова, что

${ displaystyle { frac {G} {C}} ll { frac {R} {L}}.}$

Чтобы линия соответствовала условию Хевисайда, необходимо настроить одну из четырех основных констант, и вопрос в том, какая именно. грамм можно было бы увеличить, но это крайне нежелательно, так как увеличение грамм увеличит убыток. Уменьшение р направляет убытки в правильном направлении, но обычно это не совсем удовлетворительное решение. р должны быть уменьшены на большую долю, а для этого необходимо резко увеличить поперечные сечения проводников. Это не только делает кабель более громоздким, но и значительно увеличивает количество используемой меди (или другого металла) и, следовательно, стоимость. Уменьшение емкости также делает кабель более громоздким (поскольку изоляция теперь должна быть толще), но это не так дорого, как увеличение содержания меди. Это оставляет увеличение L что является обычным принятым решением.

Требуемое увеличение L достигается загрузкой кабеля металлом с высокой магнитная проницаемость. Также можно загрузить кабель обычной конструкции, добавив дискретный загрузочные катушки через равные промежутки времени. Это не идентично распределенной нагрузке, разница в том, что с загрузочными катушками происходит передача без искажений до определенного частота среза за пределами которого затухание быстро увеличивается.

Загрузка кабелей для выполнения условий Хевисайда больше не является обычной практикой. Вместо этого регулярно размещайте цифровые повторители теперь размещены в длинные линии, чтобы поддерживать желаемую форму и длительность импульсов для передачи на большие расстояния.

Смотрите также

• Уравнения Максвелла
• Уравнения телеграфа

Рекомендации

Библиография

• Нахин, Пол Дж, Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена гения-электрика викторианской эпохи, JHU Press, 2002 г. ISBN  0801869099. См. Особенно стр. 231-232.
• Шредер, Манфред Роберт, Фракталы, Хаос, степенные законы, Courier Corporation, 2012 г. ISBN  0486134784.