Идентичность Капеллиса - Википедия - Capellis identity

В математика, Личность Капелли, названный в честь Альфредо Капелли  (1887 ), является аналогом формулы det (AB) = det (А) det (B) для некоторых матриц с некоммутирующими элементами, связанных с теория представлений алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$. Его можно использовать для связи инварианта ƒ к инварианту Ωƒ, где Ω - Q-процесс Кэли.

Заявление

Предположим, что Икс_ij за я,j = 1,...,п коммутирующие переменные. Написать E_ij для поляризационного оператора

${ displaystyle E_ {ij} = sum _ {a = 1} ^ {n} x_ {ia} { frac { partial} { partial x_ {ja}}}.}$

Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как определители, равны:

${ displaystyle { begin {vmatrix} E_ {11} + n-1 & cdots & E_ {1, n-1} & E_ {1n} vdots & ddots & vdots & vdots E_ {n- 1,1} & cdots & E_ {n-1, n-1} + 1 & E_ {n-1, n} E_ {n1} & cdots & E_ {n, n-1} & E_ {nn} +0 end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} x_ {11} & cdots & x_ {1n} vdots & ddots & vdots x_ {n1} & cdots & x_ {nn} end {vmatrix }} { begin {vmatrix} { frac { partial} { partial x_ {11}}} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {1n}}} vdots & ddots & vdots { frac { partial} { partial x_ {n1}}} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {nn}}} end {vmatrix}}.}$

Обе стороны - дифференциальные операторы. Определитель слева имеет некоммутирующие элементы и расширяется с сохранением порядка «слева направо» для всех членов. Такой детерминант часто называют столбец-определитель, так как его можно получить, разложив определитель по столбцам, начиная с первого столбца. Формально это можно записать как

${ displaystyle det (A) = sum _ { sigma in S_ {n}} operatorname {sgn} ( sigma) A _ { sigma (1), 1} A _ { sigma (2), 2 } cdots A _ { sigma (n), n},}$

где в продукте сначала идут элементы из первого столбца, затем из второго и так далее. Крайний правый определитель Омега-процесс Кэли, а слева - определитель Капелли.

Операторы E_ij можно записать в матричной форме:

${ Displaystyle E = XD ^ {t},}$

куда ${ Displaystyle E, X, D}$ матрицы с элементами E_ij, Икс_ij, ${ displaystyle { frac { partial} { partial x_ {ij}}}}$ соответственно. Если бы все элементы в этих матрицах были бы коммутативными, то, очевидно, ${ Displaystyle Det (E) = Det (X) Det (D ^ {t})}$. Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутативность, существует «квантование» приведенной выше формулы. Единственная цена за некоммутативность - небольшая поправка: ${ Displaystyle (п-я) дельта _ {ij}}$ слева. Для общих некоммутативных матриц формулы типа

${ Displaystyle Det (AB) = Det (A) Det (B)}$

не существуют, и само понятие «определитель» не имеет смысла для типичных некоммутативных матриц. Вот почему личность Капелли до сих пор хранит некоторую загадку, несмотря на множество предложенных ей доказательств. Кажется, что очень короткого доказательства не существует. Прямая проверка утверждения может быть дана как упражнение для п = 2, но уже давно п = 3.

Отношения с теорией представлений

Рассмотрим следующий немного более общий контекст. Предположим, что ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle m}$ два целых числа и ${ displaystyle x_ {ij}}$ за ${ Displaystyle я = 1, точки, п, j = 1, точки, м}$, будут коммутирующими переменными. Переопределить ${ displaystyle E_ {ij}}$ почти по той же формуле:

${ displaystyle E_ {ij} = sum _ {a = 1} ^ {m} x_ {ia} { frac { partial} { partial x_ {ja}}}.}$

с той лишь разницей, что индекс суммирования ${ displaystyle a}$ колеблется от ${ displaystyle 1}$ к ${ displaystyle m}$. Легко видеть, что такие операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${ displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = delta _ {jk} E_ {il} - delta _ {il} E_ {kj}. ~~~~~~~~~}$

Здесь ${ Displaystyle [а, б]}$ обозначает коммутатор ${ displaystyle ab-ba}$. Это те же коммутационные соотношения, которым удовлетворяют матрицы ${ displaystyle e_ {ij}}$ у которых везде нули, кроме позиции ${ displaystyle (я, j)}$, где стоит 1. (${ displaystyle e_ {ij}}$ иногда называют матричные блоки). Отсюда заключаем, что соответствие ${ displaystyle pi: e_ {ij} mapsto E_ {ij}}$ определяет представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ в векторном пространстве многочленов от ${ displaystyle x_ {ij}}$.

