Константы первичной линии - Primary line constants

Телефонный кабель, содержащий несколько линий витой пары

В константы первичной линии параметры, которые описывают характеристики проводящих линий передачи, например пары медь провода, с точки зрения физических электрических свойств линии. Константы первичной линии относятся только к линиям передачи и должны быть противопоставлены константы вторичной линии, которые могут быть производными от них и более широко применимы. Константы вторичной линии могут использоваться, например, для сравнения характеристик волновод к медной линии, тогда как первичные константы не имеют значения для волновода.

Константами являются сопротивление и индуктивность проводника, а также емкость и проводимость изолятора, которые условно обозначаются символами р, L, C, и грамм соответственно. Константы перечислены в единицах длины. Для схемного представления этих элементов требуется модель с распределенными элементами и следовательно исчисление необходимо использовать для анализа схемы. Анализ дает систему двух одновременных линейных уравнения в частных производных которые могут быть объединены для получения вторичных констант характеристическое сопротивление и постоянная распространения.

Ряд частных случаев имеет особенно простые решения и важные практические приложения. Кабель с низкими потерями требует только L и C для включения в анализ, полезно для коротких отрезков кабеля. Низкочастотные приложения, такие как витая пара телефонные линии, преобладают р и C Только. Высокочастотные приложения, такие как РФ коаксиальный кабель, преобладают L и C. Линии загружен Для предотвращения искажения нужны все четыре элемента в анализе, но есть простое, элегантное решение.

Константы

Существует четыре константы первичной линии, но в некоторых случаях некоторые из них достаточно малы, чтобы их можно было игнорировать, и анализ можно упростить. Эти четыре, а также их символы и единицы следующие:

Имя	Символ	Единицы	Символ единицы
петля сопротивление	р	Ом на метр	Ом / м
петля индуктивность	L	Генри на метр	H / м
изолятор емкость	C	фарады на метр	Ф / м
изолятор проводимость	грамм	Сименс на метр	См / м

р и L - это элементы, включенные последовательно с линией (поскольку они являются свойствами проводника) и C и грамм элементы, шунтирующие линию (поскольку они являются свойствами диэлектрик материал между проводниками). грамм представляет собой ток утечки через диэлектрик и в большинстве кабелей очень мал. Слово «петля» используется, чтобы подчеркнуть, что необходимо учитывать сопротивление и индуктивность обоих проводников. Например, если линия состоит из двух одинаковых проводов с сопротивлением 25 мОм / м каждый, петля сопротивление вдвое больше, 50 мОм / м. Поскольку значения констант довольно малы, производители обычно указывают их на километр, а не на метр; в англоязычном мире также можно использовать "за милю".^[1]^[2]

Слово «постоянный» может ввести в заблуждение. Это означает, что они материальные константы; но они могут меняться в зависимости от частоты. Особенно, р находится под сильным влиянием скин эффект. Кроме того, хотя грамм практически не действует на звуковая частота, это может вызвать заметные потери на высокой частоте со многими из диэлектрик материалы, используемые в кабелях из-за высокой тангенс угла потерь. Избежать убытков, вызванных грамм по этой причине многие кабели предназначены для использования в УВЧ имеют воздушную или пенопластовую изоляцию (что делает их практически герметичными).^[3] Фактическое значение константы в этом контексте состоит в том, что параметр постоянен с расстояние. То есть линия считается однородной по длине. Это условие верно для подавляющего большинства используемых сегодня линий электропередачи.^[4]

Типичные значения для некоторых распространенных кабелей

Обозначение	Форма кабеля	Заявление	р	L^†	грамм	C	Z₀
			Ом / км	мкГн / км	нСм / км	нФ / км	Ω
CAT5^[5]	Витая пара	Передача данных	176	490	<2	49	100
CAT5e^[6]	Витая пара	Передача данных	176		<2		100
CW1308^[7]	Витая пара	Телефония	98		<20
RG59^[8]	Коаксиальный	видео	36	430		69	75
RG59^[9]	Коаксиальный (вспененный диэлектрик)	видео	17	303		54	75
RG58^[10]^[11]	Коаксиальный	Радиочастота	48	253	<0.01	101	50
Низкая потеря^[12]	Коаксиальный (Пенный диэлектрик)	Радиочастота питание передатчика	2.86	188		75	50
DIN VDE 0816^[13]	Звездный квад	Телефония (хобот линии)	31.8		<0.1	35

