Матрица Манина - Manin matrix

В математике Матрицы Манина, названный в честь Юрий Манин который представил их в 1987–1988 гг.,^[1][2][3] являются классом матрицы с элементами в необязательно коммутативный звенеть, которые в определенном смысле ведут себя как матрицы, элементы которых коммутируют. В частности, существует естественное определение детерминант для них и большинства линейная алгебра теоремы вроде Правило Крамера, Теорема Кэли – Гамильтона и т. д. справедливо для них. Любая матрица с коммутирующими элементами является матрицей Манина. Эти матрицы находят применение в теория представлений в частности Личность Капелли, Янгиан и квантовые интегрируемые системы.

Матрицы Манина являются частными примерами общей конструкции Манина «некоммутативных симметрий», которые могут быть применены к любой алгебре. С этой точки зрения они являются «некоммутативными эндоморфизмами» алгебры полиномов. C[Икс₁, ...Икс_п]. Взяв (q) - (супер) -коммутирующие переменные, получим (q) - (супер) -аналоги матриц Манина, которые тесно связаны с квантовыми группами. На произведения Манина оказали влияние квантовая группа Он открыл, что квантованная алгебра функций Весело_q(GL) может быть определено требованием, чтобы Т и Т^т одновременно являются q-матрицами Манина. В этом смысле следует подчеркнуть, что (q) -матрицы Манина определяются только половина отношений связанной квантовой группы Весело_q(GL), и этих соотношений достаточно для многих теорем линейной алгебры.

Определение

Контекст

Матрицы с типичными некоммутативными элементами не допускают естественного построения определителя со значениями в основном кольце, и основные теоремы линейной алгебры не выполняются. Существует несколько модификаций теории детерминантов: Определитель Дьедонне который принимает значения в абелианизация K^*/[K^*, K^*] мультипликативной группы K^* заземляющего кольца K; и теория квазидетерминанты. Но аналогия между этими определителями и коммутативными определителями не является полной. С другой стороны, если рассматривать определенные конкретные классы матриц с некоммутативными элементами, то есть примеры, в которых можно определить определитель и доказать теоремы линейной алгебры, которые очень похожи на их коммутативные аналоги. Примеры включают: квантовые группы и q-детерминант; Матрица Капелли и Определитель Капелли; супер-матрицы и Березинский.

Матрицы Манина - это общий и естественный класс матриц с необязательно коммутативными элементами, которые допускают естественное определение определителя и обобщения теорем линейной алгебры.

Формальное определение

An п к м матрица M с записями M_ij над кольцом р (не обязательно коммутативная) является матрицей Манина, если все элементы в данном столбце коммутируют и если для всех я,j,k,л он считает, что [M_ij,M_kl] = [M_кДж,M_il]. Здесь [а,б] обозначает (ab − ба) коммутатор из а и б.^[3]

Определение лучше видно из следующих формул: Прямоугольная матрица M называется матрицей Манина, если для любой подматрицы 2 × 2, состоящей из строк я и k, и столбцы j и л:

${ displaystyle { begin {pmatrix} cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & M_ {ij} & cdots & M_ {il} & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & M_ {kj} & cdots & M_ {kl} & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & a & cdots & b & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & c & cdots & d & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots end {pmatrix}}}$

справедливы следующие коммутационные соотношения

${ displaystyle ac = ca, ~~~ bd = db, ~~~ { text {(записи в одном столбце перемещаются)}}}$

${ displaystyle ad-da = cb-bc, ~~~ { text {(отношение перекрестной коммутации)}}.}$

Вездесущность матриц Манина 2 × 2

Ниже приведены некоторые примеры появления свойства Манина в различных очень простых и естественных вопросах, касающихся матриц 2 × 2. Общая идея заключается в следующем: рассмотрите хорошо известные факты линейной алгебры и посмотрите, как ослабить предположение о коммутативности матричных элементов, чтобы результаты остались верными. Ответ: если и только если M матрица Манина.^[3] Доказательства всех наблюдений - прямая проверка в одну строку.