Дело м = 1 и представление S^k C^п

Особенно поучительно рассмотреть частный случай. м = 1; в этом случае мы имеем Икс_i1, сокращенно Икс_я:

${ displaystyle E_ {ij} = x_ {i} { frac { partial} { partial x_ {j}}}.}$

В частности, для многочленов первой степени видно, что:

${ displaystyle E_ {ij} x_ {k} = delta _ {jk} x_ {i}. ~~~~~~~~~~~~~~~}$

Следовательно, действие ${ displaystyle E_ {ij}}$ ограниченный пространством многочленов первого порядка, точно так же, как действие матричные блоки ${ displaystyle e_ {ij}}$ по векторам в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Итак, с точки зрения теории представлений, подпространство многочленов первой степени есть субпредставительство алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$, которое мы отождествили со стандартным представлением в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Далее видно, что дифференциальные операторы ${ displaystyle E_ {ij}}$ сохраняют степень многочленов, и, следовательно, многочлены каждой фиксированной степени образуют субпредставительство алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$. Далее видно, что пространство однородных многочленов степени k можно отождествить с симметричной тензорной степенью ${ Displaystyle S ^ {к} mathbb {C} ^ {n}}$ стандартного представления ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$.

Также легко определить самый высокий вес структура этих представлений. Моном ${ displaystyle x_ {1} ^ {k}}$ это вектор наибольшего веса, в самом деле: ${ displaystyle E_ {ij} x_ {1} ^ {k} = 0}$ за я < j. Его наибольший вес равен (k, 0, ..., 0) действительно: ${ displaystyle E_ {ii} x_ {1} ^ {k} = k delta _ {i1} x_ {1} ^ {k}}$.

Такое представление иногда называют бозонным представлением ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$. Подобные формулы ${ displaystyle E_ {ij} = psi _ {i} { frac { partial} { partial psi _ {j}}}}$ определяют так называемое фермионное представление, здесь ${ displaystyle psi _ {я}}$ являются антикоммутирующими переменными. Снова многочлены от k-й степени образуют неприводимое подпредставление, изоморфное ${ displaystyle Lambda ^ {k} mathbb {C} ^ {n}}$ т.е. антисимметричная тензорная степень ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Старший вес такого представления равен (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Эти представления для k = 1, ..., п находятся фундаментальные представления из ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$.

Личность Капелли для м = 1

Вернемся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

${ Displaystyle Det (Е + (п-я) дельта _ {ij}) = 0, qquad п> 1}$

мотивация для этого равенства следующая: рассмотрите ${ Displaystyle E_ {ij} ^ {c} = x_ {i} p_ {j}}$ для некоторых коммутирующих переменных ${ displaystyle x_ {i}, p_ {j}}$. Матрица ${ displaystyle E ^ {c}}$ имеет ранг один, а значит, его определитель равен нулю. Элементы матрицы ${ displaystyle E}$ определяются аналогичными формулами, однако его элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество: ${ displaystyle det (E ^ {c}) = 0}$ можно сохранить за небольшую цену корректирующей матрицы ${ displaystyle E}$ к ${ Displaystyle (п-я) дельта _ {ij}}$.

Отметим также, что аналогичное тождество можно указать для характеристического многочлена:

${ displaystyle det (t + E + (ni) delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + mathrm {Tr} (E) t ^ {[n-1]}, ~~~~ }$

куда ${ Displaystyle т ^ {[к]} = т (т + 1) cdots (т + к-1)}$. Коммутативным аналогом этого является простой факт, что для матриц ранга = 1 характеристический многочлен содержит только первый и второй коэффициенты.

Рассмотрим пример для п = 2.

