Постоянная распространения - Propagation constant

В постоянная распространения синусоидального электромагнитная волна является мерой изменения, претерпевшего амплитуда и фаза волны как это размножается в заданном направлении. Измеряемая величина может быть Напряжение, то текущий в цепь, или вектор поля, такой как напряженность электрического поля или плотность потока. Константа распространения сама по себе измеряет изменение на единицу длины, но в остальном он безразмерен. В контексте двухпортовые сети и их каскады, постоянная распространения измеряет изменение, которому подвергается исходное количество, когда оно распространяется от одного порта к другому.

Значение постоянной распространения выражается логарифмически, почти всегда к основанию е, а не более обычное основание 10, которое используется в телекоммуникации в других ситуациях. Измеряемая величина, такая как напряжение, выражается синусоидальной фазор. Фаза синусоиды изменяется с расстоянием, в результате чего постоянная распространения равна комплексное число, то воображаемый часть вызвана изменением фазы.

Альтернативные названия

Термин «постоянная распространения» используется неправильно, поскольку обычно сильно зависит от ω. Это, вероятно, наиболее широко используемый термин, но существует множество альтернативных названий, используемых разными авторами для этого количества. Они включают параметр передачи, функция передачи, параметр распространения, коэффициент распространения и постоянная передачи. Если используется множественное число, это означает, что α и β упоминаются отдельно, но вместе, как в параметры передачи, параметры распространенияи т. д. В теории линий передачи α и β входят в число «второстепенных коэффициентов», термин вторичный используется для контраста с коэффициенты первичной линии. Первичные коэффициенты - это физические свойства линии, а именно R, C, L и G, из которых вторичные коэффициенты могут быть получены с использованием уравнение телеграфа. Обратите внимание, что в области линий передачи термин коэффициент передачи имеет другое значение, несмотря на схожесть названий: это спутник коэффициент отражения.

Определение

Постоянная распространения, символ ${ displaystyle { gamma}}$, для данной системы определяется отношением комплексная амплитуда у источника волны комплексной амплитуды на некотором расстоянии Икс, такое что,

${ displaystyle { frac {A_ {0}} {A_ {x}}} = e ^ { gamma x}}$

Поскольку постоянная распространения является сложной величиной, мы можем написать:

$${ Displaystyle гамма = альфа + я бета ,}$$

где

• α, действительная часть, называется постоянная затухания
• β, мнимая часть, называется фазовая постоянная

Это β действительно представляет фазу можно увидеть из Формула Эйлера:

${ Displaystyle е ^ {я тета} = соз { тета} + я грех { тета} , !}$

которая представляет собой синусоиду, изменяющуюся по фазе как θ меняется, но не меняется по амплитуде, потому что

${ displaystyle left | e ^ {i theta} right | = { sqrt { cos ^ {2} { theta} + sin ^ {2} { theta}}} = 1}$

Причина использования базы е также теперь проясняется. Мнимая фазовая постоянная, iβ, можно добавить непосредственно к постоянной затухания, α, чтобы сформировать единое комплексное число, которое может быть обработано за одну математическую операцию при условии, что они имеют одинаковое основание. Для углов, измеряемых в радианах, требуется база е, поэтому затухание также в базовом е.

Постоянная распространения для медных (или любых других проводников) линий может быть рассчитана из коэффициентов первичной линии с помощью соотношения

${ displaystyle gamma = { sqrt {ZY}}}$

где

${ Displaystyle Z = R + я омега L , !}$, сериал сопротивление линии на единицу длины и,

${ Displaystyle Y = G + я омега C , !}$, шунт допуск линии на единицу длины.

Плоская волна

Коэффициент распространения плоской волны, распространяющейся в линейной среде в направлении x, определяется выражением

${ displaystyle P = e ^ {- gamma x}}$

где

${ Displaystyle гамма = альфа + я бета = { sqrt {я омега му ( сигма + я омега эпсилон)}} ;}$^[1]:126

${ displaystyle x =}$ пройденное расстояние в направлении x

${ Displaystyle альфа =}$ постоянная затухания в единицах неперс / метр

${ displaystyle beta =}$ фазовая постоянная в единицах радианы / метр

${ displaystyle omega =}$ частота в радианах в секунду

${ Displaystyle sigma =}$ проводимость СМИ

${ Displaystyle epsilon = epsilon '-i epsilon' ';}$ = комплексная диэлектрическая проницаемость СМИ

${ displaystyle mu = mu '-i mu' ';}$ = комплексная проницаемость СМИ

${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$

Соглашение о знаках выбрано для согласованности с распространением в среде с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны, фазовая скорость, и глубина кожи имеют простые отношения к компонентам постоянной распространения:

