Несократимое кольцо - Irreducible ring
 | эта статья не цитировать Любые источники. (апрель 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, особенно в области теория колец, период, термин неприводимое кольцо используется по-разному.
- А (встреча-) неприводимое кольцо это тот, в котором пересечение двух ненулевых идеалов всегда ненулевое.
- А прямое неприводимое кольцо является кольцо что нельзя записать как прямая сумма двух ненулевых колец.
- А подпрямо неразложимое кольцо кольцо с единственным ненулевым минимальным двусторонним идеалом.
«Встречно-неприводимые» кольца называются «неприводимыми кольцами» в коммутативная алгебра. В этой статье используется термин «встречающиеся-несократимые», чтобы различать несколько обсуждаемых типов.
Встречно-неприводимые кольца играют важную роль в коммутативной алгебре, а непосредственно неприводимые и подпрямо неразложимые кольца играют роль в общей теории структуры колец. Подпрямо неразложимые алгебры также нашли применение в теория чисел.
Эта статья следует соглашению о том, что кольца имеют мультипликативная идентичность, но не обязательно коммутативный.
Определения
Термины «сводимый до встречи», «непосредственно сводимый» и «подпрямо сводимый» используются, когда кольцо не неприводимый к встречам, или не прямо несократим, или не подпрямо неразложимы соответственно.
Следующие условия эквивалентны для коммутативного кольца р:
- р встречно-неприводимо;
- нулевой идеал в р является несводимый, т.е. пересечение двух ненулевых идеалов А всегда отличен от нуля.
Следующие условия эквивалентны для коммутативного кольца р:
- р имеет ровно один минимальный простой идеал (этот простой идеал может быть нулевым идеалом);
- то спектр из р является несводимый.
Следующие условия эквивалентны для кольца р:
- р прямо неприводимо;
- р не имеет центральные идемпотенты кроме 0 и 1.
Следующие условия эквивалентны для кольца р:
- р подпрямо неразложима;
- когда р записывается как подпрямой продукт колец, то одна из проекций р на кольцо в подпрямом произведении - изоморфизм;
- Пересечение всех ненулевых идеалы из р отличен от нуля.
Примеры и свойства
Если р подпрямо неприводимо или встречно-неприводимо, то оно также прямо неприводимо, но обратное неверно.
- Все целостные области взаимно неприводимы и подпрямо неразложимы. На самом деле коммутативное кольцо является областью тогда и только тогда, когда оно одновременно неприводимо и уменьшенный.
- В кольцо частного Z/(4Z) - кольцо, которое имеет все три смысла неприводимости, но не является областью. Его единственный правильный идеал - (2Z)/(4Z), который является максимальным, следовательно, простым. Идеал тоже минимален.
- Прямое произведение двух ненулевых колец никогда не бывает непосредственно неприводимым и, следовательно, никогда не бывает встречно-неприводимым или подпрямо неразложимым. Например, в Z × Z пересечение ненулевых идеалов {0} ×Z и Z × {0} равно нулевому идеалу {0} × {0}.
- Коммутативные непосредственно неразложимые кольца - это связанные кольца; то есть их единственный идемпотентные элементы равны 0 и 1.
Обобщения
Коммутативные встречно-неприводимые кольца играют элементарную роль в алгебраическая геометрия, где это понятие обобщено до понятия неприводимая схема.