${ displaystyle { begin {align} & { begin {vmatrix} t + E_ {11} + 1 & E_ {12} E_ {21} & t + E_ {22} end {vmatrix}} = { begin { vmatrix} t + x_ {1} partial _ {1} + 1 & x_ {1} partial _ {2} x_ {2} partial _ {1} & t + x_ {2} partial _ {2} конец {vmatrix}} [8pt] & = (t + x_ {1} partial _ {1} +1) (t + x_ {2} partial _ {2}) - x_ {2} partial _ {1} x_ {1} partial _ {2} [6pt] & = t (t + 1) + t (x_ {1} partial _ {1} + x_ {2} partial _ {2} ) + x_ {1} partial _ {1} x_ {2} partial _ {2} + x_ {2} partial _ {2} -x_ {2} partial _ {1} x_ {1} partial _ {2} end {align}}}$

С помощью

${ displaystyle partial _ {1} x_ {1} = x_ {1} partial _ {1} +1, partial _ {1} x_ {2} = x_ {2} partial _ {1}, x_ {1} x_ {2} = x_ {2} x_ {1}}$

мы видим, что это равно:

${ displaystyle { begin {align} & {} quad t (t + 1) + t (x_ {1} partial _ {1} + x_ {2} partial _ {2}) + x_ {2} x_ {1} partial _ {1} partial _ {2} + x_ {2} partial _ {2} -x_ {2} x_ {1} partial _ {1} partial _ {2} -x_ {2} partial _ {2} [8pt] & = t (t + 1) + t (x_ {1} partial _ {1} + x_ {2} partial _ {2}) = t ^ {[2]} + t , mathrm {Tr} (E). End {align}}}$

Универсальная обертывающая алгебра ${ Displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$ и его центр

Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами E_ij, это коммутатор ${ displaystyle [E_ {ij}, det (E + (n-i) delta _ {ij})] = 0}$ равно нулю. Его можно обобщить:

Рассмотрим любые элементы E_ij в любом кольце, удовлетворяющем коммутационному соотношению ${ displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = delta _ {jk} E_ {il} - delta _ {il} E_ {kj}}$, (так что они могут быть дифференциальными операторами выше, матричные единицы е_ij или любые другие элементы) определяют элементы C_k следующее:

${ displaystyle det (T + E + (ni) delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + sum _ {k = n-1, dots, 0} t ^ {[k]} C_ {k}, ~~~~~}$

куда ${ Displaystyle т ^ {[к]} = т (т + 1) cdots (т + к-1),}$

тогда:

• элементы C_k ездить со всеми элементами E_ij
• элементы C_k может быть задано формулами, аналогичными коммутативному случаю:

${ displaystyle C_ {k} = sum _ {I = (i_ {1}$

т.е. они являются суммами главных миноров матрицы E, по модулю Поправка Капелли ${ Displaystyle + (к-я) дельта _ {ij}}$. В частности элемент C₀ - рассмотренный выше определитель Капелли.

Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет обсуждаться ниже, и аналогично этому прямое короткое доказательство в несколько строк, похоже, не существует, несмотря на простоту формулировки.

В универсальная обертывающая алгебра

${ Displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$

можно определить как алгебру, порожденную

E_ij

при условии отношений

${ displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = delta _ {jk} E_ {il} - delta _ {il} E_ {kj}}$

один. Предложение выше показывает, что элементы C_kпринадлежат к центр из ${ Displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$. Можно показать, что они действительно являются свободными генераторами центра ${ Displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$. Их иногда называют Генераторы Капелли. Идентичность для них Капелли будет обсуждаться ниже.

Рассмотрим пример для п = 2.

