Идеальная теория - Ideal theory

В математика, идеальная теория это теория идеалы в коммутативные кольца; и является предшественником современного предмета коммутативная алгебра. Название выросло из основных соображений, таких как Теорема Ласкера – Нётер в алгебраическая геометрия, а группа идеального класса в алгебраическая теория чисел, коммутативной алгебры первой четверти ХХ века. Его использовали в влиятельных ван дер Варден текст на абстрактная алгебра примерно с 1930 г.

Рассматриваемая идеальная теория была основана на теория исключения, но в соответствии с Дэвид Гильберт вкус отошел от алгоритмический методы. Основа Грёбнера теория теперь изменила тенденцию, так как компьютерная алгебра.

Важность идеи модуль, более общий, чем идеальный, вероятно, привели к мнению, что идеальная теория было слишком узким описанием. Теория оценки тоже было важным техническим расширением и использовалось Хельмут Хассе и Оскар Зариски. Бурбаки использовал коммутативная алгебра; иногда локальная алгебра применяется к теории местные кольца. Дуглас Норткотт 1953 год Кембриджский тракт Идеальная теория (переиздан в 2004 году под тем же названием) был одним из последних упоминаний этого имени.

Топология определяется идеалом

Позволять р быть кольцом и M ан р-модуль. Тогда каждый идеал ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ из р определяет топологию на M называется ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$-адическая топология такая, что подмножество U из M является открыто если и только если для каждого Икс в U существует положительное целое число п такой, что

${ displaystyle x + { mathfrak {a}} ^ {n} M subset U.}$

В связи с этим ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$-адическая топология, ${ Displaystyle {х + { mathfrak {а}} ^ {п} М } _ {п}}$ является основой окрестностей ${ displaystyle x}$ и делает работу модуля непрерывной; особенно, ${ displaystyle M}$ возможно нехаусдорфово топологическая группа. Также, M это Хаусдорфово топологическое пространство если и только если ${ textstyle bigcap _ {n> 0} { mathfrak {a}} ^ {n} M = 0.}$ Более того, когда ${ displaystyle M}$ хаусдорфова, топология такая же, как у метрическое пространство топология, заданная путем определения функции расстояния: ${ Displaystyle д (х, у) = 2 ^ {- п}}$ за ${ Displaystyle х neq y}$, куда ${ displaystyle n}$ такое целое число, что ${ displaystyle x-y in { mathfrak {a}} ^ {n} M - { mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}$.

Учитывая подмодуль N из M, то ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$- закрытие N в M равно ${ textstyle bigcap _ {п> 0} (N + { mathfrak {a}} ^ {n} M)}$, как легко показать.

Сейчас же, априори, на подмодуле N из M, есть два естественных ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$-топологии: топология подпространств, индуцированная ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$-адическая топология на M и ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$-адическая топология на N. Однако когда ${ displaystyle R}$ Нётер и ${ displaystyle M}$ конечна над ней, эти две топологии совпадают вследствие Лемма Артина – Риса..

Когда ${ displaystyle M}$ Хаусдорф, ${ displaystyle M}$ возможно завершенный как метрическое пространство; полученное пространство обозначается ${ displaystyle { widehat {M}}}$ и имеет модульную структуру, полученную путем непрерывного расширения операций модуля. Он также совпадает с (или канонически изоморфен):

${ displaystyle { widehat {M}} = varprojlim M / { mathfrak {a}} ^ {n} M}$

где правая часть - это завершение модуля ${ displaystyle M}$ относительно ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$.

Пример: Позволять ${ Displaystyle R = К [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ - кольцо многочленов над полем и ${ displaystyle { mathfrak {a}} = (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ максимальный идеал. потом ${ Displaystyle { widehat {R}} = к [! [x_ {1}, точки, x_ {n}] !]}$ это кольцо формальной мощности.

р называется Кольцо Зарисского относительно ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ если каждый идеал в р является ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$-закрыто. Есть характеристика:

р является кольцом Зарисского относительно ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ если и только если ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ содержится в Радикал Якобсона из р.

В частности, нетерово локальное кольцо является кольцом Зарисского относительно максимального идеала.

Система параметров

А система параметров для местный Кольцо Нётериана из Измерение Крулля d с максимальный идеал м это набор элементов Икс₁, ..., Икс_d который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. м это минимальное простое число над (Икс₁, ..., Икс_d).
2. В радикальный из (Икс₁, ..., Икс_d) является м.
3. Некоторая сила м содержится в (Икс₁, ..., Икс_d).
4. (Икс₁, ..., Икс_d) является м-начальный.

Каждое локальное нётерово кольцо допускает систему параметров.

Меньше чем d элементы для генерации идеала, радикал которого м потому что тогда размер р будет меньше чем d.

Если M это k-мерный модуль над локальным кольцом, то Икс₁, ..., Икс_k это система параметров за M если длина из M / (Икс₁, ..., Икс_k)M конечно.

Теория редукции

Теория редукции восходит к влиятельной статье 1954 года Норткотта и Риса, в которой были введены основные понятия. В алгебраической геометрии теория является одним из важных инструментов для извлечения подробной информации о поведении взрывы.

Данные идеалы J ⊂ я в кольце р, идеал J считается снижение из я если есть целое число м > 0 такой, что ${ displaystyle JI ^ {m} = I ^ {m + 1}}$.^[1] Для таких идеалов непосредственно из определения имеет место следующее:

• Для любого k, ${ Displaystyle J ^ {k} I ^ {m} = J ^ {k-1} I ^ {m + 1} = cdots = I ^ {m + k}}$.
• J и я имеют один и тот же радикал и один и тот же набор минимальных простых идеалов над ними^[2] (обратное неверно).

Если р является нётеровым кольцом, то J это сокращение я если и только если Алгебра Риса р[Это] является конечный над р[Jt].^[3] (В этом причина отношения к взрыву.)

Близко родственное понятие - понятие аналитический спред. По определению кольцо конуса волокна местного нётерского кольца (р, ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$) вдоль идеального я является

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R) = R [It] otimes _ {R} kappa ({ mathfrak {m}}) simeq bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} I ^ {n} / { mathfrak {m}} I ^ {n}}$.

В Измерение Крулля из ${ Displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R)}$ называется аналитический спред из я. Учитывая сокращение ${ displaystyle J subset I}$, минимальное количество генераторов J по крайней мере, аналитический разброс я.^[4] Кроме того, для бесконечных полей справедливо частичное обратное: если ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$ бесконечно и если целое число ${ displaystyle ell}$ аналитический разброс я, то каждое сокращение я содержит редукцию, порожденную ${ displaystyle ell}$ элементы.^[5]

Локальные когомологии в теории идеалов

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2019 г.)

Иногда для получения информации об идеале можно использовать локальные когомологии. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Позволять ${ displaystyle M}$ быть модулем над кольцом ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle I}$ идеальный. потом ${ displaystyle M}$ определяет пучок ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ на ${ displaystyle Y = operatorname {Spec} (R) -V (I)}$ (ограничение на Y связки, связанной с M). Разматывая определение, видишь:

${ Displaystyle Gamma _ {I} (M): = Gamma (Y, { widetilde {M}}) = varinjlim operatorname {Hom} (I ^ {n}, M)}$.

Здесь, ${ Displaystyle Gamma _ {I} (М)}$ называется идеальное преобразование из ${ displaystyle M}$ относительно ${ displaystyle I}$.^[6]

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Целостное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-68860-4, МИСТЕР  2266432