† Производители обычно не указывают значение индуктивности в своих технических паспортах. Некоторые из этих значений оцениваются на основе значений емкости и характеристического сопротивления:

{ Displaystyle scriptstyle {Z_ {0}} ^ {2} = L / C}

.

Схема представления

Рисунок 1. Представление эквивалентной схемы линии передачи с использованием распределенные элементы.

δ L

,

δR

,

δC

и

δG

следует читать как,

L δ Икс

,

р δ Икс

,

C δ Икс

и

грамм δ Икс

соответственно

Константы линии не могут быть просто представлены как сосредоточенные элементы в цепи; они должны быть описаны как распределенные элементы. Например, «кусочки» емкости находятся между «частями» сопротивления. Сколько бы штук р и C разбиты на части, всегда можно утверждать, что они должны быть разбиты на части, чтобы правильно представить схему, и после каждого деления количество сетки в цепи увеличивается. Это схематически показано на рисунке 1. Чтобы получить истинное представление схемы, элементы должны быть выполнены бесконечно мало маленькие, чтобы каждый элемент распределялся по линии. Бесконечно малые элементы на бесконечно малом расстоянии ${ displaystyle scriptstyle dx}$ даются;^[14]

{ displaystyle dL = lim _ { delta x to 0} (L delta x) = Ldx}

{ displaystyle dR = lim _ { delta x to 0} (R delta x) = Rdx}

{ displaystyle dC = lim _ { delta x to 0} (C delta x) = Cdx}

{ displaystyle dG = lim _ { delta x to 0} (G delta x) = Gdx}

Рис 2. Представление линии передачи с использованием обобщенных элементов распределенного импеданса и проводимости.

Эти элементы удобно для анализа свести в общий ряд. сопротивление, Z, и шунт допуск, Y такие элементы, что;

{ Displaystyle dZ = (р + я омега L) dx = Zdx ,,}

и,

{ Displaystyle dY = (G + я омега C) dx = Ydx ,.}

Анализ этой сети (рисунок 2) даст константы вторичной линии: постоянная распространения, ${ Displaystyle scriptstyle gamma}$ , (чей реальные и мнимые части являются постоянная затухания, ${ displaystyle scriptstyle alpha}$ , и постоянная фазового перехода, ${ displaystyle scriptstyle beta}$ соответственно) и характеристическое сопротивление, ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ , который также, как правило, будет иметь реальные, ${ displaystyle scriptstyle R_ {0}}$ , и воображаемый, ${ displaystyle scriptstyle X_ {0}}$ , частей, в результате чего четыре вторичные константы будут производными от четырех первичных констант. Термин «константа» еще больше вводит в заблуждение для вторичных констант, поскольку они обычно довольно сильно изменяются с частотой, даже в идеальной ситуации, когда первичные константы не изменяются. Это потому, что реактивные сопротивления в цепи ( ${ displaystyle scriptstyle omega L}$ и ${ Displaystyle scriptstyle 1 / ( omega C)}$ ) ввести зависимость от ${ displaystyle scriptstyle omega}$ . Можно выбрать конкретные значения первичных констант, которые приводят к ${ displaystyle scriptstyle alpha}$ и ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ будучи независимым от ${ displaystyle omega}$ (в Состояние Хевисайда ), но даже в этом случае ${ displaystyle scriptstyle beta}$ что прямо пропорционально ${ displaystyle scriptstyle omega}$ . Как и в случае с первичными константами, значение «константы» состоит в том, что вторичные константы не меняются с расстоянием вдоль линии, а не потому, что они не зависят от частоты.^[14]^[15]^[16]