${ displaystyle lambda = { frac {2 pi} { beta}} qquad v_ {p} = { frac { omega} { beta}} qquad delta = { frac {1} { alpha}}}$

Постоянная затухания

В телекоммуникации, период, термин постоянная затухания, также называется параметр затухания или коэффициент затухания, - затухание электромагнитной волны, распространяющейся через Средняя на единицу расстояния от источника. Это действительная часть постоянной распространения, измеряемая в неперс за метр. Непер составляет примерно 8,7дБ. Константа затухания может быть определена отношением амплитуд

${ displaystyle left | { frac {A_ {0}} {A_ {x}}} right | = e ^ { alpha x}}$

Константа распространения на единицу длины определяется как натуральный логарифм отношения тока или напряжения на передающей стороне к току или напряжению на принимающей стороне.

Медные линии

Константу затухания для медных проводов (или проводников из любого другого проводника) можно вычислить из коэффициентов первичной линии, как показано выше. Для линии, отвечающей состояние без искажений, с проводимостью г в изоляторе постоянная затухания определяется выражением

${ Displaystyle альфа = { sqrt {RG}} , !}$

однако реальная линия вряд ли будет соответствовать этому условию без добавления загрузочные катушки и, кроме того, существуют некоторые частотно-зависимые эффекты, действующие на первичные «константы», которые вызывают частотную зависимость потерь. Эти потери состоят из двух основных составляющих: потери металла и диэлектрические потери.

В потерях большинства линий передачи преобладают потери металла, которые вызывают частотную зависимость из-за конечной проводимости металлов, и скин эффект внутри проводника. Скин-эффект приводит к тому, что R вдоль проводника приблизительно зависит от частоты в соответствии с

${ Displaystyle R propto { sqrt { omega}}}$

Потери в диэлектрике зависят от тангенс угла потерь (загарδ) материала, разделенного на длину волны сигнала. Таким образом, они прямо пропорциональны частоте.

${ displaystyle alpha _ {d} = {{ pi} { sqrt { varepsilon _ {r}}} over { lambda}} { tan delta}}$

Оптоволокно

Константа затухания для конкретного режим распространения в оптоволокно - действительная часть постоянной осевого распространения.

Фазовая постоянная

В электромагнитная теория, то фазовая постоянная, также называется постоянная фазового перехода, параметр или коэффициент - мнимая составляющая постоянной распространения плоской волны. Он представляет собой изменение фазы на единицу длины на пути, пройденном волной в любой момент времени, и равен реальная часть из угловое волновое число волны. Он представлен символом β и измеряется в радианах на единицу длины.

Из определения (углового) волнового числа для ТЕМ-волн:

${ Displaystyle к = { гидроразрыва {2 pi} { lambda}} = бета}$

Для линия передачи, то Состояние Хевисайда из уравнение телеграфа говорит нам, что волновое число должно быть пропорционально частоте, чтобы передача волны не искажалась в область времени. Сюда входит, но не ограничивается, идеальный случай линии без потерь. Причину этого состояния можно увидеть, если учесть, что полезный сигнал состоит из множества различных длин волн в частотной области. Чтобы не было искажения форма волны, все эти волны должны распространяться с одной и той же скоростью, чтобы они достигли дальнего конца линии одновременно с группа. Поскольку волна фазовая скорость дан кем-то

${ displaystyle v_ {p} = { frac { lambda} {T}} = { frac {f} { tilde { nu}}} = { frac { omega} { beta}}}$

доказано, что β должен быть пропорционален ω. В терминах первичных коэффициентов линии это дает из уравнения телеграфа для линии без искажений условие

${ displaystyle beta = omega { sqrt {LC}}}$

Однако можно ожидать, что практические линии будут только приблизительно соответствовать этому условию в ограниченной полосе частот.

В частности, фазовая постоянная ${ displaystyle beta}$ не всегда эквивалентно волновое число ${ displaystyle k}$. Вообще говоря, следующее соотношение

${ Displaystyle бета = к}$

соответствует ТЕМ волна (поперечная электромагнитная волна), которая распространяется в свободном пространстве или ТЕМ-устройства, такие как коаксиальный кабель и две параллельные проводные линии передачи. Тем не менее, это недействительно для TE волна (поперечная электрическая волна) и TM волна (поперечная магнитная волна). Например,^[2] в дупле волновод где ТЕМ-волна не может существовать, но ТЕ- и ТМ-волны могут распространяться,

${ displaystyle k = { frac { omega} {c}}}$

${ displaystyle beta = k { sqrt {1 - { frac { omega _ {c} ^ {2}} { omega ^ {2}}}}}}$