Рассмотрим матрицу 2 × 2${ displaystyle M = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}.}$

Наблюдение 1. Совместное действие в самолете.
Рассмотрим кольцо многочленов C[Икс₁, Икс₂], и предположим, что матричные элементы а, б, c, d ездить с Икс₁, Икс₂.Определять у₁, у₂ к

${ displaystyle { begin {pmatrix} y_ {1} y_ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x_ { 1} x_ {2} end {pmatrix}}.}$

потом у₁, у₂ ездить между собой если и только если M матрица Манина.

Доказательство:

${ displaystyle [y_ {1}, y_ {2}] = [ax_ {1} + bx_ {2}, cx_ {1} + dx_ {2}] = [a, c] x_ {1} ^ {2} + [b, d] x_ {2} ^ {2} + ([a, d] + [b, c]) x_ {1} x_ {2}.}.}$

Требуя, чтобы это было равно нулю, мы получаем отношения Манина.

Наблюдение 2. Совместное действие на суперплоскости.
Рассмотрим алгебру Грассмана C[ψ₁, ψ₂], и предположим, что матричные элементы а, б, c, d ездить с ψ₁, ψ₂.Определять φ₁, φ₂ к

${ displaystyle { begin {pmatrix} phi _ {1}, ~ phi _ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} psi _ {1}, ~ psi _ {2} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}.}$

потом φ₁, φ₂ являются грассмановыми переменными (т.е. антикоммутируют между собой и φ_я²=0) если и только если M матрица Манина.

Наблюдения 1,2 верны для общих п × м Матрицы Манина. Они демонстрируют оригинальный подход Манина, описанный ниже (обычные матрицы следует рассматривать как гомоморфизмы колец полиномов, а матрицы Манина - более общие «некоммутативные гомоморфизмы»). Обратите внимание, что генераторы алгебры полиномов представлены в виде векторов-столбцов, в то время как алгебра Грассмана как векторы-строки, то же самое можно обобщить на произвольную пару двойственных по Кошулям алгебр и связанных с ними общих матриц Манина.

Замечание 3. Правило Крамера.Обратная матрица дается стандартной формулой

${ displaystyle M ^ {- 1} = { frac {1} {ad-cb}} { begin {pmatrix} d & -b - c & a end {pmatrix}}}$

если и только если M матрица Манина.

Доказательство:

${ displaystyle { begin {pmatrix} d & -b - c & a end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} da-bc & db-bd - ca + ac & -cb + ad end {pmatrix}} = { text {тогда и только тогда, когда}} M { text {является матрицей Манина}} = { begin {pmatrix} ad-cb & 0 0 & ad-cb end {pmatrix}}.}$

Замечание 4. Теорема Кэли – Гамильтона.Равенство

${ displaystyle M ^ {2} - (a + d) M + (ad-cb) 1_ {2 times 2} = 0}$

держит если и только если M матрица Манина.

Наблюдение 5. Мультипликативность определителей.

Det^{столбец}(MN) = det^{столбец}(M) det (N) выполняется для всех комплекснозначных матриц N если и только если M матрица Манина.

Где дет^{столбец} матрицы 2 × 2 определяется как объявление − cb, т.е. элементы из первого столбца (а,c) стоит на первом месте в продукции.

Концептуальное определение. Понятие «некоммутативные симметрии»

По словам Ю. Согласно идеологии Манина, любой алгебре можно сопоставить некую биалгебру ее «некоммутативных симметрий (т.е. эндоморфизмов)». В более общем смысле к паре алгебр А, B можно связать его алгебру «некоммутативных гомоморфизмов» между А и BЭти идеи естественным образом связаны с идеями некоммутативная геометрия Рассматриваемые здесь матрицы Манина являются примерами этой общей конструкции, применяемой к алгебрам полиномов. C[Икс₁, ...Икс_п].

Сфера геометрии касается пространств, в то время как сфера алгебры, соответственно, алгебр, мост между двумя сферами - это ассоциация с каждым пространством алгебры функций на нем, которая является коммутативной алгеброй. Многие концепции геометрии могут быть переделаны на этом языке. алгебр и наоборот.

Идея симметрии грамм пространства V можно рассматривать как действие грамм на V, т.е. наличие карты G × V -> VЭту идею можно перевести на алгебраический язык как существование гомоморфизма Веселье (G)${ displaystyle otimes}$ Веселье (V) <- Веселье (V) (как обычно карты между функциями и пространствами идут в противоположных направлениях) .Также могут быть составлены карты из пространства в себя (они образуют полугруппу), следовательно, двойственный объект Веселье (G) это биалгебра.