${ displaystyle { begin {align} {} quad { begin {vmatrix} t + E_ {11} + 1 & E_ {12} E_ {21} & t + E_ {22} end {vmatrix}} & = (t + E_ {11} +1) (t + E_ {22}) - E_ {21} E_ {12} & = t (t + 1) + t (E_ {11} + E_ {22}) + E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12} + E_ {22}. End {align}}}$

Немедленно проверить этот элемент ${ displaystyle (E_ {11} + E_ {22})}$ ездить с ${ displaystyle E_ {ij}}$. (Это соответствует очевидному факту, что единичная матрица коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительно проверить коммутативность второго элемента с помощью ${ displaystyle E_ {ij}}$. Давайте сделаем это для ${ displaystyle E_ {12}}$:

${ displaystyle [E_ {12}, E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12} + E_ {22}]}$

${ displaystyle = [E_ {12}, E_ {11}] E_ {22} + E_ {11} [E_ {12}, E_ {22}] - [E_ {12}, E_ {21}] E_ {12 } -E_ {21} [E_ {12}, E_ {12}] + [E_ {12}, E_ {22}]}$

${ displaystyle = -E_ {12} E_ {22} + E_ {11} E_ {12} - (E_ {11} -E_ {22}) E_ {12} -0 + E_ {12}}$

${ displaystyle = -E_ {12} E_ {22} + E_ {22} E_ {12} + E_ {12} = - E_ {12} + E_ {12} = 0.}$

Мы видим, что наивный определитель ${ displaystyle E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12}}$ не будет ездить с ${ displaystyle E_ {12}}$ и поправка Капелли ${ displaystyle + E_ {22}}$ необходимо для обеспечения центральности.

Общий м и двойные пары

Вернемся к общему случаю:

${ displaystyle E_ {ij} = sum _ {a = 1} ^ {m} x_ {ia} { frac { partial} { partial x_ {ja}}},}$

для произвольных п и м. Определение операторов E_ij можно записать в матричной форме: ${ displaystyle E = XD ^ {t}}$, куда ${ displaystyle E}$ является ${ Displaystyle п раз п}$ матрица с элементами ${ displaystyle E_ {ij}}$; ${ displaystyle X}$ является ${ Displaystyle п раз м}$ матрица с элементами ${ displaystyle x_ {ij}}$; ${ displaystyle D}$ является ${ Displaystyle п раз м}$ матрица с элементами ${ displaystyle { frac { partial} { partial x_ {ij}}}}$.

Тождества Капелли – Коши – Бине.

Для общего м матрица E дается как произведение двух прямоугольных матриц: Икс и перенести на D. Если все элементы этих матриц коммутируют, то известно, что определитель матрицы E можно выразить так называемым Формула Коши – Бине через несовершеннолетние из Икс и D. Аналог этой формулы существует и для матрицы E снова по той же умеренной цене коррекции ${ displaystyle E rightarrow (E + (n-i) delta _ {ij})}$:

${ displaystyle det (E + (ni) delta _ {ij}) = sum _ {I = (1 leq i_ {1}$,

В частности (аналогично коммутативному случаю): если т <п, тогда ${ Displaystyle Det (Е + (п-я) дельта _ {ij}) = 0}$; если m = n возвращаемся к идентичности выше.

Отметим также, что аналогично коммутативному случаю (см. Коши – Бине для несовершеннолетних ) можно выразить не только определитель E, но и его несовершеннолетние через несовершеннолетних Икс и D:

${ displaystyle det (E + (si) delta _ {ij}) _ {KL} = sum _ {I = (1 leq i_ {1}$,

Здесь K = (k₁ < k₂ < ... < k_s), L = (л₁ < л₂ < ... < л_s), - произвольные мультииндексы; как обычно ${ displaystyle M_ {KL}}$ обозначает подматрицу M сформированный элементами M _kалб. Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s, нет п как в предыдущей формуле. Обратите внимание, что для s = 1, поправка (s − я) исчезает, и мы получаем просто определение E как продукт Икс и перенести на D. Отметим также, что для общих К, Л соответствующие несовершеннолетние не коммутируют со всеми элементами E_ij, поэтому тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

В качестве следствия этой формулы и формулы для характеристического полинома из предыдущего раздела отметим следующее:

${ displaystyle det (T + E + (ni) delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + sum _ {k = n-1, dots, 0} t ^ {[k]} sum _ {I, J} det (X_ {IJ}) det (D_ {JI} ^ {t}),}$

куда ${ displaystyle I = (1 leq i_ {1} < cdots$ ${ Displaystyle J = (1 leq j_ {1} < cdots$. Эта формула аналогична коммутативному случаю: modula ${ Displaystyle + (п-я) дельта _ {ij}}$ с левой стороны и т^[n] вместо т^п с правой стороны.