Характеристический импеданс

Рис 3. Эквивалентная схема линии передачи для расчета Z₀ из констант первичной линии

Характеристический импеданс линии передачи, ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ , определяется как сопротивление при взгляде на бесконечно длинную линию. Такая линия никогда не вернет отражение, поскольку падающая волна никогда не достигнет конца, чтобы отразиться. При рассмотрении конечной длины линии остаток линии можно заменить на ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ как его эквивалентная схема. Это так, потому что оставшаяся часть строки все еще бесконечно длинная и, следовательно, эквивалентна исходной строке. Если конечный отрезок очень короткий, то в эквивалентной схеме он будет моделироваться L-сетью, состоящей из одного элемента ${ displaystyle scriptstyle dZ}$ и один из ${ displaystyle scriptstyle dY}$ ; остаток дается ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ . В результате получается сеть, показанная на рисунке 3, которую можно проанализировать для ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ используя обычный сетевой анализ теоремы^[17]^[18]

{ displaystyle Z_ {0} = delta Z + { frac {Z_ {0}} {1 + Z_ {0} delta Y}}}

который перестраивается,

{ displaystyle {Z_ {0}} ^ {2} -Z_ {0} delta Z = { frac { delta Z} { delta Y}}}

Принимая пределы обеих сторон

{ displaystyle lim _ { delta x to 0} ({Z_ {0}} ^ {2} -Z_ {0} delta Z) = {Z_ {0}} ^ {2} = { frac { dZ} {dY}}}

и поскольку линия предполагалась однородной по длине,

{ displaystyle {Z_ {0}} ^ {2} = { frac {Z} {Y}}}

Постоянная распространения

Рис. 4. Каждый бесконечно малый участок линии передачи вызывает бесконечно малое падение линейного напряжения по мере его распространения по линии. Интеграция эти капли позволяют найти постоянную распространения.

Отношение входного напряжения линии к напряжению на расстоянии ${ displaystyle scriptstyle delta x}$ далее по строке (то есть после одного участка эквивалентной схемы) задается стандартом делитель напряжения расчет. Остальная часть строки справа, как и при расчете характеристического импеданса, заменяется на ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ ,^[19]^[20]

{ displaystyle { frac {V _ { mathrm {i}}} {V_ {x1}}} = { frac { delta Z + { frac {Z_ {0} / delta Y} {Z_ {0} + 1 / delta Y}}} { frac {Z_ {0} / delta Y} {Z_ {0} + 1 / delta Y}}} = 1 + { frac { delta Z} {Z_ {0 }}} + delta Z delta Y}

Каждая бесконечно малая секция умножает падение напряжения на один и тот же коэффициент. После ${ displaystyle scriptstyle n}$ сечения соотношение напряжений будет,

{ displaystyle { frac {V _ { mathrm {i}}} {V_ {xn}}} = left (1 + { frac { delta Z} {Z_ {0}}} + delta Z delta Y right) ^ {n}}

На расстоянии ${ displaystyle scriptstyle x}$ по линии количество секций равно ${ displaystyle scriptstyle x / delta x}$ так что,

{ displaystyle { frac {V _ { mathrm {i}}} {V_ {xn}}} = left (1 + { frac { delta Z} {Z_ {0}}} + delta Z delta Y right) ^ { frac {x} { delta x}}}

В пределе как ${ displaystyle scriptstyle delta x to 0}$ ,

{ displaystyle { frac {V _ { mathrm {i}}} {V_ {x}}} = lim _ { delta x to 0} { frac {V _ { mathrm {i}}} {V_ {xn}}} = lim _ { delta x to 0} left (1 + { frac { delta Z} {Z_ {0}}} + delta Z delta Y right) ^ { гидроразрыв {x} { delta x}}}

Член второго порядка ${ displaystyle scriptstyle delta Z delta Y}$ исчезнет в пределе, поэтому мы можем писать без потери точности,

{ displaystyle { frac {V _ { mathrm {i}}} {V_ {x}}} = lim _ { delta x to 0} left (1 + { frac { delta Z} {Z_ {0}}} right) ^ { frac {x} { delta x}}}

