Гомологические гипотезы коммутативной алгебры - Homological conjectures in commutative algebra

В математика, гомологические гипотезы были в центре внимания исследовательской деятельности в коммутативная алгебра с начала 1960-х гг. Они касаются ряда взаимосвязанных (иногда удивительно) домыслов, касающихся различных гомологический свойства коммутативное кольцо к его внутренней кольцевой структуре, в частности Измерение Крулля и глубина.

Следующий список предоставлен Мелвин Хохстер считается определяющим для этой области. Впоследствии, ${ displaystyle A, R}$, и ${ displaystyle S}$ Ссылаться на Нётерян коммутативные кольца; ${ displaystyle R}$ будет местное кольцо с максимальным идеалом ${ displaystyle m_ {R}}$, и ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ находятся конечно порожденный ${ displaystyle R}$-модули.

1. Теорема о делителе нуля. Если ${ displaystyle M neq 0}$ имеет конечный проективное измерение и ${ displaystyle r in R}$ это не делитель нуля на ${ displaystyle M}$, тогда ${ displaystyle r}$ не является делителем нуля на ${ displaystyle R}$.
2. Вопрос Басса. Если ${ displaystyle M neq 0}$ имеет конечный инъекционное разрешение тогда ${ displaystyle R}$ это Кольцо Коэна – Маколея.
3. Теорема о пересечении. Если ${ displaystyle M otimes _ {R} N neq 0}$ имеет конечную длину, то Измерение Крулля из N (т.е. размерность р по модулю аннигилятор из N) не более проективное измерение из M.
4. Новая теорема о пересечении. Позволять ${ Displaystyle 0 к G_ {п} к cdots к G_ {0} к 0}$ обозначают конечный комплекс свободных р-модули такие, что ${ displaystyle bigoplus nolimits _ {i} H_ {i} (G _ { bullet})}$ имеет конечную длину, но не равна 0. Тогда (размерность Крулля) ${ displaystyle dim R leq n}$.
5. Улучшенная гипотеза о новом пересечении. Позволять ${ Displaystyle 0 к G_ {п} к cdots к G_ {0} к 0}$ обозначают конечный комплекс свободных р-модули такие, что ${ displaystyle H_ {я} (G _ { bullet})}$ имеет конечную длину для ${ displaystyle i> 0}$ и ${ displaystyle H_ {0} (G _ { bullet})}$ имеет минимальный генератор, убиваемый мощностью максимального идеала р. потом ${ Displaystyle тусклый R Leq п}$.
6. Гипотеза о прямом слагаемом. Если ${ Displaystyle R substeq S}$ является модульно-конечным кольцевым расширением с р обычный (здесь р не обязательно быть локальным, но проблема сразу сводится к локальному случаю), тогда р является прямым слагаемым S как р-модуль. Гипотеза была доказана Ив Андре используя теорию перфектоидные пространства.^[1]
7. Гипотеза о каноническом элементе. Позволять ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {d}}$ быть система параметров за р, позволять ${ displaystyle F _ { bullet}}$ быть свободным р-разрешение поле вычетов из р с ${ displaystyle F_ {0} = R}$, и разреши ${ displaystyle K _ { bullet}}$ обозначить Кошульский комплекс из р относительно ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {d}}$. Поднимите карту идентичности ${ displaystyle R = K_ {0} to F_ {0} = R}$ к карте комплексов. Тогда не важно, какой выбор системы параметров или подъема, последняя карта из ${ displaystyle R = K_ {d} to F_ {d}}$ не 0.
8. Гипотеза о существовании сбалансированных больших модулей Коэна – Маколея. Существует (не обязательно конечно порожденный) р-модуль W такой, что м_рВт ≠ Вт и каждая система параметров для р регулярная последовательность на W.
9. Гипотеза о коэно-маколейнности прямых слагаемых. Если р является прямым слагаемым регулярного кольца S как р-модуль, затем р Коэн – Маколей (р не обязательно быть локальным, но результат сразу сводится к случаю, когда р местный).
10. Гипотеза об исчезновении карт Tor. Позволять ${ Displaystyle A substeq R to S}$ гомоморфизмы, где р не обязательно локальный (однако, можно свести к этому случаю), с В КАЧЕСТВЕ регулярные и р конечно порожденный как А-модуль. Позволять W быть любым А-модуль. Тогда карта ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {A} (W, R) to operatorname {Tor} _ {i} ^ {A} (W, S)}$ равен нулю для всех ${ displaystyle i geq 1}$.
11. Сильная гипотеза прямого слагаемого. Позволять ${ Displaystyle R substeq S}$ - карта полных локальных областей, и пусть Q быть высотой одного простого идеала S лежа на ${ displaystyle xR}$, куда р и ${ Displaystyle R / xR}$ оба регулярны. потом ${ displaystyle xR}$ это прямое слагаемое из Q рассматривается как р-модули.
12. Гипотеза о существовании слабо функториальной большой алгебры Коэна-Маколея. Позволять ${ displaystyle R to S}$ - локальный гомоморфизм полных локальных областей. Тогда существует р-алгебра B_р это сбалансированная большая алгебра Коэна – Маколея для р, S-алгебра ${ displaystyle B_ {S}}$ это сбалансированная большая алгебра Коэна-Маколея для S, и гомоморфизм B_р → B_S такой, что натуральный квадрат, заданный этими отображениями, коммутирует.
13. Гипотеза Серра о кратностях. (ср. Гипотезы Серра о множественности.) Предположим, что р имеет размерность d и это ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ имеет конечную длину. потом ${ Displaystyle чи (М, Н)}$, определяемую как переменную сумму длин модулей ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, N)}$ равно 0, если ${ Displaystyle тусклый М + тусклый N$, и положительно, если сумма равна d. (Примечание. Жан-Пьер Серр доказано, что сумма не может превышать d.)
14. Гипотеза о малых модулях Коэна – Маколея. Если р полно, то существует конечно порожденная р-модуль ${ displaystyle M neq 0}$ такая, что некоторая (эквивалентно всякая) система параметров для р это регулярная последовательность на M.

Рекомендации

• Гомологические догадки, старые и новые, Мелвин Хохстер, Иллинойсский журнал математики, том 51, номер 1 (2007), 151-169.
• О гипотезе прямого слагаемого и ее производном варианте Бхаргав Бхатт.