Отношение к двойным парам

Современный интерес к этим идентичностям во многом стимулировался Роджер Хоу кто учел их в своей теории редуктивные дуальные пары (также известный как двойственность Хау). Чтобы впервые познакомиться с этими идеями, давайте более подробно рассмотрим операторов. ${ displaystyle E_ {ij}}$. Такие операторы сохраняют степень полиномов. Посмотрим на многочлены степени 1: ${ displaystyle E_ {ij} x_ {kl} = x_ {il} delta _ {jk}}$, мы видим, что индекс л сохраняется. Видно, что с точки зрения теории представлений полиномы первой степени можно отождествить с прямой суммой представлений ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {n} oplus cdots oplus mathbb {C} ^ {n}}$, здесь л-е подпространство (л = 1 ... м) охватывает ${ displaystyle x_ {il}}$, я = 1, ..., п. Давайте еще раз посмотрим на это векторное пространство:

${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} oplus cdots oplus mathbb {C} ^ {n} = mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {m}.}$

Такая точка зрения дает первый намек на симметрию между м и п. Чтобы углубить эту идею, рассмотрим:

${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}} = sum _ {a = 1} ^ {n} x_ {ai} { frac { partial} { partial x_ {aj}}}.}$

Эти операторы задаются теми же формулами, что и ${ displaystyle E_ {ij}}$ модульное вознаграждение ${ displaystyle i leftrightarrow j}$, следовательно, с помощью тех же рассуждений мы можем вывести, что ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$ сформировать представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {m}}$ в векторном пространстве многочленов от Икс_ij. Прежде чем идти дальше, отметим следующее свойство: дифференциальные операторы ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$ коммутируют с дифференциальными операторами ${ displaystyle E_ {kl}}$.

Группа Ли ${ displaystyle GL_ {n} times GL_ {m}}$ действует в векторном пространстве ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {m}}$ естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} times { mathfrak {gl}} _ {m}}$ задается дифференциальными операторами ${ displaystyle E_ {ij} ~~~~}$ и ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$ соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

На самом деле верны следующие более глубокие свойства:

• Единственные дифференциальные операторы, коммутирующие с ${ displaystyle E_ {ij} ~~~~}$ являются многочленами от ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$, наоборот.
• Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений ${ displaystyle GL_ {n}}$ и ${ displaystyle GL_ {m}}$ можно представить следующим образом:

${ displaystyle mathbb {C} [x_ {ij}] = S ( mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {m}) = sum _ {D} rho _ {n } ^ {D} otimes rho _ {m} ^ {D '}.}$

Слагаемые индексируются Диаграммы Юнга D, и представления ${ Displaystyle rho ^ {D}}$ взаимно неизоморфны. И диаграмма ${ displaystyle {D}}$ определять ${ displaystyle {D '}}$ наоборот.

• В частности, представление большой группы ${ displaystyle GL_ {n} times GL_ {m}}$ свободна от кратностей, то есть каждое неприводимое представление встречается только один раз.

Легко заметить сильное сходство с Двойственность Шура – ​​Вейля.

Обобщения

Была проделана большая работа над тождеством и его обобщениями. Приблизительно две дюжины математиков и физиков внесли свой вклад в эту тему, и это лишь некоторые из них: Р. Хау, Б. Костант^[1][2] Призер Филдса А. Окуньков^[3][4] А. Сокаль,^[5] Д. Цайльбергер.^[6]

Кажется, исторически первые обобщения были получены Герберт Вестрен Тернбулл в 1948 г.,^[7] нашедший обобщение на случай симметричных матриц (см.^[5][6] для современных методов лечения).

Остальные обобщения можно разделить на несколько закономерностей. Большинство из них основано на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения состоят в изменении алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ к простые алгебры Ли ^[8] и их супер^[9][10] (q),^[11][12] и текущие версии.^[13] Так же как идентичность может быть обобщена для разных редуктивные дуальные пары.^[14][15] И наконец, можно рассматривать не только определитель матрицы E, но и ее перманент,^[16] след его сил и имманантов.^{[3][4][17][18]} Отметим еще несколько работ;^{[19][20][21] [22] [23] [24] [25]} все же список литературы неполный. Долгое время считалось, что это тождество тесно связано с полупростыми алгебрами Ли. Неожиданно новое чисто алгебраическое обобщение тождества было найдено в 2008 г.^[5] С. Караччиоло, А. Спортиелло, А. Д. Сокаля, который не имеет ничего общего ни с какими алгебрами Ли.