и сравнивая с математическим тождеством,

{ Displaystyle е ^ {х} эквив lim _ {p to infty} (1 + 1 / p) ^ {px}}

урожайность,

{ displaystyle V _ { mathrm {i}} = V_ {x} e ^ {{ frac {Z} {Z_ {0}}} x}}

Из определения постоянная распространения,

{ displaystyle V _ { mathrm {i}} = V_ {x} e ^ { gamma x} , !}

Следовательно,

{ displaystyle gamma = { frac {Z} {Z_ {0}}} = { sqrt {ZY}}}

Особые случаи

Идеальная линия передачи

Идеальная линия передачи не будет иметь потерь, что означает, что резистивные элементы равны нулю. Это также дает чисто реальный (резистивный) характеристический импеданс. Идеальная линия не может быть реализована на практике, но во многих случаях это полезное приближение. Это особенно верно, например, когда короткие отрезки линии используются в качестве компонентов схемы, таких как заглушки. Короткая линия имеет очень небольшие потери, поэтому ее можно игнорировать и рассматривать как идеальную линию. Вторичные константы в этих обстоятельствах:^[21]

{ Displaystyle gamma = я омега { sqrt {LC}}}

{ Displaystyle альфа = 0 ,}

{ displaystyle beta = omega { sqrt {LC}}}

{ displaystyle Z_ {0} = { sqrt { frac {L} {C}}}}

Витая пара

Обычно витая пара кабель, используемый для звуковых частот или низких скоростей передачи данных, имеет линейные константы, в которых преобладают р и C. На этих частотах диэлектрические потери обычно незначительны и грамм близка к нулю. Также бывает, что при достаточно низкой частоте ${ displaystyle scriptstyle R gg omega L}$ что обозначает L также можно игнорировать. В этих условиях вторичные константы становятся,^[22]

{ displaystyle gamma приблизительно { sqrt {я omega CR}}}

{ displaystyle alpha приблизительно { sqrt { frac { omega CR} {2}}}}

{ displaystyle beta приблизительно { sqrt { frac { omega CR} {2}}}}

{ displaystyle Z_ {0} приблизительно { sqrt { frac {R} {i omega C}}} = { sqrt { frac {R} {2 omega C}}} - я { sqrt { frac {R} {2 omega C}}}}

Затухание этого типа кабеля увеличивается с увеличением частоты, вызывая искажение формы волны. Не так очевидно, что вариация ${ displaystyle scriptstyle beta}$ с частотой также вызывает искажение типа, называемого разброс. Чтобы избежать разброса, требуется, чтобы ${ displaystyle scriptstyle beta}$ прямо пропорциональна ${ displaystyle scriptstyle omega}$ . Однако на самом деле он пропорционален ${ displaystyle scriptstyle { sqrt { omega}}}$ и результаты диспергирования. ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ также зависит от частоты и частично является реактивным; обе эти особенности будут причиной размышления от резистивной оконечной нагрузки. Это еще один нежелательный эффект. В номинальное сопротивление Указанное для этого типа кабеля в данном случае является очень номинальным, действительным только на одной точечной частоте, обычно указываемой на уровне 800 Гц или 1 кГц.^[23]^[24]

Коаксиальный кабель

Кабель, работающий на достаточно высокой частоте (радиочастота VHF или высокие скорости передачи данных), будет соответствовать условиям ${ Displaystyle scriptstyle R ll omega L}$ и ${ Displaystyle scriptstyle G ll omega C}$ . В конечном итоге это должно произойти, поскольку частота для любого кабеля увеличивается. В тех условиях р и грамм оба могут быть проигнорированы (за исключением целей расчета потерь в кабеле), и вторичные константы станут;^[25]

{ displaystyle gamma приблизительно я omega { sqrt {LC}}}

{ displaystyle alpha приблизительно { frac {LG + RC} {2 { sqrt {LC}}}} = { tfrac {1} {2}} left (Z_ {0} G + { frac {R } {Z_ {0}}} right) приблизительно { frac {R} {2Z_ {0}}}}