Вот ${ displaystyle omega _ {c}}$ это частота среза. В прямоугольном волноводе частота отсечки равна

${ displaystyle omega _ {c} = c { sqrt { left ({ frac {n pi} {a}} right) ^ {2} + left ({ frac {m pi} { b}} right) ^ {2}}},}$

где целые числа ${ Displaystyle п, м geq 0}$ - номера режима, а а и б длины сторон прямоугольника. Для режимов TE, ${ Displaystyle п, м geq 0}$ (но ${ Displaystyle п = м = 0}$ не допускается), а для режимов TM ${ Displaystyle п, м geq 1}$. Фазовая скорость равна

${ displaystyle v_ {p} = { frac { omega} { beta}} = { frac {c} { sqrt {1 - { frac { omega _ { mathrm {c}} ^ {2 }} { omega ^ {2}}}}}}> c}$

Фазовая постоянная также является важным понятием в квантовая механика поскольку импульс ${ displaystyle p}$ из квант прямо пропорционально ему,^[3][4] т.е.

${ displaystyle p = hbar beta}$

где час называется приведенная постоянная Планка (произносится как «ч-бар»). Он равен Постоянная Планка деленное на 2π.

Фильтры и двухпортовые сети

Термин "постоянная распространения" или "функция распространения" применяется к фильтры и другие двухпортовые сети используется для обработка сигнала. Однако в этих случаях коэффициенты затухания и фазы выражаются в неперах и радианах на сетевой раздел а не на единицу длины. Некоторые авторы^[5] проводите различие между мерами на единицу длины (для которых используется «константа») и мерами по разделам (для которых используется «функция»).

Константа распространения - это полезная концепция при разработке фильтров, которая неизменно использует каскадную секцию. топология. В каскадной топологии постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная отдельных секций могут быть просто сложены, чтобы найти общую постоянную распространения и т. Д.

Каскадные сети

Три сети с произвольными постоянными распространения и сопротивлениями, соединенные в каскад. В Z_я термины представляют импеданс изображения и предполагается, что связи находятся между совпадающими импедансами изображения.

Отношение выходного напряжения к входному для каждой сети определяется выражением^[6]

${ displaystyle { frac {V_ {1}} {V_ {2}}} = { sqrt { frac {Z_ {I1}} {Z_ {I2}}}} e ^ { gamma _ {1}} }$

${ displaystyle { frac {V_ {2}} {V_ {3}}} = { sqrt { frac {Z_ {I2}} {Z_ {I3}}}}} e ^ { gamma _ {2}} }$

${ displaystyle { frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = { sqrt { frac {Z_ {I3}} {Z_ {I4}}}} e ^ { gamma _ {3}} }$

Условия ${ displaystyle { sqrt { frac {Z_ {In}} {Z_ {Im}}}}}$ термины масштабирования импеданса^[7] и их использование объясняется в импеданс изображения статья.

Общий коэффициент напряжения определяется выражением

${ displaystyle { frac {V_ {1}} {V_ {4}}} = { frac {V_ {1}} {V_ {2}}} cdot { frac {V_ {2}} {V_ { 3}}} cdot { frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = { sqrt { frac {Z_ {I1}} {Z_ {I4}}}} e ^ { gamma _ { 1} + gamma _ {2} + gamma _ {3}}}$

Таким образом, для п каскадные секции, все имеющие совпадающие сопротивления, обращенные друг к другу, общая постоянная распространения определяется как

${ displaystyle gamma _ { mathrm {total}} = gamma _ {1} + gamma _ {2} + gamma _ {3} + cdots + gamma _ {n}}$

Смотрите также

Понятие глубины проникновения - один из многих способов описания поглощения электромагнитных волн. О других и их взаимоотношениях читайте в статье: Математические описания непрозрачности.

• Скорость распространения

Заметки

использованная литература

внешние ссылки

• «Постоянная распространения». Микроволновая энциклопедия. 2011. Архивировано с оригинал (Онлайн) 14 июля 2014 г.. Получено 2 февраля, 2011.
• Пашотта, доктор Рюдигер (2011). «Постоянная распространения» (Онлайн). Энциклопедия лазерной физики и техники. Получено 2 февраля 2011.
• Janezic, Майкл Д .; Джеффри А. Жаргон (февраль 1999 г.). «Определение комплексной диэлектрической проницаемости по измерениям постоянной распространения» (PDF). Буквы IEEE для СВЧ и волноводов. 9 (2): 76–78. Дои:10.1109/75.755052. Получено 2 февраля 2011. Доступна бесплатная загрузка в формате PDF. Есть обновленная версия от 6 августа 2002 года.