Наконец, можно взять эти два свойства за основу и дать чисто алгебраическое определение «симметрии», которое может быть применено к произвольной алгебре (не обязательно коммутативной):

Определение. Алгебра некоммутативных симметрий (эндоморфизмов) некоторой алгебры А это биалгебра Конец (A), такие, что существуют гомоморфизмы, называемые сотрудничество:

${ displaystyle coaction: ~~ End (A) otimes A leftarrow A,}$

что естественным образом совместимо с коумножением. Конец (A) требуется для удовлетворения Только отношения, которые вытекают из вышеизложенного, никаких других отношений, т.е. это универсальная коактирующая биалгебра для А.

Кооперацию следует рассматривать как двойственное действие G × V -> V, поэтому его называют coдействие. Совместимость карты коумножения с картой сотрудничества двойственна g (h v) = (gh) v. Легко написать эту совместимость.

Несколько удивительным фактом является то, что эта конструкция применима к алгебре многочленов C[Икс₁, ..., Икс_п] даст не обычную алгебру матриц Мат_п (точнее, алгебра функций на нем), но гораздо большая некоммутативная алгебра матриц Манина (точнее алгебра, порожденная элементами M_ijТочнее справедливы следующие простые утверждения.

Предложение. Рассмотрим алгебру полиномов Pol = C[Икс₁, ..., Икс_п] и матрица M с элементами в некоторой алгебре EndPol.Элементы ${ displaystyle y_ {i} = sum _ {k} M_ {ik} otimes x_ {k} in EndPol otimes Pol}$ коммутируют между собой тогда и только тогда, когда M является матрицей Манина.

Следствие. Карта ${ displaystyle x_ {i} mapsto y_ {i} = sum _ {k} M_ {ik} otimes x_ {k}}$ является гомоморфизмом из Pol к EndPol ${ displaystyle otimes}$ Pol. Он определяет сотрудничество.

В самом деле, чтобы убедиться, что отображение является гомоморфизмом, единственное, что нам нужно проверить, это то, что у_я ездят между собой.

Предложение. Определим карту коумножения по формуле ${ displaystyle Delta (M_ {ij}) = sum _ {l} M_ {il} otimes M_ {lj}}$.Тогда это коассоциативный и согласовано с коакцией на алгебре многочленов, определенной в предыдущем предложении.

Из двух приведенных выше предложений следует, что алгебра, порожденная элементами матрицы Манина, является биалгеброй, коактирующей на алгебре полиномов. Если не налагать других соотношений, получается алгебра некоммутативных эндоморфизмов алгебры многочленов.

Характеристики

Элементарные примеры и свойства

• Любая матрица с коммутирующими элементами является матрицей Манина.
• Любая матрица, элементы которой из разных строк коммутируют между собой (такие матрицы иногда называют Картье -Foata matrices) - это матрица Манина.
• Любая подматрица матрицы Манина является матрицей Манина.
• Можно менять местами строки и столбцы в матрице Манина, результат также будет матрицей Манина. Можно добавить строку или столбец, умноженные на центральный элемент, в другую строку или столбец, и результатом снова будет матрица Манина. Т.е. элементарные преобразования можно производить с ограничением центральным множителем.
• Рассмотрим две матрицы Манина M,N такие, что все их элементы коммутируют, то сумма M + N и продукт MN также будут матрицы Манина.
• Если матрица M и одновременно транспонировать матрицу M^т - матрицы Манина, то все элементы M ездить друг с другом.
• Факты о запретах: M^k не является матрицей Манина в целом (кроме k= -1 обсуждается ниже); ни дет (M), ни Tr (M) являются центральными в алгебре, порожденной M_ij вообще (в этом отношении матрицы Манина отличаются от квантовых групп); det (е^M) ≠ е^{Тр (M)}; журнал (det (M)) ≠ Tr (log (M)).
• Рассмотрим алгебру полиномов C[Икс_ij] и обозначим через ${ displaystyle partial _ {ij}}$ операторы дифференцирования по

Икс_ij, формируем матрицы X, D с соответствующими элементами. Также рассмотрим переменную z и соответствующий дифференциальный оператор ${ displaystyle partial _ {z}}$. Ниже приводится пример матрицы Манина, которая важна для Личности Капелли:

${ displaystyle { begin {pmatrix} zId & D ^ {t} X & partial _ {z} Id end {pmatrix}}.}$

Можно заменить Икс, D любыми матрицами, элементы которых удовлетворяют соотношению: Икс_ij D_kl - D_kl Икс_ij = δ_ikδ_kl, то же самое о z и его производная.