{ displaystyle beta приблизительно omega { sqrt {LC}}}

{ displaystyle Z_ {0} приблизительно { sqrt { frac {L} {C}}}}

Загруженная линия

Загруженные строки - это линии, разработанные с намеренно увеличенной индуктивностью. Для этого в кабель добавляют железо или другой магнитный металл или катушки. Цель состоит в том, чтобы убедиться, что линия соответствует Состояние Хевисайда, который устраняет искажения, вызванные частотно-зависимым затуханием и дисперсией, и гарантирует, что ${ displaystyle scriptstyle Z_ {0}}$ постоянный и резистивный. Вторичные константы здесь связаны с первичными константами:^[26]

{ displaystyle gamma = { sqrt {RG}} + я omega { sqrt {LC}}}

{ displaystyle alpha = { sqrt {RG}}}

{ displaystyle beta = omega { sqrt {LC}}}

{ displaystyle Z_ {0} = { sqrt { frac {L} {C}}} = { sqrt { frac {R} {G}}}}

Скорость

Скорость распространения определяется выражением

{ displaystyle v = lambda f.}

С,

{ displaystyle omega = 2 pi f}

и

{ Displaystyle бета = { гидроразрыва {2 pi} { lambda}}}

тогда,

{ displaystyle v = { frac { omega} { beta}}.}

В случаях, когда $β$ можно принять как

{ displaystyle beta = omega { sqrt {LC}}}

скорость распространения определяется выражением,

{ displaystyle v = {1 over { sqrt {LC}}}.}

Чем ниже емкость, тем выше скорость. При использовании кабеля с воздушным диэлектриком, который приближается к кабелю с малыми потерями, скорость распространения очень близка к c, скорость света в вакууме.^[27]

Примечания

^ Коннор, стр. 8.
^ Птица, стр. 604–605.
^ Porges, стр. 223–224.
^ Птица, стр. 502–503, 519.
^ «Групповой кабель - UTP 4-х парный ПВХ категории 5», Паспорт Molex, 1999 г., в архиве 7 августа 2013 г.
^ "1583E CAT5E UTP PVC", Спецификация Belden 46077, 21 июля 1999 г., в архиве 7 августа 2013 г.
^ «Внутренний телекоммуникационный кабель CW1308» В архиве 4 марта 2016 г. Wayback Machine, Спецификации Eland Cables, в архиве 8 августа 2013 г.
^ «Коаксиальный кабель 8281 - тип RG-59 / U с двойной оплеткой» Паспорт Belden, 14 мая 2007 г., в архиве 7 августа 2013 г.
^ «Последовательный цифровой видеокабель», Спецификация Belden 1865A, в архиве 7 августа 2013 г.
^ «Коаксиальный кабель Suhner», Технические данные Huber & Suhner, 24 сентября 2007 г., в архиве 7 августа 2013 г.
^ "RG58 / U" В архиве 7 октября 2009 г. Wayback Machine, General Cable datasheet, стр. 74–76.
^ Коаксиальный кабель из вспененного диэлектрика с низким уровнем потерь Cellflex Lite "7/8", Лист данных RFS LCF78-50JFNL, 24 октября 2006 г., в архиве 7 августа 2013 г.
^ «Магистральные кабели с бумажной изоляцией в алюминиевой оболочке» В архиве 7 августа 2013 в WebCite, Техническое описание Nexus, в архиве 7 августа 2013 г.
^ ^а ^б Коннор, стр. 8–10.
^ Хикман, стр. 113.
^ Porges, стр. 217.
^ Porges, стр. 216–217.
^ Коннор, стр. 10–11.
^ Коннор, стр. 9–10.
^ Bird, стр. 609–611.
^ Коннор, стр. 17.
^ Коннор, стр. 18–19.
^ Bird, стр. 612–613.
^ Porges, стр. 219.
^ Коннор, стр. 19.
^ Коннор, стр. 19–21.
^ Коннор, стр. 10, 19-20.