Тождество Тернбулла для симметричных матриц

Учитывать симметричный матрицы

${ displaystyle X = { begin {vmatrix} x_ {11} & x_ {12} & x_ {13} & cdots & x_ {1n} x_ {12} & x_ {22} & x_ {23} & cdots & x_ {2n } x_ {13} & x_ {23} & x_ {33} & cdots & x_ {3n} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots x_ {1n} & x_ {2n} & x_ { 3n} & cdots & x_ {nn} end {vmatrix}}, D = { begin {vmatrix} 2 { frac { partial} { partial x_ {11}}} & { frac { partial} { partial x_ {12}}} & { frac { partial} { partial x_ {13}}} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {1n}}} [6pt] { frac { partial} { partial x_ {12}}} & 2 { frac { partial} { partial x_ {22}}} и { frac { partial} { partial x_ {23}}} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {2n}}} [6pt] { frac { partial} { partial x_ {13}}} & { frac { partial} { partial x_ {23}}} & 2 { frac { partial} { partial x_ {33}}} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {3n}}} [6pt] vdots & vdots & vdots & ddots & vdots { frac { partial} { partial x_ {1n}}} & { frac { partial} { partial x_ {2n}}} & { frac { partial} { partial x_ {3n}}} & cdots & 2 { frac { partial} { partial x_ {nn}}} end {vmatrix}}}$

Герберт Вестрен Тернбулл^[7] в 1948 г. обнаружил следующие личности:

${ Displaystyle Det (XD + (N-I) delta _ {ij}) = Det (X) Det (D)}$

Комбинаторное доказательство можно найти в статье,^[6] еще одно доказательство и забавные обобщения в статье,^[5] см. также обсуждение ниже.

Тождество Хау – Умеда – Костанта – Сахи для антисимметричных матриц.

Учитывать антисимметричный матрицы

${ displaystyle X = { begin {vmatrix} 0 & x_ {12} & x_ {13} & cdots & x_ {1n} - x_ {12} & 0 & x_ {23} & cdots & x_ {2n} - x_ {13 } & - x_ {23} & 0 & cdots & x_ {3n} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots - x_ {1n} & - x_ {2n} & - x_ {3n} & cdots & 0 end {vmatrix}}, D = { begin {vmatrix} 0 & { frac { partial} { partial x_ {12}}} & { frac { partial} { partial x_ {13} }} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {1n}}} [6pt] - { frac { partial} { partial x_ {12}}} & 0 & { frac { partial} { partial x_ {23}}} & cdots & { frac { partial} { partial x_ {2n}}} [6pt] - { frac { partial} { partial x_ {13 }}} & - { frac { partial} { partial x_ {23}}} & 0 & cdots & { frac { partial} { partial x_ {3n}}} [6pt] vdots & vdots & vdots & ddots & vdots [6pt] - { frac { partial} { partial x_ {1n}}} & - { frac { partial} { partial x_ {2n}}} & - { frac { partial} { partial x_ {3n}}} & cdots & 0 end {vmatrix}}.}$

потом

${ displaystyle det (XD + (n-i) delta _ {ij}) = det (X) det (D).}$

Тождество Караччоло – Спортиелло – Сокаля для матриц Манина.

Рассмотрим две матрицы M и Y над некоторым ассоциативным кольцом, удовлетворяющим следующему условию

${ displaystyle [M_ {ij}, Y_ {kl}] = - delta _ {jk} Q_ {il} ~~~~~}$

для некоторых элементов Q_il. Или «словами»: элементы в j-й столбец M ездить с элементами в k-й ряд Y, если j = k, и в этом случае коммутатор элементов M_ik и Y_kl зависит только от я, л, но не зависит от k.