Вычисление определителя этой матрицы двумя способами: прямым и через формулу дополнения Шура по существу дает Личность Капелли и это обобщение (см. раздел 4.3.1,^[4] на основе^[5]).

Определитель = определитель столбца

Определитель матрицы Манина можно определить по стандартной формуле с предписанием, что элементы из первых столбцов идут первыми в продукте.

Теоремы о линейной алгебре

Много линейная алгебра Утверждения справедливы для матриц Манина даже тогда, когда R не коммутативно. В частности, детерминант можно определить стандартным способом, используя перестановки и это удовлетворяет Правило Крамера.^[3] Теорема Мак-Магона Мастер справедливо для матриц Манина и фактически для их обобщений (супер), (q) и т. д. аналогов.

Предложение. Правило Крамера (Видеть^[2] или раздел 4.1.^[3]) Обратная матрица Манина M можно определить по стандартной формуле:${ displaystyle M ^ {- 1} = { frac {1} {{ det} ^ {col} (M)}} M ^ {прил},}$где M^прил является сопряженная матрица заданный стандартной формулой - его (i, j) -й элемент является определителем столбца матрицы (n - 1) × (n - 1), которая получается в результате удаления строки j и столбец я M и умножением на (-1)^{я + j}.

Единственное отличие от коммутативного случая состоит в том, что следует обратить внимание на то, что все определители вычисляются как определители столбцов, а также смежная матрица стоит справа, а коммутативная обратная определителю M стоит слева, т.е. из-за некоммутативности важен порядок.

Предложение. Обратный тоже Манин. (См. Раздел 4.3.^[3]) Предположим двустороннюю обратную матрицу Манина M существует, то это тоже будет матрица Манина. det (M⁻¹) = (det (M))⁻¹.

Это предложение несколько нетривиально, из него следует результат Энрикеса-Рубцова и Бабелона-Талона в теории квантовых интегрируемых систем (см. Раздел 4.2.1.^[4]).

Предложение. Теорема Кэли – Гамильтона (См. Раздел 7.1.^[3])

${ displaystyle det ^ {column} (tM) | _ {t = M} ^ {right ~ replace} = 0, ~~ ie ~~ sum _ {i = 0 ... n} (- 1) ^ { i} sigma _ {i} M ^ {ni} = 0.}$

Где σ_я - коэффициенты характеристического полинома${ Displaystyle det ^ {столбец} (т-М) = сумма _ {я = 0 ... п} (- 1) ^ {я} сигма _ {я} т ^ {п-я}}$.

Предложение. Тождества Ньютона (См. Раздел 7.2.1.^[3])${ displaystyle forall k geq 0: - (- 1) ^ {k} k sigma _ {k} = sum _ {i = 0 ... k-1} sigma _ {i} Tr (M ^ {ки})}$

Где σ_я - коэффициенты характеристического полинома${ Displaystyle det ^ {столбец} (т-М) = сумма _ {я = 0 ... п} (- 1) ^ {я} сигма _ {я} т ^ {п-я}}$, и по соглашению σ_я= 0, для я> п, куда п размер матрицы M.

Предложение. Определитель через Дополнение Шура(См. Раздел 5.2.^[3]) Предположим, что блочная матрица ниже является матрицей Манина и имеет двустороннюю обратную матрицу M⁻¹, А⁻¹, D⁻¹ существовать, тогда

${ displaystyle det ^ {column} { begin {pmatrix} A&B C & d end {pmatrix}} = det ^ {column} (A) det ^ {column} (D-CA ^ {- 1} B ) = det ^ {столбец} (D) det ^ {столбец} (A-BD ^ {- 1} C).}$

Кроме того, Шур дополняет ${ Displaystyle (D-CA ^ {- 1} B), (A-BD ^ {- 1} C)}$- матрицы Манина.

Предложение. Теорема Мак-Магона Мастер

^[6]

Примеры и приложения

Матрица Капелли как матрица Манина, а центр U (gl_п)

В Личность Капелли из 19 века дает один из первых примеров определителей для матриц с некоммутирующими элементами. Матрицы Манина дают новый взгляд на эту классическую тему. Этот пример связан с алгеброй Ли gl_п и служит прототипом для более сложных приложений для зацикливания алгебры Ли для gl_п, Янгиан и интегрируемые системы.

Брать E_ij - матрицы с единицей в позиции (я, j) и нули везде. Сформируем матрицу E с элементами E_ij в позиции (я, j). Это матрица с элементами в кольце матриц Мат_п. Это не матрица Манина, однако существуют модификации, которые преобразуют ее в матрицу Манина, как описано ниже.

Введите формальную переменную z которые ездят с E_ij, соответственно д / дз оператор дифференцирования в z. Единственное, что будет использоваться, что коммутатор этих операторов равно 1.

Наблюдение. Матрица ${ displaystyle d / dzId-E / z}$ матрица Манина.

Здесь Идентификатор - единичная матрица.

Пример 2 × 2:${ displaystyle M = { begin {pmatrix} d / dz-E_ {11} / z & -E_ {12} / z - E_ {21} / z & d / z-E_ {22} / z end {pmatrix }}.}$

Поучительно проверить требование коммутативности столбцов:${ displaystyle [d / dz-E_ {11} / z, -E_ {21} / z] = [d / dz, -E_ {21} / z] + [- E_ {11} / z, -E_ { 21} / z] = E_ {21} / z ^ {2} -E_ {21} / z ^ {2} = 0}$.

Наблюдение. Матрица ${ displaystyle exp (-d / dz) (Id + E / z)}$ матрица Манина.

Единственный факт, требуемый от E_ij для этих наблюдений состоит в том, что они удовлетворяют коммутационным соотношениям [E_ij, E_kl] = δ_jkE_il - δ_ЛиE_кДж. Итак, наблюдения верны, если E_ij являются генераторами универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли gl_п, или его изображения в любом представлении. Например, можно взять

${ displaystyle E_ {ij} = x_ {i} { frac { partial} { partial x_ {j}}}; ~~~~~ E_ {ij} = sum _ {a = 1} ^ {n } x_ {ia} { frac { partial} { partial x_ {ja}}}; ~~~~ E_ {ij} = psi _ {i} { frac { partial} { partial psi _ {j}}}.}$

Здесь ψ - Переменные Грассмана.

Наблюдение. ${ displaystyle z ^ {n-1} det ^ {col} (d / dz-E / z) = det ^ {col} (zd / dz-E-diag (n-1, n-2, ... , 1,0))}$

В правой части этого равенства признается Определитель Капелли (или, точнее, характеристический многочлен Капелли), а в левой части находится матрица Манина с ее естественным определителем. Таким образом, матрицы Манина дают новый взгляд на определитель Капелли. Более того, тождество Капелли и его обобщение могут быть получены методами матриц Манина, а также дают простой способ доказать, что это выражение принадлежит центру матрицы. универсальная обертывающая алгебра U (gl_п), что далеко не тривиально. Действительно, достаточно проверить инвариантность относительно действия группы GL_п по спряжению. ${ displaystyle det ^ {col} (d / dz-gEg ^ {- 1} / z) = det ^ {col} (g (d / dz-E / z) g ^ {- 1}) = det (g ) det ^ {col} (d / dz-E / z) det (g ^ {- 1}) = det ^ {col} (d / dz-E / z)}$. Итак, единственное свойство, используемое здесь, это то, что ${ Displaystyle det (gM) = det (Mg) = det (M) det (g)}$ что верно для любой матрицы Манина M и любая матрица грамм с центральными (например, скалярными) элементами.

Алгебра петель для gl_п, Соответствие Ленглендса и матрица Манина

Матрицы янгианского типа как матрицы Манина

Наблюдение.Позволять Т (г) - порождающая матрица Янгиан за gl_п.Тогда матрица ехр (-d / dz) T (z) матрица Манина.