Предположить, что M это Матрица Манина (простейший пример - матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

${ displaystyle det (MY + Q , mathrm {diag} (n-1, n-2, dots, 1,0)) = det (M) det (Y). ~~~~~ ~~}$

Здесь Q матрица с элементами Q_il, и диаг (п − 1, п - 2, ..., 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами п − 1, п - 2, ..., 1, 0 по диагонали.

Видеть ^[5] предложение 1.2 'формула (1.15) стр. 4, наше Y переносится на ихB.

Очевидно, что подлинная личность Каппели является частным случаем этой идентичности. Более того, из этого тождества видно, что в исходном тождестве Капелли можно рассматривать элементы

${ displaystyle { frac { partial} { partial x_ {ij}}} + f_ {ij} (x_ {11}, dots, x_ {kl}, dots)}$

для произвольных функций ж_ij и тож все равно будет верным.

Тождество Мухина – Тарасова – Варченко и модель Годена.

Заявление

Рассмотрим матрицы Икс и D как в личности Капелли, то есть с элементами ${ displaystyle x_ {ij}}$ и ${ displaystyle partial _ {ij}}$ в позиции (ij).

Позволять z другая формальная переменная (коммутирующая с Икс). Позволять А и B - некоторые матрицы, элементами которых являются комплексные числа.

${ displaystyle det left ({ frac { partial} { partial _ {z}}} - A-X { frac {1} {z-B}} D ^ {t} right)}$

${ displaystyle = { det} _ {{ text {Поместите все}} x { text {и}} z { text {слева, а все производные справа}}} ^ { text {вычислить как будто все ездят на работу}}}$

${ displaystyle left ({ frac { partial} { partial _ {z}}} - A-X { frac {1} {z-B}} D ^ {t} right)}$

Здесь первый определитель понимается (как всегда) как определитель столбца матрицы с некоммутативными элементами. Определитель справа рассчитывается так, как будто все элементы коммутируют, и помещая все Икс и z слева, а отводы справа. (Такой рецепт называется Заказ фитиля в квантовая механика ).

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева

Матрица

${ Displaystyle L (z) = A + X { frac {1} {z-B}} D ^ {t}}$

это Матрица Лакса для квантовой интегрируемой спиновой цепной системы Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения полного набора квантовых коммутирующих законов сохранения для модели Годена, открыв следующую теорему.

Учитывать

${ displaystyle det left ({ frac { partial} { partial _ {z}}} - L (z) right) = sum _ {i = 0} ^ {n} H_ {i} ( z) left ({ frac { partial} { partial _ {z}}} right) ^ {i}.}$

Тогда для всех я, j, z, w

${ displaystyle [H_ {i} (z), H_ {j} (w)] = 0, ~~~~~~~~}$

т.е. ЧАС_я(z) являются производящими функциями в z для дифференциальных операторов в Икс которые все ездят. Таким образом, они обеспечивают квантовые коммутирующие законы сохранения для модели Годена.

Перманенты, иммананты, следы - «высшие тождества Капелли»

Исходная идентичность Капелли - это утверждение о детерминантах. Позже аналогичные тождества были найдены для перманенты, иммананты и следы, основанные на работе С.Г. Уильямсона о комбинаторном подходе. ^[26]был одним из первых результатов в этом направлении.

Тождество Тернбулла для перманентов антисимметричных матриц

Рассмотрим антисимметричные матрицы Икс и D с элементами Икс_ij и соответствующие производные, как в случае идентичности HUKS выше.

потом

${ displaystyle mathrm {perm} (X ^ {t} D- (ni) delta _ {ij}) = mathrm {perm} _ {{ text {Поместите все}} x { text {слева , со всеми производными справа}}} ^ { text {Вычислить, как если бы все коммутируют}} (X ^ {t} D).}$

Приведем цитату:^[6] «... без доказательств указано в конце статьи Тернбулла». Сами авторы следуют за Тернбуллом - в самом конце статьи они пишут:

«Поскольку доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательство симметричного аналога Тернбулла (с небольшим поворотом), мы оставляем его как поучительное и приятное упражнение для читателя».

В статье глубоко анализируется идентичность.^[27]

Рекомендации

дальнейшее чтение