Квантовый детерминант янгиана можно определить как ехр (п д / дз)Det^{столбец}(ехр (-d / dz) T (z)). Обратите внимание, что ехр (-d / dz) можно отменить, поэтому выражение от него не зависит. Таким образом, определитель в теории Янгиана имеет естественную интерпретацию через матрицы Манина.

Для квантовых интегрируемых систем важно построение коммутативных подалгебр в янгиане. Хорошо известно, что в классических предельных выражениях Tr (T^k(z)) порождают коммутативную подалгебру Пуассона. Правильное квантование этих выражений было впервые предложено путем использования тождеств Ньютона для матриц Манина:

Предложение. Коэффициенты Тр (Т (z + k-1) T (z + k-2) ... T (z)) для всех k ездят между собой. Они порождают коммутативную подалгебру в янгиане. Та же подалгебра, что и коэффициенты характеристического многочлена det^{столбец}(1-ехр (-d / dz) T (z)) .

(Подалгебру иногда называют подалгеброй Бете, поскольку Бете анзац это метод поиска своих совместных пар.)

Дальнейшие вопросы

История

Манин предложил общую конструкцию «некоммутативных симметрий» в,^[1]частный случай, который называется матрицей Манина, обсуждается в^[2] где были обозначены некоторые основные свойства. Основная мотивация этих работ заключалась в том, чтобы по-другому взглянуть на квантовые группы. Квантовые матрицы Весело_q(GL_п) можно определить как такие матрицы, которые Т и одновременно Т^т являются q-матрицами Манина (т.е. являются некоммутативными симметриями q-коммутирующих многочленов Икс_я Икс_j = q x_j Икс_яПосле оригинальных работ Манина до 2003 года было всего несколько работ по матрицам Манина, но примерно и после этой даты матрицы Манина появились в нескольких не совсем связанных областях:^[6] получил некое некоммутативное обобщение мастер-тождества Мак-Магона, которое использовалось в теории узлов; в приложениях к квантовым интегрируемым системам были найдены алгебры Ли;^[4] Обобщения тождества Капелли с матрицами Манина появились в.^[7]Направления, предложенные в этих документах, получили дальнейшее развитие.

Рекомендации

• В. Рубцов; Д. Талалаев; А. Силантьев (2009). "Матрицы Манина, квантовые эллиптические коммутативные семейства и характеристический многочлен эллиптической модели Годена". СИГМА. 5: 110. arXiv:0908.4064. Bibcode:2009SIGMA ... 5..110R. Дои:10.3842 / SIGMA.2009.110. Zbl  1190.37079.
• Суэми Родригес-Ромо, Эрл Тафт (2002). «Некоторые квантовоподобные алгебры Хопфа, которые остаются некоммутативными при q = 1». Lett. Математика. Phys. 61: 41–50. Дои:10.1023 / А: 1020221319846.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• Суэми Родригес-Ромо, Эрл Тафт (2005). «Левая квантовая группа». J. Алгебра. 286: 154–160. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2005.01.002.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• С. Ван (1998). «Квантовые группы симметрий конечных пространств». Comm. Математика. Phys. 195 (1): 195–211. arXiv:математика / 9807091. Bibcode:1998CMaPh.195..195W. Дои:10.1007 / s002200050385.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• Теодор Баника, Жюльен Бишон, Бенуа Коллинз (2007). «Некоммутативный гармонический анализ с приложениями к вероятности». Квантовые группы перестановок: обзор. Banach Center Publ. 78. Варшава. С. 13–34. arXiv:математика / 0612724. Bibcode:2006математика ..... 12724B.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• Матяз Конвалинка (2007). «Обобщение фундаментального преобразования Фоаты и его приложений к правой квантовой алгебре». arXiv:математика / 0703203. Bibcode:2007 математика ...... 3203K. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• Конвалинка, Матяж (2007). «Некоммутативное детерминантное тождество Сильвестра». Электрон. J. Combin. 14 (1). # R42. arXiv:математика / 0703213. Bibcode:2007математика ...... 3213K. ISSN  1077-8926.